性質(zhì)巧綜合，函數(shù)妙應(yīng)用

■武春苗

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性是函數(shù)的四大基本性質(zhì)。函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,在歷年的高考中都占有非常重要的地位。函數(shù)性質(zhì)之間關(guān)系密切,涉及兩個(gè)及兩個(gè)以上函數(shù)性質(zhì)之間的綜合應(yīng)用問(wèn)題,其難度大,解題技巧性強(qiáng),且具有一定的抽象性,因此應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視。

一、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用問(wèn)題,要注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義,以及奇偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性。

二、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合

例2 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x-1)為奇函數(shù),f(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=kx+m,若f(0)-f(3)=-1,則f(2023)=( )。

A.-1 B.1

C.-2 D.0

函數(shù)的周期性與奇偶性的應(yīng)用問(wèn)題,可利用函數(shù)的奇偶性與周期性,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行分析與處理。

三、函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性的綜合

例3 (多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+2)為奇函數(shù),f(2x+1)為偶函數(shù),則( )。

A.f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

B.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱

D.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱

由函數(shù)f(x+2)為奇函數(shù),可知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,B錯(cuò)誤、D 正確。由函數(shù)f(2x+1)為偶函數(shù),可得f(-2x+1)=f(2x+1),令2x=t,則f(-t+1)=f(t+1),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,A 正確,C錯(cuò)誤。應(yīng)選AD。

函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性的應(yīng)用問(wèn)題,可結(jié)合奇偶性的定義,構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式求解。這里的對(duì)稱性包括點(diǎn)的對(duì)稱和直線的對(duì)稱。

四、函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的綜合

例4 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+4)=-f(x)+2,若函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1 對(duì)稱,且f(5)=2,則f(2023)=____。

對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+4)=-f(x)+2,則f(x)=-f(x+4)+2。所以f(x)=-f(x+4)+2=-[-f(x+8)+2]+2=f(x+8),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)。

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù)。

因?yàn)閒(5)=2,所以f(2023)=f(253×8-1)=f(-1)=f(1)=-f(5)+2=-2+2=0。

函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用問(wèn)題,要注意對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系與轉(zhuǎn)化,要注意函數(shù)圖像的周期是兩條相鄰對(duì)稱軸(或相鄰對(duì)稱中心)之間距離的2 倍,是對(duì)稱中心與相鄰對(duì)稱軸之間距離的4倍。

五、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性的綜合

例5 (多選題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的x∈R 恒有f(x+1)=f(x-1)成立,已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x,則( )。

A.2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x)的最大值是2,最小值是1

D.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1 對(duì)稱

在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,則f(t+2)=f(t),所以2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,A 正確。當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)f(x)=2x單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的奇偶性知f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)的周期性知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增,B正確。結(jié)合選項(xiàng)B可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,最小值f(x)min=f(0)=f(2)=0,且函數(shù)f(x)是周期為2 的周期函數(shù),C 錯(cuò)誤。由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),可得f(-x)=f(x),由函數(shù)f(x)的周期T=2,可得f(x)=f(x+2),所以f(-x)=f(x+2),即函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1 對(duì)稱,D 正確。應(yīng)選ABD。

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用問(wèn)題,是高考的?？键c(diǎn),解題時(shí),要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性,并結(jié)合已知條件來(lái)確定函數(shù)在相關(guān)區(qū)間上的單調(diào)性,即實(shí)現(xiàn)不同區(qū)間的轉(zhuǎn)化,再利用函數(shù)的單調(diào)性及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解。