抽象函數(shù)問題的類型與求解方法

■彭恒彪

由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式抽象,對數(shù)學思維能力考查的起點較高,使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。下面介紹抽象函數(shù)的常見類型與求解方法。

聚焦1:“賦值法”求抽象函數(shù)的值

賦值法就是根據(jù)題目的具體情況,合理、巧妙地對某些元素賦予確定的特殊值(0,1,-1等),從而使問題獲得簡捷有效的解決。

例1 已知y=f(x)+3x2的圖像關于原點對稱,若f(2)=3,函數(shù)g(x)=f(x)-3x,則g(-2)的值是____。

解:因為y=f(x)+3x2的圖像關于原點對稱,所以f(-x)+3(-x)2=-[f(x)+3x2],即f(-x)=-f(x)-6x2。令x=2,則f(-2)=-f(2)-6×22=-3-24=-27。在g(x)=f(x)-3x中,令x=-2,則g(-2)=f(-2)-3×(-2)=-21。

評注:構建g(-2)與已知f(-2)的關系,利用y=f(x)+3x2的圖像關于原點對稱得到f(-x)=-f(x)-6x2,通過賦值得到f(-2),最后得到g(-2)。

聚焦2:“賦值法”探究抽象函數(shù)的奇偶性

判斷抽象函數(shù)的奇偶性的關鍵是得到f(x)與f(-x)的關系,解題時要對有關變量進行賦值,使其最后只保留f(x)與f(-x)的關系。

例2 已知定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1,試判斷此函數(shù)的奇偶性。

解:令x=y=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),可 得f(0)=f(0)+f(0),所 以f(0)=0。令y=-x,由f(x+y)=f(x)+f(y),可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(-x),所以此函數(shù)是偶函數(shù)。

評注:要得到f(x)與f(-x)的關系,首先對x,y賦值,可得f(0)=0,再對x,y賦值,可得f(x)=-f(-x)。

聚焦3:利用“配湊法”證明抽象函數(shù)的單調(diào)性

配湊法就是通過恰當?shù)钠磁c湊,使問題明了化、簡單化,從而達到比較容易解決問題的目的。配湊法的實質是一種迂回的解題方法,體現(xiàn)了轉化與化歸思想。配湊法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性是利用題設條件,結合單調(diào)性的定義進行轉化求解的。

例3 定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足:對任意實數(shù)m,n總有f(m+n)=f(m)·f(n),且當x>0時,0

聚焦4:“賦值法”求抽象函數(shù)的解析式

賦值法求抽象函數(shù)的解析式,首先要對題設中的有關參數(shù)進行賦值,再得到函數(shù)解析式的某種遞推關系,最后求得函數(shù)的解析式。

評注:其實,本題也可換一種思維方式,對于關系式f(a+b)=f(a)+f(b)+ab,令a=1,得到f(b+1)與f(b)的關系,由a,b都是自然數(shù),得到f(n+1)-f(n)=n(n∈N),這實質上就是一種數(shù)列的遞推公式。

聚焦5:“定義法”解抽象函數(shù)不等式

解抽象函數(shù)不等式,可利用函數(shù)單調(diào)性的定義,如“已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),若f(x1)

聚焦6:構造初等函數(shù),求解抽象函數(shù)問題

有些抽象函數(shù)是以基本函數(shù)為背景抽象而得的。解題時,若能從研究抽象函數(shù)的背景函數(shù)入手,根據(jù)抽象函數(shù)的有關性質,通過類比,猜想出它可能為某種基本函數(shù),再由具體函數(shù)的圖像與性質來解決抽象函數(shù)問題,則可達到事半功倍的效果。

例6 設定義在R 上的函數(shù)f(x),對于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=-2,當x>0時,f(x)<0。

(1)判斷f(x)的奇偶性,并加以證明。

(2)試問:當-3≤f(x)≤3 時,f(x)是否有最值? 如果有,求出最值;如果沒有,說明理由。

解:對于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),可猜想抽象函數(shù)f(x)的原形函數(shù)為f(x)=kx,當x>0時,f(x)<0,可得k<0。猜想如下:函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在R 上是減函數(shù)。

(1)令x=y=0,可得f(0)=0,令y=-x,可得f(0)=f(-x)+f(x),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù)。

(2)設-3≤x10時,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,所以f(x2)

當x=-3時,f(x)有最大值f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6;當x=3 時,f(x)有最小值f(3)=-6。

評注:在解答抽象函數(shù)問題時,若能尋找出抽象函數(shù)的模型函數(shù),根據(jù)模型函數(shù)的圖像與性質,找出問題的解法或證法,是一種行之有效的好方法。