挖掘概念內(nèi)涵，巧妙綜合應(yīng)用
———分段函數(shù)

■王紅芳

分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù),在實(shí)際問題中,分段函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用,課本中沒有進(jìn)行大篇幅的介紹,但它是高考的必考內(nèi)容之一。

一、分段函數(shù)的概念

在函數(shù)的定義域中,對于自變量不同的取值范圍,用含有自變量不同的式子(包括常數(shù))來表示對應(yīng)法則的函數(shù),這類函數(shù)叫作分段函數(shù)。分段函數(shù)的四個(gè)注意點(diǎn):分段函數(shù)在形式上,至少分成兩段,最多可以分成無數(shù)段,但它仍然表示一個(gè)函數(shù),不能理解成幾個(gè)函數(shù)的拼接或合并;分段函數(shù)在圖像上,一般由多于一段的線段、曲線段或孤立的點(diǎn)組成,應(yīng)該把它們看作一個(gè)整體,而不是幾個(gè)圖像;分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集;求分段函數(shù)的函數(shù)值,先要確定自變量在函數(shù)的定義域中所在的區(qū)間,再根據(jù)該區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。

二、分段函數(shù)的應(yīng)用

1.分段函數(shù)的求值問題

在分段函數(shù)的求值中,要先正確判斷給定的自變量在函數(shù)的定義域中所在的范圍,再結(jié)合該范圍的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求值。

2.分段函數(shù)的最值問題

分析:先利用分段函數(shù)的解析式,求出在不同區(qū)間內(nèi)的取值范圍,再結(jié)合整體情況確定對應(yīng)的最大值。

解:當(dāng)x≤0 時(shí),y≤3;當(dāng)01時(shí),y<4。

綜上所述,y≤4。故所求函數(shù)的最大值為4。

求分段函數(shù)的值域,可以先分類求出各段內(nèi)的函數(shù)的值域,再求各段內(nèi)的函數(shù)值域的并集,最后即得最值。

3.分段函數(shù)中的不等式問題

分析:先利用分段函數(shù)確定相應(yīng)的不等式,再利用一元二次不等式確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

根據(jù)不等式中變量的取值范圍,將對應(yīng)的不等式加以合理轉(zhuǎn)化與變形,是解決涉及分段函數(shù)中的不等式問題的關(guān)鍵。如果無法確定變量的取值范圍,則需要進(jìn)行分類討論。

4.分段函數(shù)的解析式問題

解題時(shí),利用函數(shù)的遞推關(guān)系與給定區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式,通過分類討論求解相應(yīng)區(qū)間上分段函數(shù)的表達(dá)式。

5.分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題

例5 某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi),月通話時(shí)間x(min)與相應(yīng)話費(fèi)y(元)之間的函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1

(1)當(dāng)月通話為50min 時(shí),應(yīng)繳話費(fèi)多少元?

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

分析:先確定當(dāng)0≤x≤100時(shí)的函數(shù)解析式,再計(jì)算對應(yīng)的函數(shù)值;通過分類討論,確定對應(yīng)的函數(shù)解析式。

解:(1)當(dāng)0≤x≤100時(shí),結(jié)合題意,設(shè)函數(shù)的解析式為y=kx(k≠0)。

實(shí)際應(yīng)用中的分段函數(shù)問題,要綜合實(shí)際問題與函數(shù)問題之間的關(guān)系進(jìn)行分析與求解。