基于可視化視角下“復數(shù)幾何意義”教學再設計

朱夢婷 李楷尼 李文靜 丁文文

【摘要】文章從復數(shù)的幾何意義出發(fā)對復數(shù)教學再設計，輔以信息技術(shù)手段，給學生呈現(xiàn)生動形象的數(shù)學直觀.最后以學生熟悉的萬花尺引入復數(shù)的應用，以期讓學生在繁復美麗的萬花尺圖案中領悟復數(shù)在其中的關(guān)鍵作用，體會生活中無處不在的復數(shù).

【關(guān)鍵詞】復數(shù)；幾何意義；旋轉(zhuǎn)；可視化

【基金項目】安徽省質(zhì)量工程教學研究項目（2020jyxm1671）；安徽省教學研究項目（2020jyxm1691）；安徽省省級教學師范課程（2020SJJXSFK2169）；淮北師范大學校級課程團隊建設項目（kctdj18043）；淮北師范大學教學研究校級重點項目（2018jyxm01）

一、高中數(shù)學課程標準“復數(shù)”內(nèi)容的變革

《普通高中數(shù)學課程標準（2003年版）》明確了高中數(shù)學學習的目標：“理解引入復數(shù)的必要性”“了解數(shù)系的擴充”“掌握復數(shù)的表示、運算”“復數(shù)的幾何意義”.與此同時，高中數(shù)學經(jīng)歷了大范圍的刪除難、繁、偏、舊等內(nèi)容，以及增加新內(nèi)容的課程體系變革，在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，復數(shù)的三角表示這一內(nèi)容被作為選修內(nèi)容加入.

二、國內(nèi)外教材復數(shù)章節(jié)對比

許多學者對國內(nèi)外教材中復數(shù)內(nèi)容進行了對比和研究，提出了教學中值得借鑒的建議.如彭艷貴在《“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數(shù)學課程標準復數(shù)內(nèi)容比較研究》一文中提到中國教材知識點少，沒有涉及“復數(shù)的應用”“復數(shù)的歐拉定理”“代數(shù)學基本定理”等反映深入復數(shù)概念的有關(guān)知識點.

三、合理利用信息技術(shù)輔助課堂

信息技術(shù)在數(shù)學課堂中的應用十分廣泛，但是在復數(shù)課堂中卻很少應用.一些學者評論說，中學課程不應忽視學生掌握復數(shù)的機會.如今，可視化被認為是推理證明、解決問題的關(guān)鍵組成部分.歷史相似性理論指出，數(shù)學概念的歷史發(fā)展過程與學生對數(shù)學概念的認知過程存在一定的相似性，數(shù)學家歷經(jīng)三百年才接受“虛無縹緲”的虛數(shù)，學生妄想在短短45分鐘的傳統(tǒng)講授就理解本質(zhì)，這是無法實現(xiàn)的.但如果在課堂中借助信息技術(shù)手段，這一無法實現(xiàn)的目標就能夠輕松實現(xiàn).

四、高中數(shù)學復數(shù)內(nèi)容的教學再設計

（一）結(jié)合數(shù)學史，引入復數(shù)

設計意圖：在高考的導向下，高中課堂忽視了復數(shù)的幾何意義而注重公式技巧的運用.希臘學者通過問卷調(diào)查，對希臘95名高中生進行復數(shù)學習方法的調(diào)查.結(jié)果表明，幾何方法被更頻繁地使用，而代數(shù)方法被更一致和系統(tǒng)地使用.

（三）復數(shù)與旋轉(zhuǎn)

設計意圖：復數(shù)聯(lián)系著眾多數(shù)學知識，當把i看作旋轉(zhuǎn)90°時，能夠幫助學生直觀理解x2=-1是怎么變換得到.通過多方面的復數(shù)特征性內(nèi)容幫助學生深入認識和掌握復數(shù)概念，有助于學生靈活運用所學知識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

（四）復數(shù)與跨學科應用

師；復數(shù)的應用無處不在，同學們小時候玩過萬花尺嗎？

生：玩過！可以畫出很多美麗的圖案.

師：簡單的萬花尺竟然能畫出如此美妙的圖案，大家知道這是什么曲線嗎？這其實就是內(nèi)旋輪線的軌跡方程，借助復數(shù)旋轉(zhuǎn)，可以幫助我們輕松求出軌跡方程.當然這也涉及物理中所學習的角速度和線速度的知識.

原來萬花尺繪制的美麗圖案最終還是歸于數(shù)學軌跡，數(shù)學的應用在生活中無處不在.

設計意圖：從學生接觸過的萬花尺入手，符合學生的認知水平.而其中的內(nèi)旋輪線雖然學生并未學過，但是其中的線速度角速度等知識在物理學科中均有涉及.將數(shù)學教學與其他教學學科相結(jié)合是非常重要的，學生通過聯(lián)想類比等思維方式學習數(shù)學知識，因此數(shù)學應該在適當?shù)那闆r下被情境化.

結(jié) 語

文章從高中數(shù)學課程標準“復數(shù)”內(nèi)容的變革和國內(nèi)外教材復數(shù)章節(jié)對比等角度，針對不同學者的建議對復數(shù)章節(jié)教學進行再設計，使學習者厘清復數(shù)概念，從“實”到“虛”，同時采用信息技術(shù)進行數(shù)學“實驗”，讓學生從扁平的書本中窺見多姿多彩的數(shù)學世界.在教學過程中，教師應重點訓練學生的數(shù)學遷移能力，既要聯(lián)系向量、指數(shù)等數(shù)學知識，從多角度認識復數(shù)的幾何意義，又要跨越學科的壁壘，拓寬復數(shù)的應用范圍.

【參考文獻】

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[2]彭艷貴.“中國”“美國”“新加坡”“英國”“澳大利亞”高中數(shù)學課程標準復數(shù)內(nèi)容比較研究[J].數(shù)學教育學報，2019（01）：49-54.

[3]呂天璽，王光明.基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“復數(shù)”教學設計[J].數(shù)學通報，2018（06）：39-43.