基于專(zhuān)題研究課發(fā)展代數(shù)推理能力*
——以“5.4二次函數(shù)與一元二次方程(1)”為例

陳 卓

? 南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校

從推理類(lèi)型來(lái)看,初中階段的推理有幾何推理和代數(shù)推理．代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)和式或數(shù)量關(guān)系的變形及轉(zhuǎn)換,相對(duì)比較抽象,代數(shù)推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維向更高層次發(fā)展的必備能力,教材也提供了豐富的代數(shù)推理素材,因此很有必要在初中階段點(diǎn)面結(jié)合、系統(tǒng)推進(jìn),逐步滲透代數(shù)推理.通過(guò)課題組研究發(fā)現(xiàn),在函數(shù)教學(xué)中滲透代數(shù)思維培養(yǎng)學(xué)生推理能力非常有意義.筆者執(zhí)教了義務(wù)教育蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第五章第4節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”的專(zhuān)題研究課,借此談一談學(xué)生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)問(wèn)題.

1 代數(shù)推理視角下的內(nèi)容分析

1.1 挖掘內(nèi)容中的推理資源

教材從“函數(shù)值何時(shí)為0”著手,探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,通過(guò)函數(shù)圖象揭示一元二次方程解的幾何意義.以“特殊—一般”“具體—抽象”的路徑逐步推進(jìn),通過(guò)“數(shù)”和“形”的對(duì)比感受函數(shù)與方程之間的聯(lián)系,這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,也符合問(wèn)題探究的一般規(guī)律.結(jié)合教材,在問(wèn)題情境導(dǎo)入上,以學(xué)生熟悉的命題為切入口:(1)解一元一次方程x+1=0;(2)畫(huà)一次函數(shù)y=x+1的圖象;(3)說(shuō)x+1=0與y=x+1的聯(lián)系.仿照以往幾何推理的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說(shuō)理,這樣就使解方程中演繹推理格式的得出更加自然,模仿“∵……,∴……”,依據(jù)寫(xiě)在結(jié)論后面括號(hào)里的方式去表達(dá)x+1=0與y=x+1之間的聯(lián)系.這樣可以有效促進(jìn)學(xué)生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征,培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力.

1.2 關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)

探索并獲得二次函數(shù)的圖象與x軸的三種位置關(guān)系和一元二次方程根的三種情況的對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn),在教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)“思考—探索—嘗試—?dú)w納”,自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程,深刻理解轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展學(xué)生的推理能力.同時(shí),使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體,從“被動(dòng)學(xué)會(huì)”變成“主動(dòng)會(huì)學(xué)”.

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 溫故知新

(1)解一元一次方程x+1=0.

(2)畫(huà)一次函數(shù)y=x+1的圖象,并指出函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有幾個(gè)交點(diǎn).

(3)一元一次方程x+1=0與一次函數(shù)y=x+1有什么聯(lián)系?

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)新知識(shí)的思考,梳理舊知識(shí),起到承上啟下之效,同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生“一以貫之”的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).從“數(shù)”的角度,方程的根是使函數(shù)值為0的自變量的值;從“形”的角度,方程的根是函數(shù)圖象與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).仿照以往幾何推理的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行說(shuō)理,促使學(xué)生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征．

2.2 探索活動(dòng)

活動(dòng)1：畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象,解決下列問(wèn)題.

(1)y=x2-2x-3的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎?如果有,求出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)當(dāng)x取問(wèn)題(1)中公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值分別是什么?

(3)從關(guān)系式來(lái)看,二次函數(shù)y=x2-2x-3成為一元二次方程x2-2x-3=0的條件是什么?

(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,直接說(shuō)出x2-2x-3=0的根.

設(shè)計(jì)意圖：從一個(gè)特例展開(kāi)二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的研究,讓學(xué)生感受研究的過(guò)程與前面所學(xué)知識(shí)的一致,并通過(guò)圖象進(jìn)一步揭示函數(shù)與方程之間的關(guān)系.用幾何推理的經(jīng)驗(yàn)、思維過(guò)程的說(shuō)理,培養(yǎng)代數(shù)推理能力.

活動(dòng)2：任意寫(xiě)出一個(gè)二次函數(shù),仿照剛才的研究自主探索該二次函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系.

(1)結(jié)合多次分析,你能歸納出任意二次函數(shù)與其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系嗎?

(2)結(jié)合多次分析,你能歸納出二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系中起關(guān)鍵作用的要素嗎?

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)類(lèi)比,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系,在“二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系”和“一元二次方程的根的情況”之間形成演繹推理關(guān)系,并在多個(gè)例子的基礎(chǔ)上,歸納(這是合情推理)得到一般性的結(jié)論.

注意引導(dǎo)學(xué)生感受代數(shù)推理的必要性和深刻性,并總結(jié)“活動(dòng)2”,形成如圖1所示的板書(shū).

圖1

2.3 例題教學(xué)

例題不畫(huà)圖象,判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖象與x軸是否有公共點(diǎn).

解：因?yàn)橐辉畏匠?x2+5x-8=0根的判別式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)=-7<0,所以方程-x2+5x-8=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

故二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想,同時(shí)通過(guò)板書(shū)的展示感受推理的過(guò)程.

2.4 鞏固練習(xí)

(1)方程x2+4x-5=0的根是______,則函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)有______個(gè),其坐標(biāo)是______.

(2)下列函數(shù)的圖象中,與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)的是( ).

A.y=x2-xB.y=x2-2

C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+2

(3)已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)鞏固練習(xí)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,并根據(jù)反饋幫助學(xué)生理清思路,尋找解決問(wèn)題的途徑,從而提高演繹推理能力．

2.5 課堂小結(jié)(略)

3 教學(xué)思考

3.1 建立“教學(xué)活動(dòng)”與“代數(shù)推理”的關(guān)聯(lián)

通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng),認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)和一元二次方程之間存在的關(guān)系.關(guān)注三個(gè)層面:一是從學(xué)生已有知識(shí)去構(gòu)建二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,在構(gòu)建聯(lián)系的過(guò)程中培養(yǎng)代數(shù)推理能力;二是從學(xué)生既有經(jīng)驗(yàn)畫(huà)圖推理二次函數(shù)與一元二次方程的知識(shí)點(diǎn);三是從課堂操作實(shí)踐推理歸納總結(jié)難點(diǎn).在學(xué)習(xí)二次函數(shù)與方程時(shí),強(qiáng)化點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的根的對(duì)應(yīng)關(guān)系,幫助學(xué)生更好地直觀感受數(shù)形結(jié)合.

3.2 整體設(shè)計(jì)“例題示范”與“作業(yè)強(qiáng)化”

通過(guò)選擇合適的例題進(jìn)行板書(shū)示范和設(shè)計(jì)有代表性的作業(yè)培養(yǎng)代數(shù)推理能力.例題教學(xué)中,筆者選擇多名學(xué)生演板,然后讓學(xué)生交流做法,優(yōu)化過(guò)程,糾正錯(cuò)誤.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)了代數(shù)推理能力,并且實(shí)實(shí)在在地感受到了用“數(shù)”的方法解決函數(shù)問(wèn)題的優(yōu)越性.

3.3 “代數(shù)推理”與“幾何推理”相互轉(zhuǎn)換

本節(jié)課是搭建抽象概念與具象知識(shí)間的橋梁,學(xué)生在深入研究y=ax2+bx+c的圖象與方程ax2+bx+c=0的解后,借助表達(dá)式間的關(guān)系,構(gòu)建了二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系,通過(guò)對(duì)函數(shù)和對(duì)應(yīng)的方程的具體研究形成了對(duì)二次函數(shù)和一元二次方程的認(rèn)識(shí)．

3.4 “合情推理”與“演繹推理”有機(jī)結(jié)合

本節(jié)課,二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)一元二次方程之間關(guān)系的建立是根據(jù)師生合作,畫(huà)出指定函數(shù)圖象,通過(guò)觀察、驗(yàn)證對(duì)應(yīng)一元次二方程推斷得出來(lái)的,而且把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到所有的二次函數(shù)中,整個(gè)過(guò)程符合“合情推理”的特征.而利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系去解決具體問(wèn)題是一般到特殊的過(guò)程,符合“演繹推理”的特征.本節(jié)課“合情推理”與“演繹推理”相互影響.在日常教學(xué)中,要多設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力.在例題教學(xué)中,要強(qiáng)化規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn),培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力.在學(xué)習(xí)新知時(shí),力求發(fā)展這兩種推理能力,這不僅是因?yàn)閮煞N推理方式是相輔相成的,而且有利于學(xué)生完整而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識(shí)新知.Z