強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的間歇性反饋控制

宋公飛,張子夢(mèng) ,李 濤

(1.南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇南京 210044;2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,江蘇南京 210044)

1 引言

在實(shí)際系統(tǒng)中,當(dāng)系統(tǒng)的變化率取決于當(dāng)前的狀態(tài)和某些隨機(jī)信號(hào)時(shí),可以用常微分系統(tǒng)來建模;當(dāng)系統(tǒng)的演變?nèi)Q于當(dāng)前和過去的狀態(tài)時(shí),隨機(jī)微分時(shí)滯系統(tǒng)便起到了決定性的作用;當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的突變時(shí),具有馬爾可夫切換的混合隨機(jī)系統(tǒng)充當(dāng)了重要的角色[1–4];當(dāng)系統(tǒng)的延遲參數(shù)發(fā)生在狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)中時(shí),更一般的中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)提供了重要的工具[5–8];當(dāng)系統(tǒng)的漂移和擴(kuò)散系數(shù)不滿足線性增長(zhǎng)條件時(shí),便構(gòu)成了一類強(qiáng)非線性隨機(jī)系統(tǒng)模型.穩(wěn)定性和有界性的分析是研究這類系統(tǒng)的一個(gè)重要的分支,并且具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值,文獻(xiàn)[9]建立了中立型隨機(jī)微分時(shí)滯方程解的存在性和唯一性,研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并得到了重大突破.之后,文獻(xiàn)[10–12]又研究了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,文獻(xiàn)[13]則是對(duì)非線性隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和有界性展開了分析.

在非線性隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論研究中,主要使用的方法為L(zhǎng)yapunov第二法,即通過構(gòu)造一個(gè)關(guān)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)來直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,基于這一思想,文獻(xiàn)[14]提出了在不同結(jié)構(gòu)下的混合中立型隨機(jī)時(shí)滯方系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題,文獻(xiàn)[15–16]分別展開了關(guān)于強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性問題的分析,但他們討論的都是單時(shí)滯的系統(tǒng).然而,許多實(shí)際的系統(tǒng)會(huì)具有多個(gè)時(shí)間延遲狀態(tài),因此,文獻(xiàn)[17–18]便將他們的結(jié)果從單個(gè)延遲推廣到多個(gè)延遲,并為具有多個(gè)延遲的強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)獲得一些新穎的穩(wěn)定性和有界性標(biāo)準(zhǔn),文獻(xiàn)[19]證明了一類具有瞬態(tài)延遲的強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的Euler-Maruyama近似解的概率收斂性問題.另外,在現(xiàn)有理論研究中,還有很多學(xué)者通過設(shè)計(jì)一些控制機(jī)制去鎮(zhèn)定這類強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),從而實(shí)現(xiàn)期望的觀測(cè)目標(biāo).文獻(xiàn)[20]研究了如何設(shè)計(jì)一款基于連續(xù)時(shí)間的延遲反饋控制機(jī)制,使得一類強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)趨于穩(wěn)定.但是在某些實(shí)際情況下,即使設(shè)計(jì)的控制器是連續(xù)的,數(shù)據(jù)也只在離散的時(shí)間內(nèi)才能觀察到,因此,基于離散時(shí)間的反饋控制機(jī)制吸引了大量學(xué)者的關(guān)注,文獻(xiàn)[21]便提出了基于離散時(shí)間觀測(cè)反饋控制的強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.由于隨機(jī)系統(tǒng)在不同控制器的作用下具有不同的動(dòng)態(tài)性質(zhì),相比起基于離散時(shí)間觀測(cè)的反饋控制,間歇性控制能夠幫助科研人員更加全面地掌握受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,這也使得學(xué)者對(duì)間歇性控制策略的興趣日益濃厚.

間歇性控制是一種中斷反饋控制,控制信號(hào)是間歇性的實(shí)現(xiàn),它填補(bǔ)了連續(xù)控制和脈沖控制的兩個(gè)極端之間的空白,整合了連續(xù)控制和脈沖控制的優(yōu)點(diǎn).與連續(xù)控制相比,間歇性控制可以延長(zhǎng)控制器的工作壽命,有效地節(jié)約能源.與脈沖控制相比,間歇性控制在實(shí)踐中不必立即改變狀態(tài),易于實(shí)現(xiàn).因此,間歇性控制激起了大量學(xué)者的研究興趣.文獻(xiàn)[22]研究了如何通過周期間歇性控制去鎮(zhèn)定一類具有延遲和Lévy噪聲的隨機(jī)時(shí)變耦合系統(tǒng);文獻(xiàn)[23]主要討論了如何設(shè)計(jì)一個(gè)基于離散時(shí)間狀態(tài)觀測(cè)的周期間歇性反饋控制率,使得混合隨機(jī)微分系統(tǒng)變得穩(wěn)定;文獻(xiàn)[24]驗(yàn)證了通過周期間歇性控制可以鎮(zhèn)定一類高非線性隨機(jī)耦合系統(tǒng),并為解決這個(gè)問題建立了一種新的不等式;文獻(xiàn)[25]的主題是展示了一種新的間歇性控制方法,用于研究一類反應(yīng)–擴(kuò)散神經(jīng)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問題.但是,對(duì)于一類高非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),如何設(shè)計(jì)一個(gè)間歇性反饋控制策略來使其穩(wěn)定,目前還沒有普遍的結(jié)果.本文便是設(shè)計(jì)一種間歇性反饋控制策略,該策略為強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一種解決方案.

在本文中,作者提出了一種間歇性反饋控制率,去鎮(zhèn)定一類更一般的強(qiáng)非線性混合中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),所考慮系統(tǒng)的系數(shù)不僅不需要滿足全局Lipschitz條件,而且不需要滿足線性增長(zhǎng)條件.特別的是,所設(shè)計(jì)的間歇性控制輸入形式涵蓋了一些常見的情況,如周期性時(shí)間輸入和有界非周期性時(shí)間輸入等,還涵蓋了一些特殊的情況,如全時(shí)間輸入和指數(shù)非周期性時(shí)間輸入等.另外,作者解決了中立項(xiàng)、強(qiáng)非線性系數(shù)和新的間歇性反饋控制策略在計(jì)算上所帶來的困難,并成功使用Lyapunov函數(shù)的方法,嚴(yán)格證明了在間歇性控制策略的作用下所考慮的系統(tǒng)滿足指數(shù)穩(wěn)定和幾乎確定的穩(wěn)定.

2 模型描述與預(yù)備知識(shí)

假設(shè)B(t)=(B1(t)···Bm(t))T是定義在概率空間上的m維布朗運(yùn)動(dòng).如果A是一個(gè)向量或矩陣,那么它的轉(zhuǎn)置是AT.如果x ∈Rn,|x|是歐幾里得范數(shù).如果A是矩陣,是它的跡范數(shù).對(duì)于τ>0,用C([-τ,0];Rn)表示從[-τ,0]→Rn具有范數(shù).C2,1(Rn×Rn×S×R+;R+)表示在Rn×Rn×S×R+上關(guān)于x連續(xù)兩次可微,關(guān)于t一次可微的非負(fù)函數(shù).E是關(guān)于概率測(cè)度P的期望.如果a和b是實(shí)數(shù),則a ∨b=max{a,b}且a ∧b=min{a,b}.當(dāng)t≥0 時(shí),r(t)表示在概率空間上取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,···,N}的一個(gè)右連續(xù)的馬爾科夫鏈,它的生成元Γ=(γij)M×N滿足

其中:?>0;若i≠j,則γij≥0是從i到j(luò)的轉(zhuǎn)換率,且假設(shè)馬爾可夫鏈r(t)與布朗運(yùn)動(dòng)B(t)是相互獨(dú)立的,r(t)在R+(:=[0,∞))的任何有限子區(qū)間上有限數(shù)量的跳躍,且?guī)缀趺恳粋€(gè)樣本路徑是右連續(xù)的分段函數(shù).

本文考慮如下形式的一個(gè)n維混合中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng):

其中:x(t)∈Rn是狀態(tài),δ表示延遲的時(shí)間,M和N分別表示為漂移和擴(kuò)散系數(shù),當(dāng)t≥0時(shí),其初始函數(shù)為

其中:M(·):Rn×Rn×S×R+→Rn×m,N(·):Rn×Rn×S×R+→Rn×m,H(·):Rn →Rn均為Borel可測(cè)函數(shù).本文將在漂移部分設(shè)計(jì)一個(gè)間歇性反饋控制器u(x(t)),使得受控系統(tǒng)的狀態(tài)趨于穩(wěn)定.為了描述間歇性控制輸入的有效時(shí)間域,將定義以下符號(hào).

其中: 當(dāng)t ∈T時(shí),ηT(t)=1;當(dāng)t ∈[0,∞)T時(shí),ηT(t)=0.將控制輸入應(yīng)用到系統(tǒng)(1),則系統(tǒng)有如下形式:

其中u:Rn×S×R+→Rn為Borel可測(cè)函數(shù).文獻(xiàn)[26]中說明了混合中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的全局唯一解的存在的條件是系統(tǒng)的漂移和擴(kuò)散系數(shù)是滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件的,但本文采用的是多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件,而并非線性增長(zhǎng)條件,因此,還需要作出如下假設(shè).

假設(shè)1對(duì)任意的h>0,假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)Kh,使得對(duì)任意的x1,x2,y1,y2∈Rn,其中|x1|∨|y1|∨|x2|∨|y2|≤h和(i,t)∈S×Rn,有如下關(guān)系式成立:

假設(shè)2假設(shè)存在一個(gè)D>0,q1≥1,q2≥1,對(duì)于任意的x,y,i,t ∈Rn×Rn×S×R+,滿足如下關(guān)系式:

假設(shè)3假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)κ ∈(0,1),使得對(duì)任意的x1,x2∈Rn,且H(0)=0,有如下關(guān)系式成立:

3 主要結(jié)論

本節(jié)將使用Lyapunov泛函的方法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性.為了討論方便,本文記x(t)-H(x(t-δ))=(t),定義:={x(t+s):-2δ≤s≤0},:={r(t+s):-2δ≤s≤0}.由于本文所考慮的系統(tǒng)為強(qiáng)非線性隨機(jī)系統(tǒng),為了得到其系統(tǒng)解的穩(wěn)定性定理,在漂移和擴(kuò)散系數(shù)上強(qiáng)加幾個(gè)新的條件是必要的.

假設(shè)4假設(shè)存在非負(fù)數(shù)b,使得

假設(shè)5假設(shè)存在非負(fù)數(shù)q>p≥2,αi1∈R,αij ∈R+,j=2,3,4,i ∈S,使得

假設(shè)

其中:A是非奇異的M–矩陣,所有的θi,?i ∈S均為正數(shù).對(duì)于函數(shù)V(x,y,i,t):Rn×Rn×S×R+→R+,定義一個(gè)函數(shù)LV:Rn×Rn×S×R+→R,如下:

3.1 指數(shù)穩(wěn)定

引理1[27]建立一些典型的不等式.

1) 當(dāng)θ>0,p≥1,a,b≥0時(shí),則有

2) 當(dāng)p≥1時(shí),則有

定理1當(dāng)上述假設(shè)都成立時(shí),并有

對(duì)于任何給定的初始數(shù)據(jù)(2),受控系統(tǒng)(4)的狀態(tài)具有如下性質(zhì):

可知系統(tǒng)為指數(shù)穩(wěn)定.

證固定初始數(shù)據(jù)γ ∈C([-Φ,0];Rn)和r0∈S.設(shè)k0>0 是足夠大的整數(shù),可以使得‖φ‖:=對(duì)于k>k0的每個(gè)整數(shù),設(shè)置停止時(shí)間σk=inf{t≥0:|x(t)|≥k},可以看到σk隨著k的增加而增加,即k →∞時(shí),設(shè)置inf ?=∞(?通常表示空集).本文選取的李雅普諾夫函數(shù)的形式如下:

其中C1,C2均為正數(shù).

此外,對(duì)于?(x,y,i,s)∈Rn×Rn×S×[-2τ,0],都有:M(x,y,i,s)=M(x,y,i,0),N(x,y,i,s)=N(x,y,i,0).

再對(duì)V(x,y,i,t)使用伊藤公式,可以得到

當(dāng)t≥0且k≥k0時(shí),根據(jù)假設(shè)4–5可以得出

令B:=max(θibi),γ2:=max(θiαi2),γ3:=min(pθiαi3),γ4:=max(pθiαi4),并由θi的定義和式(5)可以得出

法國著名作家雨果說，開展紀(jì)念活動(dòng)，如同點(diǎn)燃一支火炬。抗戰(zhàn)勝利紀(jì)念活動(dòng)，點(diǎn)燃了抗戰(zhàn)精神的火炬。這一活動(dòng)，有別于其他抗戰(zhàn)紀(jì)念活動(dòng)（如“七七”“九一八”、南京大屠殺死難者國家公祭日的活動(dòng)），有著自身的歷史與價(jià)值。本文以相關(guān)文獻(xiàn)資料為基礎(chǔ)，對(duì)建國以來抗戰(zhàn)勝利紀(jì)念活動(dòng)的歷史演變進(jìn)行一番考察，以有助于深入認(rèn)識(shí)中國人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年紀(jì)念活動(dòng)的重大意義。

將上式代入式(9)可知

設(shè)置停時(shí)σk,使用廣義Itǒ公式可知

將上式代入式(10)可知

由定理1,可知β4<β3(1-κ)q,則有

又因?yàn)?/p>

將上式代入式(11)可知

當(dāng)k →∞,可知σk →∞,可以得到

由Gronwall不等式可知

綜上可知

證畢.

3.2 幾乎確定的穩(wěn)定

引理2[28]構(gòu)造系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù)V(x,y,i,t)∈C1,2(Rn×Rn×S×R+;R+),有如下求導(dǎo)法則:

定理2當(dāng)上述假設(shè)和定理1都成立時(shí),如果該系統(tǒng)為幾乎確定的穩(wěn)定,那么對(duì)于任意的初始值(2),系統(tǒng)(4)的狀態(tài)都滿足

證根據(jù)初始數(shù)據(jù)(2)和引理2可知

對(duì)其在t0～t上積分,知

通過定理1的求解,可以得到

兩邊同時(shí)取期望,可得

當(dāng)t ∈[τ2k,τ2k+2]時(shí),可知

通過馬爾可夫不等式,可求得

其中? ∈R+.由于2S1-BωTS2<0,當(dāng)t→∞時(shí),k→∞,λ →-∞,則有

進(jìn)而可解得

因?yàn)?為任意大于0的數(shù),可知

證畢.

4 例子

本文將引用一些例子去證明上述所得的結(jié)論.考慮一類中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),其形式如下:

設(shè)置δ=2,當(dāng)t∈[-1,0]時(shí),其初始數(shù)據(jù)為x(t)=2+sint,r(0)=2,其馬爾可夫鏈的樣本路徑和系統(tǒng)1的狀態(tài)繪制如圖1所示.

圖1 當(dāng)δ=2時(shí),系統(tǒng)(1)的計(jì)算仿真Fig.1 Computer simulation of the system(1)with δ=2

為了應(yīng)用本文所建立的定理,則需要驗(yàn)證本文中所強(qiáng)加的假設(shè).本文選取了q=6,p=2,通過Young不等式可知

由此可得θ1=0.9531,θ2=0.9301.從而可解得B=9.6,C1=0.93,C2=0.96,γ2=0.9292,γ3=276.83,γ4=1.046,S1=1.3917,S2=2.1505.

為了鎮(zhèn)定此類強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),本文選擇了如下所示的間歇控制器:

其中: 當(dāng)t ∈T時(shí),ηT(t)=1;當(dāng)t ∈[0,∞)T時(shí),ηT(t)=0.考慮到了一般情況下的仿真,本文又把間歇性控制輸入中的有效時(shí)域T分為以下幾種情況:

1) 全時(shí)域:Tft:=[0,∞);

2) 周期時(shí)域:Tpt:=[0.2?-0.1,0.2?];

3) 有界非周期時(shí)域:

4) 指數(shù)非周期時(shí)域:

其中:? ∈N,p? ∈[0,1]是個(gè)偽隨機(jī)數(shù).對(duì)于以上這些情況,可選取它們的比率指數(shù)分別為ωTft=1,ωTpt=ωTeat=0.5,ωTbat∈[0.5,0.7],對(duì)于控制輸入中的常數(shù)b,選擇b=10.經(jīng)過計(jì)算可知,對(duì)于T的所有情況,均滿足定理1中給出的條件.為了進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),本文對(duì)初始值進(jìn)行設(shè)置,當(dāng)t ∈(-1,0)時(shí),r(0)=2,x(t)=2+sint.在選擇下進(jìn)行案例模擬后,得到了模擬結(jié)果,如圖2–5所示,說明仿真結(jié)果支持了理論結(jié)果.

圖2 當(dāng)δ=2,T=Tft時(shí),受控系統(tǒng)(4)的計(jì)算仿真Fig.2 Computer simulation of the controlled system (4)with δ=2 and T=Tft

圖3 當(dāng)δ=2,T=Tpt時(shí),受控系統(tǒng)(4)的計(jì)算仿真Fig.3 Computer simulation of the controlled system (4)with δ=2 and T=Tpt

圖4 當(dāng)δ=2,T=Tbat時(shí),受控系統(tǒng)(4)的計(jì)算仿真Fig.4 Computer simulation of the controlled system (4)with δ=2 and T=Tbat

圖5 當(dāng)δ=2,T=Teat時(shí),受控系統(tǒng)(4)的計(jì)算仿真Fig.5 Computer simulation of the controlled system (4)with δ=2 and T=Teat

同樣地,對(duì)于一個(gè)不穩(wěn)定的強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng),文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一個(gè)連續(xù)的控制策略去鎮(zhèn)定此類系統(tǒng),鎮(zhèn)定的結(jié)果如圖6所示.

圖6 強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)在連續(xù)控制器作用下的計(jì)算仿真Fig.6 Computer simulation of highly nonlinear neutral stochastic delay systems with continuous controllers

從圖6中容易看到,此類不穩(wěn)定的系統(tǒng)在連續(xù)控制策略的作用下,第10 s后,系統(tǒng)才逐漸趨于穩(wěn)定,而在本文設(shè)計(jì)的間歇控制策略的作用下,系統(tǒng)從第6 s開始,就基本穩(wěn)定了.由此可見,本文設(shè)計(jì)的間歇控制混合策略不僅能夠節(jié)約控制成本,延長(zhǎng)控制器的工作壽命,同時(shí)也提高了系統(tǒng)的收斂速度.

5 結(jié)論

本文是針對(duì)一類強(qiáng)非線性中立型隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)提供了一種新穎的間歇控制方案,它是一種混合性的控制策略,可以隨意改變有效時(shí)間域的長(zhǎng)短,并根據(jù)有效時(shí)間域的不同,去接受不同的輸入形式,也可以使用兩種或多種控制策略,去鎮(zhèn)定此類不穩(wěn)定的系統(tǒng).最后,在不同的假設(shè)下,作者利用一些隨機(jī)分析方法,動(dòng)力學(xué)性質(zhì),M–矩陣和It公式,證明了所設(shè)計(jì)的方案可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定和幾乎確定的穩(wěn)定.