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    理解·感悟·升華

    2023-10-28 16:23:07武素云
    新教師 2023年9期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學思想

    武素云

    【摘 要】“鴿巢問題”是六下數(shù)學廣角的內(nèi)容,教師應為學生該部分的學習鋪路搭橋,從而發(fā)展學生的抽象思維、推理意識和應用能力。

    【關(guān)鍵詞】鴿巢問題 數(shù)學思想 模型意識

    數(shù)學學習的一個重要內(nèi)容是通過一定的自身經(jīng)驗積累,在理解、感悟的過程中逐漸升華,并形成特定的數(shù)學模型來解決實際問題。教材將鴿巢問題引入數(shù)學廣角,其編排意圖和價值取向是讓學生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學化”的過程,使學生形成初步的模型意識,體會和理解數(shù)學源于生活、用于生活的功用,培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯推理和應用意識。但鴿巢問題對小學生來說是一類比較抽象和艱澀的數(shù)學問題,理解起來是有一定困難的,那么,如何讓學生較好地掌握鴿巢問題并發(fā)展學生的思維能力呢?

    一、沉入式理解

    學生理解問題的深度和廣度受限于知識儲備、經(jīng)驗和思維品質(zhì)等。教師不能用自己想當然的方式去衡量學生的認知水平,而應站在學生的角度試著去思考問題,發(fā)現(xiàn)其薄弱點,努力架起學生思維和知識之間的橋梁,降低學生學習的難度。在鴿巢問題中,對“總有”和“至少”的理解是理解該問題的關(guān)鍵,也是教學的難點。沉入式理解就是讓學生的理解不浮于表面,而是沉入具體情境,借助具體情境深入理解抽象的內(nèi)容,以達到教學的目標。

    在教材例1中呈現(xiàn)了其基本的結(jié)構(gòu):“4支鉛筆放進3個筆筒中,不管怎么放,總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。”單從題目上理解“總有”和“至少”,學生都能知道“總有”就是“一定有”,“至少”就是“最少”,也就是說“一定有1個筆筒里最少放入了2支鉛筆”,然而,鴿巢問題只理解到這個層面是遠遠不夠的。教學中通過引導學生對題目進行初步理解后,教師可進行這樣的追問:“至少2支,能不能多于2支?能不能等于2支?能不能少于2支?”從而讓學生理解最差或最不好的情況是必須達到2支,為后面引出“最不利”做好鋪墊。引導學生通過實踐操作得出4支筆放進3個筆筒中一共有4種情況:(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1),讓學生說說每種情況為什么都符合“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”,再次理解“總有一個筆筒”就是看每種情況中鉛筆最多的那個筆筒,而“至少”就是在這些“最多”的情況中找“最少”,并形成板書(如右圖)。讓學生對“總有”和“至少”的理解沉入到具體情境中,依托具體情境內(nèi)化為對知識的理解。

    二、思辨式感悟

    鼓勵學生大膽提出問題,為學生創(chuàng)造良好的思辨情境和思辨氛圍,讓學生在思辨中感悟是理解鴿巢問題的有效途徑。鴿巢問題在教材中呈現(xiàn)了兩種解決方案,即枚舉法和假設法,枚舉法有其局限性,假設法更為通用。如何讓學生深刻感悟這一方法,并能正確運用此法解釋鴿巢問題呢?教師應引導學生抓住該問題的關(guān)鍵點,逐層遞進,讓學生在關(guān)鍵處思辨,在思辨中感悟,在感悟中深刻。

    以下是教師帶領(lǐng)學生感悟假設法的三次關(guān)鍵處思辨。第一次,感悟“最不利”?!懊杜e法列舉出的4種情況中,哪種情況是最差、最不好的情況?”拋出這樣的問題引發(fā)學生思辨,最后明確(2,2,0)和(2,1,1)兩種情況中,鉛筆支數(shù)最多的那個筆筒里都只有2支,但后者僅僅一個筆筒里有2支鉛筆,是剛剛達到要求而已,因此(2,1,1)是4種情況中最差、最不好的情況,為假設法的引入和理解埋下伏筆。第二次,感悟“平均分”。學生將3支鉛筆平均放入3個筆筒中,剩下1支無論放在哪個筆筒中,那個筆筒中都有2支鉛筆。這時教師追問:“為什么先要平均分?”讓學生思辨后明確平均分是為了不讓任何一個筆筒空著,就能達到讓所有筆筒中的鉛筆數(shù)量最少的目的,也就是最不利的情況。在最不利的情況下如果都能達到“總有一個筆筒中至少有2支鉛筆”,那其他情況肯定都能達到要求了。第三次,感悟“商+1”。教師提出進階性問題:“8支鉛筆隨意放入3個筆筒中,總有一個筆筒中至少放入了幾支鉛筆?”學生列式8÷3=2(支)……2(支),2+2=4(支)或2+1=3(支),結(jié)合實踐操作讓學生思辨:余下的2支鉛筆是放入同一個筆筒中,還是分別放在兩個筆筒中?明確要想找到“至少數(shù)”就要從最不利的情況出發(fā),引導學生理解“平均分”就是最不利的情況,并且余數(shù)也要盡量平均分。通過這樣的思辨,學生對假設法才會有更深層次的感悟,而不是停留在只會列算式卻不理解其深層次意義的簡單表達上。

    三、螺旋式升華

    學生掌握知識的方式都是由易到難、由淺入深的,重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想方法宜體現(xiàn)螺旋式上升的原則。這就要求教師要全盤考慮知識結(jié)構(gòu)和教學思路,在進行教學設計時應盡可能地適應學生的思維能力,遵循學生對事物的認知規(guī)律,在教學實踐中逐步對知識進行加深和拓寬,進而使學生對知識的掌握呈螺旋式的升華。鴿巢問題的難點主要在模型的建立和具體的運用上,不是所有的問題都一眼就能看出“鴿子”和“鴿巢”在其問題中指代的事物分別是什么。在一些變式的情況下,怎樣才能把現(xiàn)實問題和鴿巢問題的模型結(jié)合起來呢?教學過程中,教師要從學生的角度出發(fā),充分考慮學生的知識基礎、生活經(jīng)驗和思維方式,找準知識的連接點,促使學生螺旋式地升華對鴿巢問題的認識。

    借助鉛筆和筆筒,讓學生在親身經(jīng)歷中深刻感知分的過程和分的結(jié)果,清晰地建立鉛筆和筆筒之間的表象,積累對鴿巢問題的感性認識。接著,引入假設法,讓學生在直觀操作的基礎上感受平均分的思路,既然是平均分就可以用算式表達,與學生已有的知識基礎相連接,將口頭表達推理的過程提升到用算式表達推理的過程,并逐漸增多鉛筆的根數(shù),以加深和拓寬學生對知識的理解。再提出如果將鉛筆換成蘋果、鴿子、糖果、書本,同時將筆筒換成抽屜、鴿舍、罐子、學生,仍然可以得到相同的結(jié)論嗎?即推理得出“物品數(shù)÷抽屜數(shù)=商……余數(shù),至少數(shù)=商+1”的公式,讓學生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學化的過程,初步形成模型意識。最后,指導學生應用模型解決生活中的實際問題,由基礎問題“張叔叔參加飛鏢比賽,投了5鏢,成績41環(huán),張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán),為什么?”進階到“隨意找20名學生,至少有2名學生屬相相同。為什么?”再出示變式問題“出示一副撲克牌,取出大小王,還剩52張,共有13人,每人隨意抽1張,至少有3張牌是相同花色的,為什么?”將鴿巢問題逐層進階,設計由基礎到變式的相關(guān)問題,在這個過程中體會什么是“待分物品”、什么是“抽屜”,并構(gòu)建數(shù)學與生活世界的緊密聯(lián)系,螺旋式地經(jīng)歷從錯綜復雜的真實材料中尋找鴿巢問題的數(shù)學模型,使學生的模型意識得到升華,進而發(fā)展學生的抽象思維、推理意識和應用能力。

    因此,數(shù)學廣角的教學模式更加注重在活動中使學生感悟數(shù)學的思想方法,并嘗試運用這一思想方法解決實際問題,從而建構(gòu)某類問題的通用模型。學生的數(shù)學思想并不能像數(shù)學知識一樣一步到位,而是要經(jīng)歷一個由淺入深、循序漸進的過程,這個過程是一個從個別到一般,從具體到抽象,從感性到理性,從低級到高級的螺旋上升的過程。在這一過程中,教師要作為引導者,促使學生在一次次的思維碰撞中不斷理解、感悟、升華,也只有這樣才能將書本的知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生自身的能力。

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