聚焦思維·追求品質(zhì)·穩(wěn)中求變

趙志英 金雯雯

摘 ?要：函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”模塊學(xué)習(xí)的主線，是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是中考考查的重要內(nèi)容之一. 2021年全國各地中考試卷中的函數(shù)試題著重考查三類函數(shù)的基礎(chǔ)知識，深入考查圖象與性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用問題. 從繼承走向發(fā)展，在發(fā)展中融合創(chuàng)新，滲透了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查. 通過對試題從“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、關(guān)聯(lián)性、新穎性”等方面的剖析，提出命題建議和復(fù)習(xí)策略.

關(guān)鍵詞：函數(shù)命題;核心素養(yǎng);基礎(chǔ)知識

初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試是對學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)結(jié)果的終結(jié)性評價，同時兼顧升學(xué)選拔功能，對數(shù)學(xué)教育教學(xué)具有重要的導(dǎo)向作用. 隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》的頒布與實施，聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為近年中考數(shù)學(xué)命題的落腳點. 函數(shù)是初中“數(shù)與代數(shù)”模塊學(xué)習(xí)的主線，也是未來代數(shù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)和關(guān)鍵思想，因此函數(shù)是中考考查的重要內(nèi)容之一. 綜觀2021年全國各地中考試題，著重考查了三類基本函數(shù)（一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）的概念、圖象和性質(zhì)，全面覆蓋函數(shù)的基礎(chǔ)知識. 函數(shù)綜合題有機結(jié)合其他相關(guān)內(nèi)容，涉及章內(nèi)知識和各章知識的融合，考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思維分析并解決問題的能力.

2021年中考函數(shù)試題傳承往年對函數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能的重視，立意發(fā)展基本思想和基本活動經(jīng)驗. 同時，命題從分析問題、解決問題轉(zhuǎn)向發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的新視角，滲透了對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，彰顯數(shù)學(xué)理性思維和學(xué)科育人的理念.

一、試題分析

2021年中考試題的命制充分考慮了函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、關(guān)聯(lián)性、新穎性，試題對函數(shù)教學(xué)起到了正面導(dǎo)向作用. 命題者充分考慮分層、分梯度設(shè)置問題，給不同思維水平的學(xué)生提供適當(dāng)?shù)恼宫F(xiàn)機會，具有很好的區(qū)分度，展現(xiàn)了函數(shù)的育人價值. 這也體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念.

1. 立足基礎(chǔ)性，聚焦函數(shù)本質(zhì)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，需要“了解函數(shù)的概念和三種表示方法”. 函數(shù)從“數(shù)量”的角度反映變化與對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，最常用的表示函數(shù)的方法是解析法、列表法、圖象法. 2021年全國各地中考函數(shù)試題繼承往年考查函數(shù)的本質(zhì)特征——聯(lián)系與變化和單值對應(yīng)，要求學(xué)生對函數(shù)的本質(zhì)理解更加深刻.

例1 （浙江·嘉興卷）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米為“加速期”，30米～80米為“中途期”，80米～100米為“沖刺期”. 市田徑隊把運動員小斌某次百米跑訓(xùn)練時速度y（m / s）與路程x（m）之間的觀測數(shù)據(jù)繪制成曲線，如圖1所示.

（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？

（2）“加速期”結(jié)束時，小斌的速度為多少？

（3）根據(jù)圖1提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議.

例2 （北京卷）如圖2，用繩子圍成周長為10（m）

的矩形，記矩形的一邊長為x（m），它的鄰邊長為y（m），矩形的面積為S（m2）. 當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ?）.

（A）一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

（B）反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

（C）一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

（D）反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

例3 （青海卷）新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點同時出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠(yuǎn)遠(yuǎn)甩在后頭. 驕傲自滿的兔子覺得自己遙遙領(lǐng)先，就躺在路邊呼呼大睡起來. 當(dāng)它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追，最后同時到達(dá)終點. 用S1，S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（ ?）.

【評析】例1以“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”為背景，例2以周長確定的矩形為背景，例3以龜兔賽跑的新故事為背景，雖然背景不同，但試題均潛移默化地考查學(xué)生對函數(shù)概念本質(zhì)的把握. 其中，例1通過辨析y是否為關(guān)于x的函數(shù)體現(xiàn)過程性評價的理念，可見正確地理解函數(shù)的概念是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 同時，例1、例3著重考查學(xué)生的識圖能力，圖象法的直觀性超越解析法和列表法，需要學(xué)生理解圖象背后的信息，提高了試題的區(qū)分度.

2. 關(guān)注綜合性，借助數(shù)形結(jié)合

函數(shù)的性質(zhì)主要有解析式中系數(shù)的變化與圖象位置的關(guān)系、增減性、最值、圖象對稱性等. 學(xué)習(xí)方法是借助函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì)特征，反過來也說明圖象與性質(zhì)是函數(shù)學(xué)習(xí)的主體部分. 在初中，雖然對函數(shù)的研究僅僅是初步階段，但研究過程也體現(xiàn)了從函數(shù)的數(shù)量特征和圖象的幾何特征來刻畫每類函數(shù)的性質(zhì)，故數(shù)形結(jié)合思想是研究函數(shù)的基本思想. 2021年全國各地中考函數(shù)試題中，較多題目需要借助函數(shù)的圖象信息挖掘函數(shù)的性質(zhì)，增強了考試內(nèi)容的綜合性.

例4 （山東·菏澤卷）如圖3（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥Ox，直線y = 2x + 1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長為a，直線在x軸上平移的距離為b，a，b之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖3（2）所示，那么矩形ABCD的面積為（ ?）.

（A） [5] （B） [25]

（C） 8 （D） 10

例5 （浙江·杭州卷）如圖4，在“探索函數(shù)y = ax2 + bx + c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）. 同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（ ?）.

（A） [52]

（B） [32]

（C） [56]

（D） [12]

【評析】例4需要從圖3（2）中獲得線段a與移動距離b的函數(shù)關(guān)系，從而得到矩形的邊長，指向?qū)W生從函數(shù)圖象中獲取信息、理解信息、應(yīng)用信息，并解決問題能力的考查. 例5立足二次項系數(shù)a的數(shù)值與開口大小的關(guān)系，有效考查了學(xué)生的計算能力和對二次函數(shù)圖象的深入理解. 該類常見試題的解決思路是：從“數(shù)”的視角聚焦解析式，從“形”的視角瞄準(zhǔn)函數(shù)圖象，“數(shù)形結(jié)合”研究函數(shù).

3. 突出應(yīng)用性，提升建模能力

《標(biāo)準(zhǔn)》要求理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，并利用這三類函數(shù)解決簡單的實際問題. 這三類函數(shù)都是刻畫現(xiàn)實生活的重要模型，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)分別是刻畫“勻速”變化、“勻變速”變化、“定積”變化、“定比”變化的模型. 2021年全國各地中考函數(shù)試題背景形式豐富多彩，有方案設(shè)計問題、行程問題、利潤問題等，考查從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，完成第一次抽象;建立函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，完成第二次抽象，有助于學(xué)生初步形成模型思想，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和應(yīng)用意識.

例6 （浙江·臺州卷）以初速度v（單位：m / s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h = vt - 4.9t2. 現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過時間t1落回地面，運動過程中小球的最大高度為h1（如圖5（1））;小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過時間t2落回地面，運動過程中小球的最大高度為h2（如圖5（2））. 若h1 = 2h2，則t1∶t2 等于 ? ? ? .

例7 （湖北·隨州卷）如今我國的大棚（如圖6）種植技術(shù)已十分成熟. 小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖7所示的平面直角坐標(biāo)系. 已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y[=-16]x2 + bx + c，現(xiàn)測得A，B兩墻體之間的水平距離為6米.

（1）直接寫出b，c的值;

（2）求大棚的最高處到地面的距離;

（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為[3724]米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？

例8 （貴州·貴陽卷）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片. 如圖8，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA = 8（m），橋拱頂點B到水面的距離是4（m）.

（1）按如圖9（1）所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）一只寬為1.2（m）的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點O 0.4（m）時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68（m）的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）;

（3）如圖9（2），橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象. 將新函數(shù)圖象向右平移m（m > 0）個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8 ≤ x ≤ 9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

【評析】函數(shù)模型在生活中有廣泛的應(yīng)用，以上試題符合《標(biāo)準(zhǔn)》中提到的“用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析現(xiàn)實社會，解決日常生活和其他學(xué)科中的問題，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”. 例6將拋球運動中的自由落體運動抽象為二次函數(shù)模型，考查頂點坐標(biāo). 例7將拋物線型的蔬菜大棚抽象為二次函數(shù)模型，考查自變量范圍內(nèi)的函數(shù)的最大值，以及給定自變量求函數(shù)值的知識. 例8將甲秀樓建筑抽象為拋物線，在實際背景下考查二次函數(shù)的應(yīng)用問題. 值得一提的是，第（3）小題通過對部分圖象作關(guān)于x軸的軸對稱變換，得到新函數(shù)圖象，借助函數(shù)思維考查新函數(shù)圖象的增減性問題，滲透函數(shù)思想. 這類基于真實生活情境的應(yīng)用型試題考查學(xué)生的閱讀理解能力，促進學(xué)生自主探究，在“數(shù)學(xué)抽象—數(shù)學(xué)建?！治瞿Ｐ汀蠼饽Ｐ汀獞?yīng)用模型”的過程中潛移默化地落實數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等學(xué)科核心素養(yǎng). 這類試題大多數(shù)出現(xiàn)在客觀題和主觀題的壓軸題位置，是“知識與能力并重，思想與方法交融”的命題思想的完美呈現(xiàn)，使得關(guān)鍵題、壓軸題的綜合性、公平性和導(dǎo)向性得到充分體現(xiàn).

4. 考查關(guān)聯(lián)性，處理相關(guān)知識

函數(shù)既可以用數(shù)量關(guān)系來刻畫，又可以用圖象直觀表達(dá). 兼具“數(shù)”和“形”兩方面的性質(zhì)，“數(shù)”可以與方程、不等式等聯(lián)動，“形”可以和幾何圖形變換綜合. 2021年中考函數(shù)試題進一步呈現(xiàn)函數(shù)各分支內(nèi)容與其他內(nèi)容之間的聯(lián)系，函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系及幾何圖形性質(zhì)等，體現(xiàn)考查內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性，促使學(xué)生從整體上構(gòu)建知識框架.

例9 （湖北·鄂州卷）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法. 如圖10，直線[y=2x-1]與直線[y=kx+bk≠0]相交于點[P2，3]. 根據(jù)圖象可知，關(guān)于[x]的不等式[2x-1>kx+b]的解集是（ ? ?）.

（A） [x<2]

（B） [x<3]

（C） [x>2]

（D） [x>3]

例10 （浙江·湖州卷）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為A（3，4），M是拋物線y = ax2 +bx + 2（a ≠ 0）對稱軸上的一個動點. 小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)[ba]的值確定時，拋物線的對稱軸上能使△AOM為直角三角形的點M的個數(shù)也隨之確定，若拋物線y = ax2 + bx + 2（a ≠ 0）的對稱軸上存在3個不同的點M，使△AOM為直角三角形，則[ba]的值是 ? ? .

【評析】例9將函數(shù)與不等式進行聯(lián)動，對學(xué)生的“識圖、用圖”能力提出了合理的要求. 例10考查在函數(shù)背景下直角三角形的存在性問題，由點M的個數(shù)為3個，得出對稱軸與以O(shè)A為直徑的圓相切，進一步確定[ba]的值. 此類問題命題時重視函數(shù)與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的關(guān)聯(lián)，強調(diào)函數(shù)與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系，要求學(xué)生整體把握知識，體現(xiàn)了試題的區(qū)分度.

5. 銜接新穎性，遷移函數(shù)思維

函數(shù)學(xué)習(xí)的思路是“定義—表示—性質(zhì)—應(yīng)用”. 2021年部分中考函數(shù)試題題設(shè)新穎，關(guān)注點為利用函數(shù)思維解決問題，考查過程需要運用聯(lián)系與變化的觀點，理清量與量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系及其規(guī)律，重現(xiàn)研究函數(shù)的內(nèi)容與方法. 在畫函數(shù)圖象的過程中，經(jīng)歷取點、畫圖、測量、列表、建系、描點等步驟，探究變量之間的關(guān)系，研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用函數(shù)思維及有關(guān)知識融合，進而解決問題.

例11 （湖北·荊州卷）小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y =[-x-12]進行了探究. 在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖11所示的函數(shù)圖象.根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題.

（1）觀察探究：

① 寫出該函數(shù)的一條性質(zhì) ? ? ? ;

② 方程[-x-12=-1]的解為 ? ? ? ;

③ 若方程[-x-12=a]有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是 ? ? ? .

（2）延伸思考：

將函數(shù)y =[-x-12]的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1 =[-x-2-12+3]的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)2 < y1 ≤ 3時，自變量x的取值范圍.

例12 （浙江·杭州卷）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x = m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1 + M2 = 0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P. 以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（ ?）.

（A）y1 = x2 + 2x和y2 = -x - 1

（B）y1 = x2 + 2x和y2 = -x + 1

（C）y1[=-1x]和y2 = -x - 1

（D）y1[=-1x]和y2 = -x + 1

【評析】例11、例12都讓學(xué)生根據(jù)以往學(xué)習(xí)三類函數(shù)的經(jīng)驗，參照函數(shù)的研究過程與方法，經(jīng)歷“取點—描點—觀察圖象—發(fā)現(xiàn)性質(zhì)”的過程，對構(gòu)造的新函數(shù)進行探究，構(gòu)建邏輯連貫、系統(tǒng)一致的函數(shù)學(xué)習(xí)過程. 相似的試題還有浙江衢州卷第23題、重慶B卷第22題等. 例12通過定義“存在自變量使得兩個函數(shù)的和為0”的性質(zhì)P，考查一元二次方程的解的存在性. 此類試題加強思想內(nèi)涵的考查，減弱繁難的推理論證，立足新穎性，注重適度的開放性和有效的探索性，其本質(zhì)依然是對函數(shù)概念和函數(shù)思維的考查，值得推廣和借鑒.

二、命題建議

函數(shù)試題的命制既要關(guān)注知識，又要關(guān)注方法. 著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能，強化運動變化和內(nèi)在聯(lián)系;既要深化聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部整體構(gòu)建，又要考查生成，關(guān)注數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的養(yǎng)成;既要規(guī)范命題設(shè)問，盡量與教材編寫保持一致，又要關(guān)注人文情懷，促使評價導(dǎo)向立德樹人.

1. 以生為本，落實學(xué)科核心素養(yǎng)要求

核心素養(yǎng)是一個指向未來的發(fā)展概念，數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生的發(fā)展性. 以生為本，要有機整合數(shù)學(xué)問題的解決過程和數(shù)學(xué)基本能力，從情境維度和知識遷移維度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的關(guān)鍵能力. 通過考查從情境中抽象出解決問題的思路和方法，并用已有知識和方法進行遷移，達(dá)到學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的目的.

2. 以標(biāo)為綱，導(dǎo)向函數(shù)基礎(chǔ)知識考查

準(zhǔn)確把握《標(biāo)準(zhǔn)》對函數(shù)部分提出的本質(zhì)屬性要求是命題的必要前提和品質(zhì)保證. 基于《標(biāo)準(zhǔn)》要求，挖掘教材中的例題和習(xí)題，進行改編和創(chuàng)新，把握難度，堅持內(nèi)容不超不偏. 也有部分題目以函數(shù)圖象為背景，考查的核心是幾何，如圖形形狀的判定、圖形關(guān)系的判定、圖形大小的計算、特殊幾何圖形的存在性問題等的“偽函數(shù)”命題，與函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)相違背，過度強調(diào)“解析化”，超出《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，降低了試題的效度和信度，該類命題還有待商榷.

3. 以思為主，提升題目情境的合理性

創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，強化由現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)問題的抽象過程. 命題編制需要選擇一個蘊含數(shù)學(xué)知識、具有良好數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)情境. 在該過程中，轉(zhuǎn)化能力體現(xiàn)了學(xué)生是否掌握函數(shù)知識的本質(zhì)和基礎(chǔ)知識、基本技能的良好考查指標(biāo).

4. 以學(xué)為用，聯(lián)系生活實際科學(xué)命題

作為刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型之一，函數(shù)的命題更應(yīng)該緊密聯(lián)系生活實際科學(xué)命制，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，促使學(xué)生比較全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)與社會、科學(xué)、技術(shù)之間的協(xié)同關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活的學(xué)科內(nèi)涵，提高學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

5. 以質(zhì)為先，應(yīng)用多關(guān)注“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”

以往的綜合性問題更多的是整合學(xué)科內(nèi)知識之間的聯(lián)系，考查學(xué)生靈活運用知識的能力. 隨著“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”和項目式學(xué)習(xí)越來越熱門，中考試題的命制也可緊密結(jié)合實際. 例如，浙江臺州卷第16題、第23題，浙江麗水卷第9題等試題，在科學(xué)性的基礎(chǔ)上，適當(dāng)整合其他學(xué)科知識和技能，指向發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng). 如何更好地創(chuàng)新，如何更好地整合其他學(xué)科是值得我們深思的.

三、模擬題

為便于更好地交流學(xué)習(xí)，筆者為大家提供幾道函數(shù)相關(guān)題目，僅供參考和賞析，也歡迎批評指正.

1. 路程s、速度v、時間t三者之間的關(guān)系式為s = vt，當(dāng)其中一個量是常量時，另外兩個變量的函數(shù)圖象不可能是（ ?）.

答案：D.

2. 在下列函數(shù)圖象上任取不同的兩點[P1x1，y1]，[P2x2，y2]，一定能使[y2-y1x2-x1>0]的是（ ? ?）.

（A） [y=1xx>0]

（B） [y=x2-2x-3x≥0]

（C） [y=-x2+4x+1x<0]

（D） [y=-4x+2x>0]

答案：C.

3. 已知函數(shù)y = mx2 + nx - 3，且2m - n = 1，若不論m取何正數(shù)時，函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，則滿足條件的x的取值范圍可能是（ ? ?）.

（A） [-6≤x≤-4] （B） [-2≤x≤][-12]

（C） [0<x≤3] （D） [3≤x≤5]

答案：A.

4. 關(guān)于函數(shù)[y=mx+m-1x-1]. 下列說法正確的是（ ? ?）.

（A）無論m取何值，函數(shù)圖象總經(jīng)過點（1，0）和（-1，-2）

（B）當(dāng)[m≠12]時，函數(shù)圖象與x軸總有2個交點

（C）若[m>12]，則當(dāng)[x<1]時，y隨x的增大而減小

（D）當(dāng)[m>0]時，函數(shù)有最小值是[-14m-m+1]

答案：D.

5. 已知：點[Pa2+1， 2a2+1]是一次函數(shù)[y=-kx-][1-3k]上的點，求[k]的取值范圍.

答案：[-34≤k<0.]

6. 某位同學(xué)做實驗考查電流變化情況時，可以選擇若干定值電阻進行并聯(lián)（假設(shè)可以選擇任何數(shù)值的電阻），已知電源電壓U為2V.（注：公式[I=UR]，其中I是電流強度，U是電壓，R是電阻.）

（1）若只接入一個電阻，I和R是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？如果是，說明這是哪類函數(shù)？

（2）若只接入一個電阻，測得電流強度I為0.1A，求該電阻R的值.

（3）若所選的兩個電阻分別為R1，R2，且R1 + R2 = 20Ω，恰好使總電流強度I最小，求對應(yīng)電阻R1，R2的值.（注：并聯(lián)時總電阻[R=R1×R2R1+R2].）

答案：（1）是，I是R的反比例函數(shù).

（2）R = 20Ω.

（3）恰好使總電流強度I最小，對應(yīng)電阻R1，R2的值都為10Ω，此時I = 0.4A.

7. 已知二次函數(shù)[y=ax2-4ax+a2][a≠0].

（1）若點（2，0）在拋物線上，求出拋物線的表達(dá)式.

（2）若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1 < y2，試結(jié)合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍.

答案：（1） [y=4x2-16x+16].

（2） [a<0或1<a<3].

8. 已知二次函數(shù)[y=x2-6ax+9]（a為常數(shù)）.

（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（2，7），試求a的值和圖象頂點坐標(biāo);

（2）在（1）的情況下，當(dāng)[-1≤x<2]時，求y的取值范圍;

（3）當(dāng)[x≥3]時，y隨x的增大而增大，[Px1，y1]，[Qx2，y2]是該函數(shù)圖象上的兩個點，對任意的[3a-2≤][x1≤5，3a-2≤x2≤5]，[y1，y2 ]總滿足[y1-y2≤9a2+25]，試求[a]的取值范圍.

答案：（1） [a=12]，表達(dá)式為[y=x2-3x+9]，頂點坐標(biāo)為[32， 274].

（2）當(dāng)x = -1時，有最大值13;

當(dāng)x =[32]時，有最小值[274].

所以y的取值范圍是[274≤y≤13].

（3） [0≤a≤1].

四、復(fù)習(xí)建議

1. 循序漸進滲透函數(shù)概念，合理把握《標(biāo)準(zhǔn)》要求

分析2021年中考函數(shù)試題可知，加大了對函數(shù)概念本質(zhì)（聯(lián)系與變化、單值對應(yīng)）的考查. 在教學(xué)中，我們要摒棄“重視函數(shù)三種表示方法的講解，輕視函數(shù)的概念形成過程”的教學(xué)思路，轉(zhuǎn)變?yōu)榻柚钪械膶嵗驖u進地滲透函數(shù)概念，潛移默化地構(gòu)建函數(shù)思想. 在“代數(shù)式求值”“二元一次方程”“分式有意義的條件”“分式值為0的條件”等內(nèi)容的課堂上，要以函數(shù)思想為引領(lǐng)審視教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生感受變化與對應(yīng)的思想內(nèi)涵. 復(fù)習(xí)時在“代數(shù)式”章節(jié)、“方程與不等式”章節(jié)也需要用函數(shù)思想引領(lǐng)，完善代數(shù)學(xué)習(xí)體系.

在當(dāng)下取消考試說明的背景下，《標(biāo)準(zhǔn)》是命題和教學(xué)最重要的依據(jù). 考試注重考查核心知識，復(fù)習(xí)時要以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)落實知識點，不可超越《標(biāo)準(zhǔn)》內(nèi)容及要求.

2. 數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)性質(zhì)，加工教材創(chuàng)新使用

從函數(shù)的數(shù)量特征及圖象的幾何特征來刻畫每類函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的基本方法. 在復(fù)習(xí)時，教師要關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想的運用.

教材直接反映《標(biāo)準(zhǔn)》理念，是“四基”的直接載體. 近年來中考函數(shù)命題致力于教材資源價值洼地的開發(fā)，讓教材發(fā)揮其應(yīng)有的“范本”功能. 因此，在復(fù)習(xí)時，教師要善于研讀教材，創(chuàng)造性地使用教材中的母題，更要善于引導(dǎo)學(xué)生重視教材資源，合理、恰當(dāng)?shù)厥褂媒梯o資料.

3. 科學(xué)合理設(shè)計函數(shù)作業(yè)，減輕學(xué)生過重負(fù)擔(dān)

2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，明確全面壓減作業(yè)總量和時長，減輕學(xué)生過重的作業(yè)負(fù)擔(dān). 在復(fù)習(xí)時，教師精選與函數(shù)內(nèi)容匹配、符合復(fù)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生實際、利于知識和技能鞏固的適量習(xí)題作為作業(yè). 嚴(yán)格把控作業(yè)量和作業(yè)時間，避免機械性、重復(fù)性、長時性作業(yè)，嘗試探索基于本班學(xué)情的彈性作業(yè)，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

參考文獻(xiàn)：

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[2]胡玲君. 2019年中考“函數(shù)”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.

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