淺談復(fù)變函數(shù)中初等多值函數(shù)教學(xué)的幾個要點

卜瑋平 劉紅良

【摘要】在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中，初等多值函數(shù)是其中的難點.文章以根式函數(shù)為例，并結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，對初等多值函數(shù)中支點和支割線的選取及單值解析分支的確定與計算等要點進(jìn)行了討論.

【關(guān)鍵詞】初等多值函數(shù)；支點；支割線；單值解析分支

【基金項目】湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目[立項編號HNJG-2021-0422]

引 言

復(fù)變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中繼數(shù)學(xué)分析后的又一門重要分析類課程，其相關(guān)理論已廣泛應(yīng)用于眾多學(xué)科.由于所考慮的自變量為復(fù)數(shù)，這使得一些函數(shù)通常呈現(xiàn)多值性，這是復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析這兩門課程的一個重要區(qū)別.事實上，在復(fù)變函數(shù)中多值函數(shù)具有廣泛應(yīng)用.然而，實踐教學(xué)表明初等多值函數(shù)這部分內(nèi)容是眾多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是部分初次講授復(fù)變函數(shù)的青年教師教學(xué)中感到吃力的地方.文章主要針對初等多值函數(shù)中支點、支割線和單值解析分支等內(nèi)容并結(jié)合教學(xué)實踐中學(xué)生存在的問題展開討論，淺析教學(xué)中需要注意的一些關(guān)鍵點.

定義1 一般地，具有這種性質(zhì)的點，使得當(dāng)變點z繞這點一整周時，多值函數(shù)的函數(shù)值發(fā)生改變，也就是說，當(dāng)變點回轉(zhuǎn)至原來的位置時，函數(shù)值與原來的值相異，則稱此點為多值函數(shù)的支點.

一般地，尋找多值函數(shù)的支點是教學(xué)中的一個難點.下面筆者通過幾個多值函數(shù)來說明支點的求法.

通過例1中的4個小題，可以得出判斷某一點是否為支點時所要注意的幾個關(guān)鍵點.首先，由（1）和（2）可知當(dāng)自變量z繞某一點一整周時，關(guān)注函數(shù)w的輻角是否起變化，這是該點成為支點的前提.其次，比較（3）和（4）可知某一點為支點的條件是函數(shù)w的輻角變化不能為2π的整數(shù)倍.再次，由（3）可知當(dāng)考查自變量z繞某一點一整周時應(yīng)該選取充分小的鄰域進(jìn)行考查，這樣可以避免出現(xiàn)誤判，例如當(dāng)考查1是否為支點時所取鄰域包含0和1，這將導(dǎo)致函數(shù)w的輻角改變量為2π的整數(shù)倍，從而得出1不是支點的錯誤結(jié)論.

定義2 一般地，用來割破復(fù)平面，借以分出初等多值函數(shù)w=f（z）的單值解析分支的割線，稱為w的支割線.

從支割線的定義可以看出，其本質(zhì)是為了限制自變量來達(dá)到限制函數(shù)w的輻角變化的目的（此時w的輻角不變或僅改變2π的整數(shù)倍）.事實上，對于給定的初等多值函數(shù)，支割線的選取方法并不唯一，這也是學(xué)生難以理解該知識點的一個原因.下面筆者針對例1中的4個例題來說明支割線的選取方法.

例2 給出例1中各函數(shù)支割線的一種選取方法.

解 （1）已知函數(shù)的所有支點為0和∞，顯然只要將復(fù)平面沿著0和∞的任意連線割開就可保證函數(shù)的輻角值不發(fā)生變化，這是因為按照上述方法割開的復(fù)平面將使得自變量z不能繞支點一整周（即割破的復(fù)平面上z的輻角的連續(xù)變化范圍小于2π），這就保證了函數(shù)的輻角值不起變化.特別地，筆者可取沿著負(fù)實軸連接0和∞的線作為支割線.

（2）類似于（1）中的討論，為了使得在割破的復(fù)平面上z-a的輻角的連續(xù)變化范圍小于2π，只需沿著任意連接a和∞的線割破復(fù)平面即可.因此，筆者取沿正實軸連接a和∞的線作為支割線的一種選取方法.

（3）由（1）和（2）可知，一種最簡單的方法是選用沿著正實軸連接0和∞的線作為支割線，因為此時在割破的復(fù)平面上z，z-1，z-2，z-3，z-4的輻角連續(xù)變化范圍均小于2π.然而，應(yīng)該指出這種支割線的選取方法割破了復(fù)平面上一些本可不被割破的地方.事實上，可取沿正實軸分別連接0，1和2，3的線段及連接4和∞的射線構(gòu)成支割線.下面筆者說明這種取法的合理性，此時z只有繞著0，1和2，3形成的線段一整周時，z（z-1）（z-2）（z-3）（z-4）的輻角值才會起變化.具體而言，當(dāng)z繞著0，1形成的線段逆時針一整周時，僅z和z-1的輻角值起變化（即均增加2π）；當(dāng)z繞著2，3形成的線段逆時針一整周時，僅z-2和z-3的輻角值起變化（即均增加2π）.這表明盡管z繞著分別由0，1和2，3形成的線段一整周時w的輻角值會起變化，但其輻角的增加值為2π的整數(shù)倍，因此w的數(shù)值不發(fā)生變化，即上述支割線的選取是合理的.

（4）根據(jù)（3）的分析，顯然可取沿著正實軸連接0和3的線段作為多值函數(shù)的支割線，也可取沿著正實軸連接0，1的線段及連接2，3的線段作為支割線.

通過上述4個例題，可得選取支割線時所要注意的幾個關(guān)鍵點：第一，多值函數(shù)支割線的選取并不唯一；第二，復(fù)平面上的支割線可由多段構(gòu)成；第三，當(dāng)取復(fù)平面上多段構(gòu)成支割線時，必須保證復(fù)變量z繞每一段旋轉(zhuǎn)一周時函數(shù)w的輻角改變量為2π的整數(shù)倍.

現(xiàn)比較上述三種解法.第一種解法的錯誤原因在于沒有確定正確的單值解析分支，即可理解為將單值解析分支函數(shù)自變量的取法搞錯了.事實上，如果例3中所取的支割線為沿負(fù)實軸連接原點z=0和∞的線，則第一種解法是正確的.這表明在實際解題中如果能夠準(zhǔn)確寫出單值解析分支函數(shù)，則應(yīng)該注意函數(shù)自變量的取法，同時在解題時應(yīng)該特別注意題設(shè)中所給定的是哪一種支割線，因為支割線的選取不一樣將可能使計算中所得的結(jié)果不同.對比第二種與第三種解法可知，盡管它們都能得到正確的結(jié)果，但是第二種方法需要知道單值解析分支的準(zhǔn)確表示形式，然而實際當(dāng)中存在眾多無法準(zhǔn)確寫出單值解析分支的情形，因此在教學(xué)中筆者推薦用第三種解法進(jìn)行解題.

總 結(jié)

教學(xué)實踐表明，初等多值函數(shù)是復(fù)變函數(shù)課程中學(xué)生學(xué)習(xí)感覺最吃力的內(nèi)容之一.文章針對初等多值函數(shù)的支點、支割線和單值解析分支的確定與計算這些學(xué)生難以理解的內(nèi)容進(jìn)行了討論.通過結(jié)合例題的解答，筆者進(jìn)一步闡釋了支點、支割線和單值解析分支這些概念，并指出了教學(xué)中應(yīng)該注意的一些地方.

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