2021年中考“函數(shù)”專題解題分析

陳振鋒 徐石房

摘 ?要：函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)和考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體，是中考?jí)狠S題的命題熱點(diǎn)，在初中數(shù)學(xué)中具有核心地位. 2021年全國各地中考試題都非常重視與實(shí)際生活的聯(lián)系，立足于函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)和問題解決能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型;問題解決;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一、試題分析

函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型. 20世紀(jì)以來，世界各國中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于代數(shù)的內(nèi)容逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心. 函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一.

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)試卷中的重點(diǎn)，更是難點(diǎn). 初中學(xué)段的函數(shù)主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容. 其主要考點(diǎn)為：具體實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系;常量和變量的意義;函數(shù)的概念和三種表示方法;確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求函數(shù)值;結(jié)合圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析;理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并應(yīng)用這三類函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;體會(huì)函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系;感受函數(shù)與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

函數(shù)表達(dá)是數(shù)學(xué)表達(dá)的抽象和深化. 函數(shù)是培養(yǎng)和考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.

綜觀2021年全國各地函數(shù)中考試題，立足于函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面的考查，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、問題解決能力的考查.

1. 夯實(shí)知識(shí)技能，重視函數(shù)概念考查

例1 （浙江·嘉興卷）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30 m稱為“加速期”，30 m ～ 80 m為“中途期”，80 m ～ 100 m為“沖刺期”. 市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練的速度y（m / s）與路程x（m）之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖1所示.

（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？

（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？

（3）根據(jù)圖形提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議.

解析：（1）根據(jù)函數(shù)的概念可以直接判斷，說明理由中，核心是說清兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（2）由圖象可知，“加速期”結(jié)束時(shí)，即跑30 m時(shí)，小斌的速度為10.4 m / s.

（3）答案不唯一，但要表述一定的依據(jù). 例如，根據(jù)圖象信息，小斌在80 m左右時(shí)速度下降明顯，建議增加耐力訓(xùn)練，提高成績(jī).

【評(píng)析】此題主要考查函數(shù)概念，理解題干中“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，通過觀察，讀出圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵. 此題重視對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的考查，對(duì)教學(xué)有一定的導(dǎo)向作用.

例2 （黑龍江·綏化卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，MN垂直于x軸，以MN為對(duì)稱軸作△ODE的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸MN與線段DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在[y=kxk≠0，x<0]的雙曲線上，點(diǎn)O，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C，A. 若A為OE的中點(diǎn)，且S△AEF = 1，則k的值為 ? ? ? .

解析：如圖3，連接OB，

由AO = AE及對(duì)稱性可知，[AG=14AC].

再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，可得S△ABC =16S△AFG = 16 ×[12]= 8.

從而得到S△OBC =[12k]= 12.

所以k = -24.

故答案為-24.

【評(píng)析】此題主要從解析法與圖象法兩個(gè)角度考查反比例函數(shù)相關(guān)概念，試題有一定的難度. 函數(shù)學(xué)習(xí)必須通過一些實(shí)例讓學(xué)生逐漸習(xí)得，深度理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納體驗(yàn)函數(shù)的三種表示方法，進(jìn)而感悟變量的研究具有一般性. 綜觀2021年全國各地區(qū)中考試題，對(duì)于函數(shù)的解析法、列表法和圖象法三種表達(dá)形式，都有相應(yīng)的考查. 這是知識(shí)與技能考查的基礎(chǔ)，也是核心內(nèi)容. 解決此類題的關(guān)鍵是合理引進(jìn)參數(shù)，找到變量之間的相互關(guān)系，構(gòu)建方程求解. 例如，遼寧錦州卷第15題、浙江紹興卷第15題、四川達(dá)州卷第14題、重慶卷第12題、湖北鄂州卷第15題、江蘇宿遷卷第17題等都對(duì)反比例函數(shù)解析法中k值的確定進(jìn)行了考查.

2. 滲透思想方法，著力函數(shù)圖象與性質(zhì)考查

例3 （四川·遂寧卷）已知二次函數(shù)[y=ax2+bx+ca≠0]的圖象如圖4所示，有下列5個(gè)結(jié)論：

①[abc>0];

②[b2<4ac];

③[2c<3b];

④[a+2b>mam+b][m≠1];

⑤ 若方程[ax2+bx+c]= 1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2.

其中正確的結(jié)論有（ ? ?）.

（A）2個(gè) （B）3個(gè)

（C）4個(gè) （D）5個(gè)

解析：此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

易知[a<0]，[c>0].

由[-b2a=1]，得[b=-2a].

所以[b>0].

故[abc<0].

所以①[abc>0]錯(cuò)誤.

根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得[b2-4ac>0].

所以②[b2<4ac]錯(cuò)誤.

由圖象得，當(dāng)[x=-1]時(shí)，[y=a-b+c<0].

由于[b=-2a]，所以[-b2-b+c<0].

所以③[2c<3b]正確.

當(dāng)[x=1]時(shí)，[y=a+b+c]的值最大.

所以當(dāng)[x=mm≠1]時(shí)，[a+b+c]>[am2+bm+c]，得[a+b]>[am2+bm].

因?yàn)閇b>0]，

所以④[a+2b>mam+b][m≠1]正確.

因?yàn)榉匠蘙ax2+bx+c]= 1有四個(gè)根，

所以方程[ax2+bx+c=1]與[ax2+bx+c=-1]各有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

故[2×-ba=2×2=4].

所以⑤錯(cuò)誤.

所以正確結(jié)論有2個(gè).

故選A.

【評(píng)析】函數(shù)的圖象與性質(zhì)的主要考點(diǎn)是：圖象的形狀、大小、位置，函數(shù)解析式中系數(shù)變化與圖象大小、圖象位置的關(guān)系，函數(shù)的增減性、最值、圖象對(duì)稱性、函數(shù)值的大小比較等. 對(duì)于每一個(gè)性質(zhì)，都應(yīng)遵循“數(shù)形結(jié)合”思想方法，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面去理解. 此題中對(duì)于③[2c<3b]的判斷，應(yīng)抓住當(dāng)[x=-1]時(shí)， [y=a-b+c<0]這一點(diǎn). 對(duì)于④[a+2b>][mam+b][m≠1]的判斷，應(yīng)從函數(shù)的最值上尋找突破口. 對(duì)于⑤的判斷，應(yīng)注意分類討論，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用兩根之和的知識(shí)加以解決. 此類二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的問題，是2021年全國各地中考試題的熱點(diǎn)問題. 例如，湖北恩施卷第9題、湖南株洲卷第9題、江蘇宿遷卷第8題、山東泰安卷第15題、貴州遵義卷第16題等.

例4 （浙江·金華卷）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)[y=kxk>0]的圖象上，[AB⊥Ox]于點(diǎn)B，[AC⊥Oy]于

點(diǎn)C，分別在射線[AC]，[BO]上取點(diǎn)[D]，[E]，使得四邊形ABED為正方形. 如圖5，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)[AC=4]時(shí)，小李測(cè)得[CD=3].

探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系. 試幫助小李解決下列問題.

（1）求k的值.

（2）設(shè)點(diǎn)A，D的橫坐標(biāo)分別為x，z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”. 如圖6，小李畫出了[x>0]時(shí)“Z函數(shù)”的圖象.

[ ] [-4][-3][-2][-1][O][1][2][3][4][5][-1][-2][-3][-4][-5][1][2][3][4][x][z][圖6]

① 求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式.

② 補(bǔ)畫[x<0]時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）.

③ 過點(diǎn)（3，2）作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

解析：此題利用新定義函數(shù)的背景，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)遷移應(yīng)用的能力.

（1）由A（4，1），可得[k=4].

（2）① 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為[Ax， 4x]，

所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為[z=x-4x].

② 畫出的圖象如圖7所示，性質(zhì)如下（答案不唯一）.

（a）函數(shù)的圖象是兩個(gè)分支組成的，是兩條曲線.

（b）函數(shù)的圖象關(guān)于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

（c）當(dāng)[x>0]時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大而增大;當(dāng)[x<0]時(shí)，函數(shù)值z(mì)隨自變量x的增大而增大.

③ 第一種情況，當(dāng)過點(diǎn)（3，2）的直線與x軸垂直時(shí)，[x=3].

第二種情況，當(dāng)過點(diǎn)（3，2）的直線與x軸不垂直時(shí)，

設(shè)該直線的函數(shù)表達(dá)式[z=mx+bm≠0]，

所以[2=3m+b，]

即[b=-3m+2].

所以[z=mx-3m+2m≠0].

由題意，得[x-4x=mx-3m+2]，

即[m-1x2+2-3mx+4=0x≠0].

當(dāng)[m=1]時(shí)，[-x+4=0]，解得[x=4].

當(dāng)[m≠1]時(shí)，由[2-3m2-4m-1×4=0]，

解得[m1=2]，[m2=109].

當(dāng)[m1=2]時(shí)，[x2-4x+4=0]，解得[x1=x2=2].

當(dāng)[m2=109]時(shí)，[x-62=0]，解得[x3=x4=6].

所以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2，3，4，6.

【評(píng)析】此題考查學(xué)生在新定義函數(shù)的背景下，靈活運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問題的能力. 第（1）小題中，利用正方形的性質(zhì)，可求出AD，AB的長，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo). 第（2）小題第①問中，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為[Ax， 4x]，可求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo). 第②問先畫出x < 0的函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象可以得到此函數(shù)的性質(zhì). 第③問分情況討論：第一種情況，過點(diǎn)（3，2）的直線與x軸垂直;第二種情況，過點(diǎn)（3，2）的直線與x軸不垂直，此時(shí)設(shè)該直線的函數(shù)表達(dá)式為[z=mx+b][m≠0，]由[2=3m+b]，得[z=mx-3m+2m≠0]. 與[z=x-4x]聯(lián)立，可得[m-1x2+2-3mx+4=0]. 進(jìn)一步再按[m=1]和[m≠1]分類討論，當(dāng)[m≠1]時(shí)，利用[b2-4ac=0]可順利求解. 利用新定義函數(shù)的背景，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是2021年的熱點(diǎn)之一. 例如，湖北鄂州卷第23題、湖南婁底卷第11題、江蘇無錫卷第10題、四川自貢卷第24題、重慶A卷第22題等.

3. 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出函數(shù)應(yīng)用考查

例5 （遼寧·營口卷）某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元 / 件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售價(jià)增加，銷售量在減少. 商家決定當(dāng)售價(jià)為60元 / 件時(shí)，改變銷售策略，此時(shí)售價(jià)每增加1元需支付由此產(chǎn)生的額外費(fèi)用150元. 該商品銷售量y（件）與售價(jià)x（元 / 件）滿足如圖8所示的函數(shù)關(guān)系（其中40 ≤ x ≤ 70，且x為整數(shù)）.

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，商家所獲利潤最大，最大利潤是多少？

解析：此題是典型的二次函數(shù)應(yīng)用問題，重點(diǎn)考查學(xué)生應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中利潤最大化問題的能力.

（1）設(shè)線段AB的表達(dá)式為y = kx + b（40 ≤ x ≤ 60），

則[40k+b=300，60k+b=100.]

解得[k=-10，b=700.]

所以線段AB的表達(dá)式為y = -10x + 700（40 ≤ x ≤ 60）.

設(shè)線段BC的表達(dá)式為y = ax + b（60 < x ≤ 70），

則[60a+b=100，70a+b=150.]

解得[a=5，b=-200.]

所以線段BC的表達(dá)式為y = 5x - 200（60 < x ≤ 70）.

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y = -10x + 700（40 ≤ x ≤ 60），y = 5x - 200（60 < x ≤ 70）.

（2）設(shè)獲得的利潤為w元，

① 當(dāng)40 ≤ x ≤ 60時(shí)，

w = （x - 30）（-10x + 700），

即w = -10（x - 50）2 + 4 000.

所以當(dāng)x = 50時(shí)，w有最大值，最大值為4 000元.

② 當(dāng)60 < x ≤ 70時(shí)，

w = （x - 30）（5x - 200） - 150（x - 60），

即w = 5（x - 50）2 + 2 500.

因?yàn)楫?dāng)60 < x ≤ 70時(shí)，w隨x的增大而增大，

當(dāng)x = 70時(shí)，w有最大值，最大值為5 × （70 - 50）2 + 2 500 = 4 500（元）.

綜上所述，當(dāng)售價(jià)為70元時(shí)，該商家獲得的利潤最大，最大利潤為4 500元.

【評(píng)析】此題以生活中的銷售問題為背景，考查學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的不同范圍求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求出最值，特別要注意的是分類討論.

例6 （貴州·貴陽卷）甲秀樓是貴陽市一張靚麗

的名片. 如圖9，甲秀樓的橋拱截面[OBA]可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬[OA=8]（m），橋拱頂點(diǎn)[B]到水面的距離是4（m）.

（1）按如圖10所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）一只寬為1.2（m）的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)[O]0.4（m）時(shí)，橋下水位剛好在[OA]處. 有一名身高1.68（m）的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，試說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）;

（3）如圖11，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線[y=][ax2+bx+ca≠0]，該拋物線在[x]軸下方部分與橋拱[OBA]在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象. 將新函數(shù)圖象向右平移[mm>0]個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在[8≤ x≤ 9]時(shí)，[y]的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

解析：此題主要考查二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用.

（1）由題意，得A（8，0），B（4，4）.

設(shè)二次函數(shù)的解析式為[y=axx-8]，

把（4，4）代入上式，得[a=-14].

所以[y=-14x2+2x]（0 ≤ x ≤ 8）.

（2）由題意，得[x=0.4+0.6=1].

代入[y=-14x2+2x]，得y =[74]> 1.68.

所以他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱.

（3）當(dāng)0 ≤ x ≤ 8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為[y=14x2-2x];

當(dāng)x < 0或x > 8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為[y=-14x2+2x].

將新函數(shù)圖象向右平移[mm>0]個(gè)單位長度，如圖12，觀察圖象可知，[m+4≥9]，且[m≤8].

所以[5≤m≤8].

【評(píng)析】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——拱橋問題. 解決此類應(yīng)用性問題的關(guān)鍵是建立合適的平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型加以解決. 在解決問題的過程中，注意將生活情境與背景數(shù)學(xué)化. 綜觀2021年全國各地區(qū)中考試題，二次函數(shù)的應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn). 例如，浙江金華卷第21題、廣西北部灣卷第24題、浙江衢州卷第18題、河北卷第25題等.

二、解法分析

1. 關(guān)注最值問題考查，重視模型應(yīng)用

例7 （廣東卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線[y=x2]上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且[OA⊥OB]. 連接點(diǎn)A，B，過點(diǎn)O作[OC⊥AB]于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值為（ ? ?）.

（A）[12] （B）[22]

（C）[32] （D）[1]

解析：此題考查點(diǎn)到直線的最大距離.

如圖13，過點(diǎn)C作y軸垂線，垂足為點(diǎn)H，AB與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，[∠OCD=90°]，點(diǎn)C在以點(diǎn)E為圓心，OD長為直徑的圓上.

再結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)E重合時(shí)，CH最大，也就是半徑.

通過構(gòu)造相似三角形推理得出D（0，1）.

故選A.

【評(píng)析】此題屬于隱形圓問題，通過引進(jìn)變量，設(shè)A（a，[a2]），B（[-b]，[b2]），構(gòu)造相似三角形，求出直線AB經(jīng)過定點(diǎn)D（0，1）. 解決此類問題的關(guān)鍵是通過幾個(gè)特殊點(diǎn)理清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，將問題巧妙轉(zhuǎn)化，從而順利求解.

例8 （湖北·荊門卷）如圖14，拋物線y = ax2 + bx + c交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)Q為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式.

（2）求[QO+QA]的最小值.

（3）過點(diǎn)Q作PQ∥AC，交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ面積分別為S1，S2，設(shè)S = S1 + S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得S最大，并求此最大值.

解析：此題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩線段之和最小、圖形面積最大等知識(shí).

（1）設(shè)y = a（x + 1）（x - 3），

將C（0，-3）代入，得a = 1.

所以y = （x + 1）（x - 3），

即y = x2 - 2x - 3.

（2）如圖15，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，且O′（3，-3），連接QO′，

當(dāng)O′，Q， A三點(diǎn)共線時(shí)，[QO+QA]的值最小，最小值為[32+42=5].

（3）如圖14，直線BC的解析式為y = x - 3，直線AC的解析式為y = -3x - 3，直線PQ的解析式可設(shè)為y = -3x + b，

再設(shè)P（m，m2 - 2m - 3），

代入直線PQ的解析式，得m2 - 2m - 3 = -3m + b.

解得b = m2 + m - 3.

所以直線PQ的解析式為y = -3x + m2 + m - 3.

與y = x - 3聯(lián)立，得Q[m2+m4， m2+m-124].

由S = S△PAQ + S△PBQ = S△PAB - S△QAB，得

S =[12×4×-m2+2m+3--m2+m-124]

=[-32m2+92m]

=[-32m-322+278]，0 < m < 3.

所以當(dāng)m =[32]時(shí)，S最大，最大值為[278]，此時(shí)P[32，-154].

【評(píng)析】此例中，通過設(shè)P（m，m2 - 2m - 3），巧妙地求出Q[m2+m4， m2+m-124]，從而使問題迎刃而解. 解決此類問題的關(guān)鍵是找到已知與未知的關(guān)系，表示出面積或周長，利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)加以解決. 綜觀2021年全國各地中考試題，最值問題是熱點(diǎn)之一. 例如，考查有關(guān)線段長度的最值問題的有湖北鄂州卷第24題、湖南婁底卷第26題、四川達(dá)州卷第25題、天津卷第25題、廣西北部灣卷第18題等;考查有關(guān)圖形面積最值問題的有湖南常德卷第25題、江蘇鹽城卷第27題、重慶A卷第25題等.

2. 關(guān)注變換問題考查，重視動(dòng)態(tài)變化

例9 （江蘇·揚(yáng)州卷）如圖16，一次函數(shù)[y=][x+2]的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，把直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交x軸于點(diǎn)C，則線段AC長為（ ? ?）.

（A） [6+2] （B） [32]

（C） [2+3] （D） [3+2]

解析：此題考查在旋轉(zhuǎn)變換的背景下，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì).

如圖17，過點(diǎn)C作[CD⊥AB]于點(diǎn)[D]，

設(shè)[CD=x]，

則[BD=x+2]，[BC=2x].

由勾股定理，可得[2x2=x2+x+22].

解得[x=3+1].

所以[AC=2x=6+2].

故選A.

【評(píng)析】求解此題是充分利用了[30°]這個(gè)特殊角，構(gòu)造出兩個(gè)特殊三角形，利用特殊三角形邊之間的關(guān)系，借助勾股定理，從而使問題順利求解. 解此類題的關(guān)鍵是，明確變換的要求，利用好特殊角，構(gòu)造出特殊三角形.

例10 （山東·威海卷）如圖18，在菱形ABCD中，[AB=2 cm]，[∠D=60°]，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1 cm / s的速度沿A-C-D的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2 cm / s的速度沿A-B-C-D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到

達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），[△APQ]的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（ ? ?）.

解析：此題考查的是雙動(dòng)點(diǎn)下，三角形面積的變化規(guī)律，要根據(jù)時(shí)間分三種情況，得到三角形面積表達(dá)式，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)圖象進(jìn)行判斷即可確定正確選項(xiàng).

如圖19，當(dāng)0 ≤ x ≤ 1時(shí)，AQ = 2x，AP = x，作PE ⊥ AB于點(diǎn)E.

所以[PE=APsin∠PAE=32x].

所以[y=12 · 2x · 32x=32x2].

故選項(xiàng)D不正確.

當(dāng)1 < x ≤ 2時(shí)，[y=-32x2+3x].

故選項(xiàng)B不正確.

當(dāng)2 < x ≤ 3時(shí)，[y=32x-3].

故選項(xiàng)C不正確.

故選A.

【評(píng)析】此題在菱形的背景下設(shè)置雙動(dòng)點(diǎn)問題，探究三角形面積的變化規(guī)律，蘊(yùn)涵運(yùn)動(dòng)、變換的思想，能促進(jìn)學(xué)生用發(fā)展的眼光來看待數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維. 解決此類問題的關(guān)鍵是要注意分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，合理進(jìn)行分類討論.

3. 關(guān)注存在性問題考查，感受數(shù)學(xué)魅力

例11 （內(nèi)蒙古·通遼卷）如圖20，拋物線y = ax2 + bx + 3交x軸于A（3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上.

（1）求拋物線的解析式.

（2）當(dāng)以點(diǎn)P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長.

（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

解析：（1）設(shè)[y=ax-3x+1]，

把C（0，3）代入，得[a=-1].

所以該拋物線的解析式為[y=-x-3x+1]，

即y = -x2 + 2x + 3.

（2）由B（-1，0），C（0，3），可得BC =[10].

△PBC的周長 = PB + PC + BC = PB + PC +[10].

當(dāng)PB + PC最小時(shí)，△PBC的周長最小.

如圖21，連接AC交拋物的對(duì)稱軸于點(diǎn)P.

由直線AC的解析式為[y=-x+3]，可得P（1，2）為所求的點(diǎn).

所以△PBC的周長的最小值為AC + BC =[32]+[10].

（3）存在.

設(shè)P（1，t）.

① 以AC為邊時(shí)，

如圖22，當(dāng)CP = CA時(shí)，12 + （3 - t）2 = 32 + 32.

解得[t=3±17].

所以P1（1，[3-17]），P2（1，[3+17]）.

所以Q1（4，[-17]），Q2（4，[17]）.

當(dāng)AC = AP時(shí)，同理可得Q3（[-2]，[3+14]），Q4（[-2]，[3-14]）.

② 以AC為對(duì)角線時(shí)，

如圖23，當(dāng)CP = PA時(shí)，四邊形APCQ是菱形.

由12 + （3 - t）2 = （1 - 3）2 + t2，解得t = 1.

所以P3（1，1）.

所以Q5（2，2）.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（4，[-17]），Q2（4，[17]），Q3（[-2]，[3+14]），Q4（[-2]，[3-14]），Q5（2，2）.

例12 （湖南·邵陽卷）如圖24，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）經(jīng)過點(diǎn)（1，1）和（4，1）.

（1）求拋物線C的對(duì)稱軸.

（2）當(dāng)a = -1時(shí)，將拋物

線C向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線C1.

① 求拋物線C1的解析式.

② 設(shè)拋物線C1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC. 點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E. 設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m. 是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出m的值;若不存在，說明理由.

解析：此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸、解析式和三角形的存在性問題.

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x =[52].

（2）① 原表達(dá)式為y = -x2 + 5x - 3，平移后為y =

-x2 + x + 2.

② 存在.

理由：令y = -x2 + x + 2 = 0，

解得x = -1或x = 2.

令x = 0，則y = 2.

故點(diǎn)B，A的坐標(biāo)分別為B（-1，0），A（2，0），點(diǎn)C（0，2）.

tan∠BCO =[OBOC=12]，tan∠CBO = 2，

當(dāng)以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，則tan∠DOE = 2或tan∠DOE =[12].

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，-m2 + m + 2），

則tan∠DOE =[DEOE]=[-m2+m+2m].

所以[-m2+m+2m=2]，或[-m2+m+2m=12]，

解得m = -2或m = 1或m =[1-332]或m =[1+332].

因?yàn)閙 > 0，

故m = 1或m =[1+332].

【評(píng)析】例11重點(diǎn)考查菱形存在性問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問題. 例12重點(diǎn)考查相似三角形存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建方程加以解決. 綜觀2021年全國各地中考函數(shù)試題，存在性問題是熱點(diǎn)問題. 2021年考查的重點(diǎn)主要有：等腰三角形存在性問題，如江蘇宿遷卷第28題、湖北隨州卷第24題、湖南邵陽卷第24題、四川南充卷第25題、四川廣安卷第26題等;平行四邊形存在性問題，如廣東卷第25題、海南卷第22題、黑龍江龍東卷第28題、四川涼山州卷第28題、重慶B卷第25題、遼寧錦州卷第25題、西藏卷第27題等;菱形存在性問題，如湖南婁底卷第26題、湖北恩施卷第24題、山西卷第23題、內(nèi)蒙古鄂爾多斯卷第23題等;矩形存在性問題，如甘肅定西卷第28題、山東菏澤卷第23題、四川達(dá)州卷第25題等;相似三角形存在性問題，如山東濟(jì)寧卷第22題、陜西卷第25題、四川遂寧卷第25題、湖南長沙卷第26題、浙江金華卷第24題等. 此類問題通常考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，考查學(xué)生觀察、分析問題和解決問題的綜合能力. 蘊(yùn)含抽象、分類、歸納、演繹、模型等數(shù)學(xué)思想. 此類壓軸題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，思維含量高，學(xué)生往往容易出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的情況.

三、試題解法賞析

例13 （黑龍江·大慶卷）如圖25是甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的橫截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中（圓柱形實(shí)心鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度y（cm）與注水時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖26所示，根據(jù)圖象解答下列問題.

（1）圖26中折線EDC表示 ? ? ?槽中水的深度與注入時(shí)間之間的關(guān)系;線段AB表示 ? ? ?槽中水的深度與注入時(shí)間之間的關(guān)系;鐵塊的高度為 ? ? ?.

（2）注入多長時(shí)間，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同？（試寫出必要的計(jì)算過程.）

解析：此題考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題的能力.

（1）EDC表示乙槽中水的深度與注入時(shí)間之間的關(guān)系.

線段AB表示甲槽中水的深度與注入時(shí)間之間的關(guān)系.

從圖26觀察可知，鐵塊的高度為16 cm.

（2）甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同，線段[AB]與線段[ED]相交.

由[y=-2x+14]與[y=3x+4]聯(lián)立，可得[x=2，y=10.]

所以注入2 min時(shí)，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同.

【評(píng)析】此題考查的重點(diǎn)是一次函數(shù)的應(yīng)用. 解決此題時(shí)應(yīng)將兩個(gè)水槽中水位的變化與圖象結(jié)合起來，理解一些特殊點(diǎn)的含義，特別是兩線段的交點(diǎn)的含義. 此題還可以提出其他探究性問題. 例如，當(dāng)乙槽中的水剛好上升到鐵塊的高度時(shí)，求甲槽中水的深度.

例14 （山東·泰安卷）二次函數(shù)y = ax2 + bx + 4（a ≠ 0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP，AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥Ox于點(diǎn)D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）連接BC，當(dāng)∠DPB = 2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式.

（3）判斷：[PQQB]是否有最大值. 若有，求出最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有，說明理由.

解析：此題主要考查函數(shù)的圖象及性質(zhì).

（1）將A（-4，0），B（1，0）代入，可得二次函數(shù)的表達(dá)式為y = -x2 - 3x + 4.

（2）如圖27，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，

因?yàn)镻D∥OC，

所以∠DPB = ∠OEB.

因?yàn)椤螪PB = 2∠BCO，

所以∠OEB = 2∠BCO.

所以∠ECB = ∠EBC.

故BE = CE.

設(shè)OE = a，

則在Rt△BOE中，由勾股定理，得（4 - a）2 = a2 + 12.

解得[a=158].

所以E[0， 158].

由B（1，0），E[0， 158]兩點(diǎn)，可得直線BP的表達(dá)式為[y=-158x+158].

（3）[PQQB]有最大值.

（方法1）如圖28，設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.

因?yàn)橹本€AC表達(dá)式為y = x + 4，

所以M（1，5）.

所以BM = 5.

由BM∥PN，可得△PNQ ∽△BMQ.

所以[PQQB=PNBM=PN5].

設(shè)P（[m]，[-m2-3m+4]）（-4 <[m]< 0），

則N（[m]，[m+4]）.

所以[PQQB=PN5=-m2-3m+4-m-45=-m+22+45].

所以當(dāng)[m]= -2時(shí)，[PQQB]有最大值，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-2，6）.

（方法2）如圖29，過點(diǎn)P作PF∥Ox，交直線AC于點(diǎn)F.

設(shè)P（[m]，[-m2-3m+4]）（-4 <[m]< 0），

則F（[-m2-3m]，[-m2-3m+4]），

[PF=-m2-3m-m=-m2-4m].

由PF∥Ox，可得△PFQ ∽△BAQ.

所以[PQQB=PFAB=PF5].

所以[PQQB=-m2-4m5=-m+22+45].

所以當(dāng)[m]= -2時(shí)，[PQQB]有最大值，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-2，6）.

【評(píng)析】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，一次函數(shù)、二次函數(shù)、相似三角形、勾股定理、等腰三角形、兩點(diǎn)間的距離、平面直角坐標(biāo)系等，綜合性強(qiáng)，難度較高. 解決此題的關(guān)鍵是將∠DPB = 2∠BCO進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，以及巧妙地將[PQQB]用代數(shù)式表示出來.

四、結(jié)束語

綜觀2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，中考命題大多數(shù)以函數(shù)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)中考關(guān)鍵題或壓軸題，其命題形式豐富多彩. 有純函數(shù)概念、函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的考查;有函數(shù)與幾何圖形知識(shí)融合的考查;也有不同學(xué)科知識(shí)之間滲透的考查. 關(guān)注“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一，突出演繹和歸納兩大基本數(shù)學(xué)思想，重視分類討論思想，突出動(dòng)點(diǎn)、最值、存在性等熱點(diǎn)試題. 也出現(xiàn)了一些富有“項(xiàng)目化學(xué)習(xí)”韻味的新穎試題. 這些試題背景切合學(xué)生生活情境，問題具有開放性、思維性，也富有挑戰(zhàn)性，綜合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

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