一題多解 發(fā)散思維
——從一道菱形試題出發(fā)

張長(zhǎng)青

? 甘肅省慶陽市寧縣早勝初級(jí)中學(xué)

在課堂教學(xué)時(shí),筆者經(jīng)常有這樣的經(jīng)驗(yàn):如果學(xué)生的思維受限嚴(yán)重,那么數(shù)學(xué)課堂氛圍將會(huì)異常沉悶,而如果學(xué)生的思維比較靈活,那么課堂教學(xué)效果也會(huì)得到提升.由此可見,課堂教學(xué)不應(yīng)只是傳授知識(shí),而更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.本文中從一道菱形試題出發(fā),嘗試研究通過滲透數(shù)形轉(zhuǎn)化、一題多解的方式提升學(xué)生的思維能力.

1 數(shù)形轉(zhuǎn)化與思維發(fā)散之間的關(guān)系

數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題非常重要的一種思想或方法,也就是將“數(shù)”與“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)化,借助直觀圖形對(duì)抽象的問題進(jìn)行分析并最終解決問題.發(fā)散思維強(qiáng)調(diào)多角度分析問題及多方法解決問題,而當(dāng)分析的問題比較抽象、復(fù)雜時(shí),往往需要利用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想具體化或簡(jiǎn)化問題.因此,筆者認(rèn)為數(shù)形轉(zhuǎn)化是思維發(fā)散的過程,而思維發(fā)散是數(shù)形轉(zhuǎn)化的結(jié)果.

下面,借一道例題進(jìn)行分析和說明:

例題如圖1所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn).

圖1

求證:四邊形EFGH是菱形.

本題需要證明四邊形EFGH是菱形,而所給的條件只有菱形ABCD和四條線段的中點(diǎn).很顯然,需要僅僅抓住“中點(diǎn)”這一“數(shù)”的特點(diǎn),并與“菱形”這一“形”結(jié)合起來分析問題.那么,此題如何體現(xiàn)出數(shù)形轉(zhuǎn)化與思維發(fā)散之間的關(guān)系?

首先,應(yīng)明確各條件所能得到的結(jié)論有哪些,如由“菱形ABCD”可得四邊形ABCD的四條邊都相等、對(duì)角線互相平分且垂直、兩組對(duì)邊分別平行且相等、對(duì)角線平分一組對(duì)角等.“菱形ABCD”是“形”,而邊相等、角相等都是“數(shù)”量關(guān)系,是通過“形”推理出“數(shù)”.

然后,由“點(diǎn)E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn)”可證得EF,FG,GH,HE分別是△AOB,△BOC,△COD,△DOA的中位線,再結(jié)合三角形中位線定理即可證得四邊形EFGH是菱形．“點(diǎn)E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn)”是“數(shù)”,而證得“四邊形EFGH是菱形”是“形”,是通過“數(shù)”推理出“形”.

發(fā)散思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.那么,如何發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想呢?由于菱形的判定定理非常多,因此可從多種思路出發(fā),嘗試一題多解,最終讓問題得到解決.

2 一題多解及評(píng)析

根據(jù)上述分析,本題的解法非常多.在實(shí)際課堂教學(xué)中,主要出現(xiàn)了以下三種解法.

證法一：∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=DA.

∵E是OA的中點(diǎn),F是OB的中點(diǎn),

∴EF是△AOB的中位線.

∴EF=GF=HG=HE.

∴四邊形EFGH是菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形).

證法一緊緊抓住“點(diǎn)E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點(diǎn)”這個(gè)條件,積極利用三角形中位線定理和菱形的性質(zhì),通過證明四條邊都相等得到四邊形EFGH是菱形.可以說,靶向定位準(zhǔn)確、思路清晰明了,過程層次分明,內(nèi)容通俗易懂,是這種解法最大的特點(diǎn).

證法二：∵E是OA的中點(diǎn),F是OB的中點(diǎn),

∴EF是△AOB的中位線.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB∥DC,AB=DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴BD⊥AC.

∴四邊形EFGH是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).

證法二先根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形,然后結(jié)合菱形ABCD的性質(zhì)“菱形的對(duì)角線互相垂直”得到BD⊥AC,最后根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.其中,菱形的性質(zhì)與判定的靈活使用是重要前提,如果性質(zhì)與判定搞混淆了,將會(huì)給解題帶來極大的困擾[1].

證法三：∵E是OA的中點(diǎn),F是OB的中點(diǎn),

∴EF是△AOB的中位線.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=AD.

∴HE=EF.

∵H是OD的中點(diǎn),G是OC的中點(diǎn),

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=DC,AB∥DC.

∴EF=HG,EF∥HG.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

∴四邊形EFGH是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).

證法三先結(jié)合菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理證得一組鄰邊相等,即HE=EF,然后根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形EFGH是平行四邊形,最后根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得四邊形EFGH是菱形.該判定方法與前兩種判定都不同,抓住菱形與平行四邊形之間的區(qū)別是解決這類問題的關(guān)鍵.

3 總結(jié)與啟示

首先,從題目要證明的結(jié)論出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生思考具體能根據(jù)哪些判定進(jìn)行證明.如本題的結(jié)論是“四邊形EFGH是菱形”,那么讓學(xué)生思考菱形的判定方法有哪些,這樣就給學(xué)生解決問題提供了重要啟示.

然后,結(jié)合菱形的判定尋找條件.如果根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四條邊都相等.如果根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四邊形是平行四邊形且對(duì)角線互相垂直.如果根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明,那么需要證明四邊形是平行四邊形且一組鄰邊相等.

最后,繼續(xù)探究如何根據(jù)已知條件證明所需條件.例如,如果根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來證明,那么題中有哪些已知條件可證明一組鄰邊相等,又有哪些條件可證明四邊形是平行四邊形.如此下去,將每個(gè)所需條件根據(jù)已知條件全部證得即可.

需注意的是,在以上三種不同的解法中,菱形的性質(zhì)和判定都有體現(xiàn),注意區(qū)分菱形的性質(zhì)和判定是正確解決該問題的關(guān)鍵.因此,在講完性質(zhì)和判定之后,筆者認(rèn)為應(yīng)將性質(zhì)與判定之間的區(qū)別講清、講透,讓學(xué)生將性質(zhì)與判定完全區(qū)分開,否則在解題時(shí)極易混用[2].

總之,像本文展示的例題一樣,有些題目的思維突破口非常多,但因其綜合程度較高,其中包含了許多其他的知識(shí)點(diǎn),所以無形中提高了解題難度,學(xué)生解答的準(zhǔn)確性也隨之降低.因此,在日常教學(xué)中注重基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)與借助變式、一題多解等訓(xùn)練學(xué)生的思維非常有必要.