函數(shù)的概念與性質(zhì)中易錯(cuò)問(wèn)題剖析和提醒

■朱 珠

函數(shù)的概念與性質(zhì)比較抽象,初學(xué)者常常會(huì)犯這樣或那樣的錯(cuò)誤,下面歸納整理剖析并提醒之。

易錯(cuò)點(diǎn)1:混淆復(fù)合函數(shù)的定義域和外層函數(shù)的定義域

剖析:已知復(fù)合函數(shù)的定義域,求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域,應(yīng)先求出外層函數(shù)f(x)的定義域即為內(nèi)層函數(shù)的值域,再求定義域。

當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),可得x2+1∈[1,5],則f(x)的定義域?yàn)閇1,5]。由1≤2x+1≤5,可得0≤x≤2,所以函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)閇0,2]。

提醒:已知函數(shù)f[φ(x)]的定義域求外層f(x)的定義域,實(shí)質(zhì)是求φ(x)的值域;已知函數(shù)f[φ(x)]的定義域A,求f[g(x)]的定義域,先求出φ(x)的值域B應(yīng)為外層f(x)的定義域,再利用整體變量觀念使g(x)∈B解出x的范圍,即為f[g(x)]的定義域。

易錯(cuò)點(diǎn)2:求函數(shù)值域時(shí),忽略定義域的限制作用

剖析:上述解法沒(méi)有考慮函數(shù)的定義域,導(dǎo)致所求值域擴(kuò)大了。由-x2+x+2≥0,

提醒:解決函數(shù)值域問(wèn)題,應(yīng)從函數(shù)的定義域入手,由內(nèi)到外利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求解。

易錯(cuò)點(diǎn)3:混淆函數(shù)值域?yàn)镽 與函數(shù)定義域?yàn)镽 的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)4:混淆單調(diào)區(qū)間和單調(diào)區(qū)間子集的意義

例4 若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

錯(cuò)解:函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1-a。函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,因此1-a≥4,可得a≤-3,即實(shí)數(shù)a∈(-∞,-3]。

剖析:上述解法把單調(diào)區(qū)間誤認(rèn)為是在區(qū)間上單調(diào)了。因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,4],且函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1-a,所以1-a=4,可得a=-3。

提醒:單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念,如函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I,指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I,而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào),則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。

易錯(cuò)點(diǎn)5:由單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí),忽略整體變量的范圍

例5 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù),若f(m-1)+f(2m-1)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

提醒:利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,一定要讓所有的整體變量都在所給區(qū)間上,再利用單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后求交集。

易錯(cuò)點(diǎn)6:分段函數(shù)求函數(shù)值,忽略整體變量的范圍

錯(cuò)解:當(dāng)1-a>1,1+a<1時(shí),由f(1-a)=f(1+a),可得-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-。

提醒:處理分段函數(shù)的求值問(wèn)題,必須考慮自變量的取值所在區(qū)間,如果取值不太明確時(shí),要進(jìn)行分類(lèi)討論,同時(shí)檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合題意。

易錯(cuò)點(diǎn)7:奇偶性的判斷中,忽視對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論

剖析:上述解法沒(méi)有對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,認(rèn)為f(-x)≠±f(x)。

當(dāng)a=0,b≠0 時(shí),f(x)是奇函數(shù);當(dāng)a≠0,b=0時(shí),f(x)是偶函數(shù);當(dāng)a=0,b=0時(shí),f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);當(dāng)a≠0,b≠0時(shí),f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

提醒:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng),函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下,對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù);若定義域內(nèi)存在x0使f(-x0)≠-f(x0),則f(x)不是奇函數(shù);若定義域內(nèi)存在x0使f(-x0)≠f(x0),則f(x)不是偶函數(shù)。