永磁同步電機(jī)多步模型預(yù)測(cè)電流控制球形編碼研究

李耀華,王孝宇,陳桂鑫,劉子焜,劉東梅,任 超

(長(zhǎng)安大學(xué)汽車學(xué)院,陜西西安 710064)

1 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)有限狀態(tài)集模型預(yù)測(cè)電流控制(finite control set model predictive current control,FCS-MPCC)遍歷逆變器所有電壓矢量,將其代入至電流預(yù)測(cè)模型,得到未來(lái)時(shí)刻的電流預(yù)測(cè)值,設(shè)計(jì)體現(xiàn)控制目標(biāo)控制性能的成本函數(shù),選擇令成本函數(shù)最小的最優(yōu)電壓矢量作用于下一時(shí)刻[1–6].模型預(yù)測(cè)電流控制可預(yù)測(cè)未來(lái)多個(gè)時(shí)刻的電流值,得到更多未來(lái)控制周期的預(yù)測(cè)信息,但也帶來(lái)隨步長(zhǎng)增長(zhǎng)而呈指數(shù)級(jí)別增長(zhǎng)的計(jì)算量,使得多步預(yù)測(cè)實(shí)時(shí)性較差.因此,降低計(jì)算量就成為多步預(yù)測(cè)的研究重點(diǎn)[7–9].文獻(xiàn)[10]提出一種兩步模型預(yù)測(cè)控制算法,在第1步遍歷N個(gè)備選控制量,選取最優(yōu)和次優(yōu)控制量,在此基礎(chǔ)上再次遍歷N個(gè)控制量進(jìn)行第2步模型預(yù)測(cè),從2N個(gè)控制序列中選擇最優(yōu)控制序列.該模型預(yù)測(cè)控制算法只適用于2步預(yù)測(cè),且在1步預(yù)測(cè)最優(yōu)和次優(yōu)電壓矢量的基礎(chǔ)上進(jìn)行2步預(yù)測(cè)將會(huì)舍棄一些電壓矢量,不能保證所求的電壓矢量序列是最優(yōu)電壓矢量序列.文獻(xiàn)[11–12]提出兩步模型預(yù)測(cè)控制精簡(jiǎn)策略:在第1步模型預(yù)測(cè)遍歷N個(gè)備選控制量,保持相同控制量進(jìn)行第2步模型預(yù)測(cè),即相同的控制量連續(xù)作用于系統(tǒng)進(jìn)行兩步預(yù)測(cè),得到N個(gè)控制量序列.該模型預(yù)測(cè)控制算法在第2步預(yù)測(cè)過(guò)程中逆變器開關(guān)切換次數(shù)相同,使得逆變器開關(guān)切換達(dá)不到控制效果.文獻(xiàn)[13]提出優(yōu)化的多步模型預(yù)測(cè)控制在第1步遍歷N個(gè)備選控制量,選取最優(yōu)和次優(yōu)控制量,將最優(yōu)和次優(yōu)控制量連續(xù)作用于系統(tǒng)進(jìn)行兩步模型預(yù)測(cè),從2個(gè)控制量序列中選擇最優(yōu)控制量序列.該模型預(yù)測(cè)控制算法從2個(gè)電壓矢量序列中選擇最優(yōu)電壓矢量序列,使得所求得最有電壓矢量序列具有較大的局限性.文獻(xiàn)[14]提出了一種基于蟻群算法的模型預(yù)測(cè)控制方法,將連續(xù)時(shí)刻逆變器開關(guān)狀態(tài)視為蟻群運(yùn)動(dòng)軌跡,并根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)在較優(yōu)路徑上留下較強(qiáng)信息素作為正反饋以減少計(jì)算量.該模型控制算法采用蟻群算法的智能算法,具有較大的隨機(jī)性且只能求得局部最優(yōu)解.文獻(xiàn)[15]提出一種基于最小二乘法的永磁同步電機(jī)多步預(yù)測(cè)控制方法,將控制算法轉(zhuǎn)變成一個(gè)最小二乘問(wèn)題,以此來(lái)進(jìn)行多步預(yù)測(cè),但仍然采用遍歷法求解,計(jì)算量并未減少.文獻(xiàn)[16]采用分支定界法(branch and bound methods,BB),通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)值預(yù)先設(shè)定上下限,對(duì)計(jì)算步數(shù)設(shè)定閾值,以簡(jiǎn)化多步預(yù)測(cè)控制過(guò)程,減少平均計(jì)算量.該模型預(yù)測(cè)控制算法在直接轉(zhuǎn)矩控制目標(biāo)“轉(zhuǎn)矩磁鏈在一定滯環(huán)范圍內(nèi)”的基礎(chǔ)上將開關(guān)切換次數(shù)最小作為控制目標(biāo),分支定界算法雖然能夠求得全局最優(yōu)解,但只限于線性問(wèn)題,并不適用于求解將電流誤差和開關(guān)狀態(tài)作為成本函數(shù)的模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題.文獻(xiàn)[17]提出一種簡(jiǎn)化多步算法,相比于常規(guī)預(yù)測(cè)模型中使用的平方根和三角函數(shù)等復(fù)雜運(yùn)算,該算法僅使用查找表和加法運(yùn)算進(jìn)行多步預(yù)測(cè),避免了對(duì)所有可能切換序列探索.該模型預(yù)測(cè)控制算法避免復(fù)雜運(yùn)算以減小控制器的運(yùn)算負(fù)擔(dān),減小運(yùn)算精度以提高運(yùn)算速度,應(yīng)用于多步模型預(yù)測(cè)控制并不能準(zhǔn)確求得最優(yōu)解.

本文建立基于球形編碼的永磁同步電機(jī)多步模型預(yù)測(cè)電流控制系統(tǒng),將傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制遍歷所有開關(guān)序列計(jì)算并尋求成本函數(shù)最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為計(jì)算并尋求開關(guān)序列對(duì)應(yīng)的矩陣二范數(shù)平方最小的問(wèn)題,并采用事件觸發(fā)機(jī)制動(dòng)態(tài)精簡(jiǎn)計(jì)算量.仿真和實(shí)時(shí)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明球形編碼與傳統(tǒng)方法完全等價(jià),控制效果相當(dāng),但可減少多步預(yù)測(cè)的執(zhí)行時(shí)間,提升系統(tǒng)實(shí)時(shí)性能.

2 PMSM多步模型預(yù)測(cè)電流控制

2.1 PMSM電流預(yù)測(cè)模型

轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下,永磁同步電機(jī)定子d軸和q軸電壓方程如式(1)所示.

式中:ud和uq分別為定子電壓矢量在d軸和q軸上的分量,id和iq分別為定子電流矢量在d軸和q軸上的分量,Ld和Lq為定子電感在d軸和q軸上的分量;ψf為永磁體磁鏈,Rs為定子電阻,ωe為轉(zhuǎn)子電角速度.

由于采樣周期較短,定子電流的導(dǎo)數(shù)可用一階前向歐拉離散法表示,如式(2)所示.

式中:idq(k)為k時(shí)刻定子電流矢量在d軸和q軸上的分量,idq(k+1)為(k+1)時(shí)刻定子電流矢量在d軸和q軸上的分量,Ts為采樣周期.

下一時(shí)刻的定子d軸和q軸電流預(yù)測(cè)值如式(3)所示.

式中ωe(k)為k時(shí)刻轉(zhuǎn)子電角速度.

因此,永磁同步電機(jī)定子d軸和q軸電流預(yù)測(cè)模型如式(4)所示.

三相兩電平電壓源逆變器開關(guān)狀態(tài)共有8組,對(duì)應(yīng)8 個(gè)不同的基本電壓矢量,包括6 個(gè)非零電壓矢量V1(100),V2(110),V3(010),V4(011),V5(001),V6(101)和2個(gè)零電壓矢量V0(000),V7(111).在αβ靜止坐標(biāo)系下,8種開關(guān)狀態(tài)對(duì)應(yīng)電壓矢量在α軸和β軸上的分量如表1所示.

逆變器開關(guān)狀態(tài)變量u=[SaSbSc]T與靜止坐標(biāo)系下基本電壓矢量的α軸和β軸分量關(guān)系式如式(5)所示.

定子電壓矢量d軸和q軸分量與α軸和β軸分量的變換關(guān)系如式(6)所示.

θe(k)為k時(shí)刻轉(zhuǎn)子角位置.

由此可得,永磁同步電機(jī)定子d軸和q軸電流預(yù)測(cè)模型可如式(7)所示.

2.2 多步電流預(yù)測(cè)模型

多步模型預(yù)測(cè)電流控制需要在當(dāng)前k時(shí)刻預(yù)測(cè)未來(lái)多個(gè)時(shí)刻的d軸和q軸電流.(k+1)時(shí)刻及之后時(shí)刻的電機(jī)速度不可知,由于轉(zhuǎn)子慣性常數(shù)較大,在采樣頻率較高條件下,近似認(rèn)為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速保持不變,如式(8)所示,其中n為預(yù)測(cè)步長(zhǎng).因此,第i步預(yù)測(cè)過(guò)程中的轉(zhuǎn)子角位置如式(9)所示.

因此,永磁同步電機(jī)第i步定子電流d軸和q軸電流如式(10)所示.

由式(10)可知,未來(lái)n個(gè)時(shí)刻的定子電流d軸和q軸電流預(yù)測(cè)值如式(11)所示.

由式(11)可得,永磁同步電機(jī)定子d軸和q軸電流多步預(yù)測(cè)模型如式(12)所示.

I2為二階單位矩陣.

2.3 成本函數(shù)

多步模型預(yù)測(cè)電流控制成本函數(shù)如式(13)所示,式中第1部分為第1步至第n步預(yù)測(cè)過(guò)程中的預(yù)測(cè)電流和參考電流誤差,第2部分為第1步至第n步預(yù)測(cè)過(guò)程中逆變器相對(duì)于上1步的開關(guān)切換次數(shù),λ為權(quán)重系數(shù).

由于在第i步預(yù)測(cè)過(guò)程中的d軸和q軸電流參考值為未知量,采樣頻率較高時(shí),可采用第k時(shí)刻的d軸和q軸電流參考值代替,如式(14)所示.

因此,n步模型預(yù)測(cè)電流控制的成本函數(shù)如式(15)所示.

I3為三階單位矩陣.

3 基于球形編碼的PMSM多步模型預(yù)測(cè)電流控制

3.1 矩陣二范數(shù)平方求解

由如式(15)所示的成本函數(shù)可得

則成本函數(shù)可化簡(jiǎn)為

其中:

HTH=T+λSTS,H為上三角矩陣,const(k)僅與上一時(shí)刻的輸入和當(dāng)前時(shí)刻的電流相關(guān),其值為常數(shù),如式(18)所示.

由于const(k)為常數(shù),與輸入無(wú)關(guān),不影響成本函數(shù)排序.因此,多步模型預(yù)測(cè)電流控制的遍歷計(jì)算并尋求成本函數(shù)最小的問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為遍歷求解如式(19)所示的矩陣二范數(shù)平方,并尋求矩陣二范數(shù)平方最小值的問(wèn)題,其中輸入項(xiàng)為多步預(yù)測(cè)控制的開關(guān)序列.

以兩步預(yù)測(cè)為例,矩陣H為6×6 上三角矩陣,U(k)為六維列向量,Uunc(k)為六維列向量,HU(k)-Uunc(k)為六維列向量,則即為六維列向量每個(gè)元素的平方和.定義一維、二維···六維的半徑d(1),d(2),···,d(6)為六維向量自后向前一維向量、二維向量···六維向量的各元素平方和,則d(6)即為式(19)所示的矩陣二范數(shù)平方,其求解過(guò)程如圖1所示.

圖1 兩步預(yù)測(cè)的矩陣二范數(shù)平方求解過(guò)程Fig.1 Solving process of matrix two norm square of twostep prediction

由圖1可知,‖HU(k)-Uunc(k)各維半徑是自后向前依次累加計(jì)算.由于‖HU(k)-Uunc(k)每個(gè)元素的平方和為正,隨著維數(shù)增大,對(duì)應(yīng)半徑累加遞增,即d(6)≥d(5)≥d(4)≥d(3)≥d(2)≥d(1).因此,可建立球形解碼(sphere decoder,SD)算法用于確定令矩陣二范數(shù)平方最小的開關(guān)序列.

3.2 球形編碼算法

以永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)電流控制兩步預(yù)測(cè)為例,當(dāng)前時(shí)刻id=1.1925 A,iq=-13.1195 A,=0 A,=-13.9175 A,θe=466.6384 rad,ωe=314.0702 rad/s,λ=1,Ts=5×10-5s.永磁同步電機(jī)參數(shù)如表2所示.

表2 永磁同步電機(jī)參數(shù)Table 2 Parameters of permanent magnet synchronous motor

由此可得,Uunc向量如下所示:

由于HTH=T+λSTS,通過(guò)Cholesky矩陣分解,求解得到H矩陣如下所示:

U(k)為兩步輸入開關(guān)序列,共26=64種選擇,如式(20)所示,其中u1-u6為開關(guān)序列,1表示導(dǎo)通,0表示關(guān)斷,即

兩步預(yù)測(cè)球形編碼計(jì)算流程如下:

初始半徑計(jì)算.將000-000 代入至‖HU(k)-Uunc(k),計(jì)算矩陣二范數(shù)平方,并將其作為初始半徑,其第1維至第6維半徑如式(21)–(26)所示,初始半徑即為第6維半徑.

遍歷開關(guān)序列.對(duì)第6維元素取1,即開關(guān)序列為100-000.由于其前5維與000-000相同,則前5維半徑也相同,第6維半徑如式(27)所示.

此時(shí)第6維半徑大于初始半徑,即100-000對(duì)應(yīng)的矩陣二范數(shù)平方要更大,表明該開關(guān)序列并不是最優(yōu)開關(guān)序列.

對(duì)第5維元素取1,即開關(guān)序列為#10-000,其中#可取1或0.由于H為上三角矩陣,#與零相乘,則其取值不影響求解第5維半徑.由于其前4維與000-000相同,則前4維半徑也相同.對(duì)于#10-000,第5維半徑如式(28)所示.

由于第5維半徑已大于初始半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄#10-000所有開關(guān)序列.

對(duì)第4維元素取1,即開關(guān)序列為##1-000.由于其前3維與000-000相同,則前3維半徑也相同對(duì)于##1-000,第4維半徑如式(29)所示.

此時(shí)第4維半徑已經(jīng)大于球形半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄##1-000所有開關(guān)序列.

對(duì)第3維元素取1,即開關(guān)序列為###-100.由于其前兩維與000-000相同,則前兩維半徑也相同.對(duì)于###-100,第3維半徑如式(30)所示.

此時(shí)第3維半徑已經(jīng)大于球形半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄###-100所有開關(guān)序列.

對(duì)第2維取1,即開關(guān)序列為###-#10.由于其第1維與000-000相同,則第1維半徑也相同.對(duì)于###-100,第2維半徑如式(31)所示.

此時(shí)第2維半徑已經(jīng)大于球形半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄###-#10所有開關(guān)序列.由此完成U(k)的第1維元素為0的所有遍歷.

令U(k)的第1維元素為1,###-##1的第1維半徑如式(32)所示.

由于第1維半徑小于初始半徑,則繼續(xù)向下遍歷.對(duì)第2維元素取0,###-#01第2維半徑如式(33)所示.

由于第2維半徑小于初始半徑,則繼續(xù)向下遍歷.對(duì)第3維元素取0,此時(shí)###-001第3維半徑如式(34)所示.

此時(shí),第3維半徑已經(jīng)大于初始半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄###-001的開關(guān)序列.對(duì)第3維元素取1,此時(shí)###-101第3維半徑如式(35)所示.

此時(shí)第3維半徑已經(jīng)大于初始半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄###-101的開關(guān)序列.

對(duì)第2維元素取1,###-#11第2維半徑如式(36)所示.

第2維半徑已經(jīng)大于初始半徑,則無(wú)需向下遍歷,舍棄###-#11的開關(guān)序列.由此完成U(k)的第1維元素為1的所有遍歷.

上述遍歷計(jì)算過(guò)程如圖2所示.通過(guò)球形編碼求得最小矩陣二范數(shù)對(duì)應(yīng)的開關(guān)序列為000-000,即為最優(yōu)開關(guān)序列.

由圖3可知,球形編碼算法利用矩陣二范數(shù)平方和從低維半徑向高維半徑累加計(jì)算,且每一維半徑均為非負(fù)數(shù),當(dāng)?shù)途S半徑大于初始半徑,則高維半徑也必定大于初始半徑,則停止之后的遍歷計(jì)算[18–19].在計(jì)算半徑過(guò)程中,如果某一開關(guān)序列計(jì)算得到的矩陣二范數(shù)平方和小于初始半徑,則將其作為初始半徑,繼續(xù)遍歷直至結(jié)束,最終采用最小半徑對(duì)應(yīng)的開關(guān)序列作為最優(yōu)開關(guān)序列.遍歷過(guò)程中,球形半徑不斷縮小,增大停止遍歷的幾率[20].因此,球形編碼算法是一種基于事件觸發(fā)機(jī)制的全局最優(yōu)算法,永磁同步電機(jī)多步模型預(yù)測(cè)控制球形編碼算法將有限集電壓矢量構(gòu)成的多步電壓矢量序列集合作為搜索空間,以求解使得成本函數(shù)最小的多步電壓矢量序列.傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)控制算法通過(guò)遍歷和比較找尋全局最優(yōu)解,計(jì)算量隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng),而球形編碼算法采用事件觸發(fā)機(jī)制,在找尋全局最優(yōu)解的同時(shí)使得計(jì)算量大大降低.因此,球形編碼算法既能保持和傳統(tǒng)算法相同控制效果,又能使得計(jì)算量和運(yùn)算事件大大減少.本文采用一種新型的初始半徑給定方式: 將全為零電壓矢量的電壓矢量序列帶入矩陣二范數(shù)平方作為初始半徑值.相比于文獻(xiàn)[20]中將上一時(shí)刻的最小球形半徑作為當(dāng)前時(shí)刻初始球形半徑的方法,避免出現(xiàn)上一控制周期最小球形半徑比當(dāng)前控制周期最小球形半徑小而造成球形編碼算法無(wú)解的情況,尤其在電機(jī)運(yùn)行工況多變的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中,球形編碼算法的半徑并不具有穩(wěn)定性,采用上一時(shí)刻的最小球形半徑作為初始球形半徑并不具有完全的普適性.將全為零電壓矢量的電壓矢量序列帶入矩陣二范數(shù)平方作為初始半徑值,能夠確保電機(jī)在復(fù)雜多變的工況下穩(wěn)定運(yùn)行,并且計(jì)算簡(jiǎn)單.

圖3 基于球形編碼的兩步預(yù)測(cè)算法流程圖Fig.3 Flow chart of two-step prediction algorithm based on sphere decoding

4 仿真驗(yàn)證

采用MATLAB/Simulink建立基于球形編碼的永磁同步電機(jī)多步模型預(yù)測(cè)電流控制離散仿真模型,采樣周期為5×10-5s.直流母線電壓為312 V.轉(zhuǎn)速PI調(diào)節(jié)器參數(shù)為:KP=0.14,KI=7,PI調(diào)節(jié)器輸出上下限為[-30 N·m,30 N·m],開關(guān)次數(shù)權(quán)重系數(shù)為λ=1.參考轉(zhuǎn)速初始為750 r·min,2時(shí)階躍至-750 r·min,參考轉(zhuǎn)矩初始為15 N·m,1 s時(shí)階躍至-15 N·m,3 s時(shí)再次階躍至15 N·m.仿真總時(shí)長(zhǎng)為4 s,采樣點(diǎn)數(shù)共計(jì)80001個(gè).

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差評(píng)估電流脈動(dòng)值大小,如式(37)–(38)所示,系統(tǒng)平均開關(guān)頻率如式(39)所示,其中σid,σiq分別為定子d軸和q軸電流分量標(biāo)準(zhǔn)差,N為總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),和為定子d軸和q軸電流的平均值,Nswitching為開關(guān)次數(shù),t為仿真時(shí)間.

以5步預(yù)測(cè)為例,基于球形編碼的模型預(yù)測(cè)電流控制仿真波形如圖4–8所示.上文仿真條件下,不同步長(zhǎng)的基于球形編碼與傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制的仿真結(jié)果如表3所示.

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速Fig.4 Motor speed

圖5 電機(jī)轉(zhuǎn)矩Fig.5 Motor torque

圖6 定子d軸電流Fig.6 Stator d-axis current

圖7 定子q軸電流Fig.7 Stator q-axis current

圖8 電機(jī)a相電流THDFig.8 Motor phase a stator current THD

仿真結(jié)果表明: 基于球形編碼算法的永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)電流控制下,電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行良好,可實(shí)現(xiàn)四象限運(yùn)行,1–3步控制效果與傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制完全相同,4–5步控制效果基本相當(dāng).基于球形編碼算法的永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)電流控制本質(zhì)是將傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制的成本函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為矩陣二范數(shù)平方和,變成本函數(shù)最小為矩陣二范數(shù)平方和最小.相同輸入條件下,基于球形編碼算法的永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)電流控制與傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制選擇的電壓矢量序列應(yīng)完全相同.將基于球形編碼的多步模型預(yù)測(cè)控制模型與傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)控制并行運(yùn)行,以傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)控制選擇的電壓矢量序列中第1個(gè)電壓矢量作為實(shí)際輸出電壓矢量.上文仿真條件下,球形編碼多步模型預(yù)測(cè)控制的輸出電壓矢量與傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制輸出電壓矢量相同的情況如表4所示.

由表4可知: 預(yù)測(cè)步數(shù)為1步至3步,球形編碼與傳統(tǒng)MPCC輸出的電壓矢量完全相同.因此,1～3步的控制效果完全一致.預(yù)測(cè)步數(shù)為4步和5步時(shí),有極少數(shù)輸出電壓矢量不相同.進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),此時(shí)球形編碼與傳統(tǒng)MPCC選擇電壓矢量不同的原因是出現(xiàn)成本函數(shù)和矩陣二范數(shù)平方和最小不唯一的情況.以5步預(yù)測(cè)為例,傳統(tǒng)MPCC 確定的最優(yōu)開關(guān)序列為000-000-001-000-000,球形編碼確定的最優(yōu)開關(guān)序列為111-111-001-000-000,上一周期輸出開關(guān)狀態(tài)為110.以上兩個(gè)開關(guān)序列的前兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)對(duì)應(yīng)零電壓矢量,后3個(gè)開關(guān)狀態(tài)相同,則電流誤差相同,開關(guān)切換次數(shù)也相同.此時(shí),傳統(tǒng)MPCC和球形編碼因?yàn)殚_關(guān)狀態(tài)排序前后不同,導(dǎo)致選擇的最優(yōu)開關(guān)序列有所不同.這也是4–5步基于球形編碼算法的永磁同步電機(jī)模型預(yù)測(cè)電流控制與傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制效果并不完全一致,但兩者基本相當(dāng)?shù)脑?

5 硬件實(shí)時(shí)性驗(yàn)證

5.1 算法運(yùn)算量分析

上文分析球形編碼與傳統(tǒng)MPCC完全等價(jià),但兩者計(jì)算方式有所不同.傳統(tǒng)MPCC遍歷所有開關(guān)狀態(tài)來(lái)計(jì)算成本函數(shù).球形編碼通過(guò)計(jì)算和判斷每一維半徑與初始半徑的大小,中止遍歷來(lái)減小計(jì)算量,同時(shí)實(shí)時(shí)縮小半徑,本質(zhì)上是事件觸發(fā)機(jī)制.因此,球形編碼對(duì)計(jì)算量的精簡(jiǎn)是動(dòng)態(tài)隨機(jī)變化量.對(duì)于n步?？刂?球形編碼算法最苛刻條件下,需要21+22+···+23n=23n+1-2次半徑計(jì)算和比較判斷運(yùn)算,最理想條件下,僅需6n次半徑計(jì)算和比較判斷運(yùn)算.對(duì)于n步傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)遍歷計(jì)算,需要進(jìn)行81+82+···+8n=(8n+1-8)/7次預(yù)測(cè)計(jì)算和8n-1個(gè)成本函數(shù)尋優(yōu)計(jì)算.

上文仿真條件下,球形編碼的半徑計(jì)算次數(shù)和比較判斷次數(shù)情及傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制的成本函數(shù)計(jì)算次數(shù)和比較次數(shù)如表5所示,其中平均計(jì)算次數(shù)為計(jì)算總次數(shù)除以采樣點(diǎn)總數(shù).

表5 球形編碼和傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制計(jì)算次數(shù)Table 5 Sphere decoding and traditional model predictive current control calculation times

5.2 實(shí)時(shí)性驗(yàn)證

本文基于STM32H743單片機(jī)硬件平臺(tái)對(duì)球形編碼控制策略與傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)控制策略進(jìn)行單控制周期執(zhí)行時(shí)間對(duì)比驗(yàn)證.STM32H743MCU是基于Arm Cortex-M7的32位RISC內(nèi)核,工作頻率400 MHz,支持雙精度和單精度數(shù)據(jù)處理指令與數(shù)據(jù)類型.本文采用C語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)球形編碼和傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制的單控制周期算法實(shí)現(xiàn).

單控制周期執(zhí)行時(shí)間驗(yàn)證的輸入數(shù)據(jù)采用球形編碼計(jì)算條件最苛刻時(shí)刻的仿真數(shù)據(jù),此時(shí)計(jì)算次數(shù)為理論最大值,不存在因事件觸發(fā)導(dǎo)致的計(jì)算量減小.傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制的成本函數(shù)如式(13)所示,權(quán)重系數(shù)λ為1,與球形解碼一致.單控制周期實(shí)時(shí)性驗(yàn)證的輸入數(shù)據(jù)如表6所示.

表6 單控制周期實(shí)時(shí)性驗(yàn)證輸入數(shù)據(jù)Table 6 Real time verification of input data in single control cycle

對(duì)于球形編碼多步預(yù)測(cè)(sphere decoding MPCC,S-MPCC),將總執(zhí)行時(shí)間(tS)分為矩陣變換時(shí)間(tS1)、初始球形半徑計(jì)算時(shí)間(tS2)和球形編碼尋優(yōu)時(shí)間(tS3).對(duì)于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制(traditional MPCC,T-MPCC),將總執(zhí)行時(shí)間(tT)分為預(yù)測(cè)過(guò)程時(shí)間(tT1)和尋優(yōu)過(guò)程時(shí)間(tT2).采用球形編碼和傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制的單控制周期執(zhí)行時(shí)間如表7和表8所示.

表7 球形編碼模型預(yù)測(cè)控制策略的單控制周期執(zhí)行時(shí)間Table 7 Single control cycle execution time of sphere decoded model predictive control strategy

表8 傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制策略的單控制周期執(zhí)行時(shí)間Table 8 Single control cycle execution time of traditional model predictive control strategy

定義η為球形編碼多步預(yù)測(cè)期總執(zhí)行時(shí)間與傳統(tǒng)多步預(yù)測(cè)總執(zhí)行時(shí)間的比值,如式(40)所示.

球形編碼算法與傳統(tǒng)算法單控制周期執(zhí)行時(shí)間比如表9所示.

表9 球形編碼算法與傳統(tǒng)算法單控制周期執(zhí)行時(shí)間比Table 9 Single control cycle execution time ratio between sphere decoding algorithm and traditional algorithm

球形編碼和傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制最終選擇的最優(yōu)開關(guān)序列如表10所示.

表10 最優(yōu)開關(guān)序列Table 10 Optimal switching sequence

由實(shí)時(shí)性驗(yàn)證結(jié)果可知,在球形編碼最苛刻的條件下,相比于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制,對(duì)于單步預(yù)測(cè)球形編碼并沒有減少執(zhí)行時(shí)間,但對(duì)多步預(yù)測(cè),球形編碼可降低執(zhí)行時(shí)間,且隨著預(yù)測(cè)步數(shù)的增加,執(zhí)行時(shí)間大幅減少,兩步模型預(yù)測(cè)執(zhí)行時(shí)間減小至96.78%,3步模型預(yù)測(cè)執(zhí)行時(shí)間減小至87.99%,4步模型預(yù)測(cè)執(zhí)行時(shí)間減小至73.41%,5步模型預(yù)測(cè)執(zhí)行時(shí)間減少至63.63%.球形編碼和傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制最終選擇的最優(yōu)開關(guān)序列完全一致也表明兩者本質(zhì)完全等價(jià).

6 結(jié)論

1)球形編碼算將成本函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)換為矩陣二范數(shù)平方,從而將傳統(tǒng)多步模型預(yù)測(cè)電流控制遍歷所有開關(guān)序列計(jì)算并尋求成本函數(shù)最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為計(jì)算并尋求開關(guān)序列對(duì)應(yīng)的矩陣二范數(shù)平方最小的問(wèn)題.

2)矩陣二范數(shù)平方求解過(guò)程為非負(fù)數(shù)累加求和,隨著遍歷開關(guān)序列元素的遞增而遞增,而最優(yōu)開關(guān)序列對(duì)應(yīng)的矩陣二范數(shù)平方最小.球形編碼采用事件觸發(fā)機(jī)制,計(jì)算過(guò)程判斷是否滿足最小矩陣二范數(shù)條件.如果不滿足,則提前中止繼續(xù)遍歷,從而動(dòng)態(tài)精簡(jiǎn)計(jì)算量.

3)仿真結(jié)果表明基于球形編碼算法的多步模型預(yù)測(cè)電流控制下,永磁同步電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行良好,可實(shí)現(xiàn)四象限運(yùn)行,與傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)電流控制完全等價(jià),控制效果相當(dāng).

4)單控制周期執(zhí)行時(shí)間實(shí)時(shí)性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明在球形編碼最苛刻的條件下,相比于傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制,球形編碼單步預(yù)測(cè)并沒有減少執(zhí)行時(shí)間,但兩步預(yù)測(cè)執(zhí)行時(shí)間減小至96.78%,3步預(yù)測(cè)減小至87.99%,4步預(yù)測(cè)減小至73.41%,5步預(yù)測(cè)減少至63.63%.采用矩陣二范數(shù)平方和計(jì)算方式的球形編碼對(duì)于多步預(yù)測(cè)具有實(shí)時(shí)性優(yōu)勢(shì).