2021年中考“圖形的性質(zhì)”專題解題分析

陳莉紅 段碧

摘 ?要：文章以2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試題為研究對象，選取部分有一定代表性的試題，從考查要求、解題思路等方面進行分析，概括出“圖形的性質(zhì)”領(lǐng)域的試題特點和解題方法，為2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)和研究提供參考.

關(guān)鍵詞：中考試題;解題分析;圖形的性質(zhì)

“圖形的性質(zhì)”是“圖形與幾何”課程內(nèi)容的重要組成部分，也是后續(xù)進一步學(xué)習(xí)和研究圖形的變化、圖形與坐標(biāo)的基礎(chǔ).“圖形的性質(zhì)”主要包括以下七部分內(nèi)容：點、線、面、角;相交線與平行線;三角形;四邊形;圓;尺規(guī)作圖;定義、命題、定理等. 綜觀2021年全國各地中考“圖形的性質(zhì)”部分試題，較好地體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的基本理念，不僅注重考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，還考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力，在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

一、試題特點及解法分析

本文以2021年全國各地中考試卷為研究對象，抽取了包含新疆（不含西藏）在內(nèi)的覆蓋全國各省的35套試卷為樣本，對其中有關(guān)“圖形的性質(zhì)”的試題從知識內(nèi)容的考查要求及考查角度進行分析，歸納出2021年“圖形的性質(zhì)”試題的考查特點主要有：基于圖形的性質(zhì)的理解及應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識及基本技能;突出思維過程考查數(shù)學(xué)思想;基于圖形的性質(zhì)考查探究能力;基于文本閱讀考查數(shù)學(xué)理解與表達. 下文將分別從這幾個方面進行解法分析，并對一些試題的優(yōu)秀解法進行賞析，為一線復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

1. 基于圖形的性質(zhì)的理解及應(yīng)用的基礎(chǔ)性試題的解法分析

《標(biāo)準(zhǔn)》中“圖形與幾何”的主要研究對象有點、線、面、角，相交線與平行線，三角形、四邊形和圓等，這五部分內(nèi)容循序漸進地從幾何圖形的基本元素（點、線、面），到構(gòu)成平面圖形的基本要素（線段、角），再到最簡單的平面圖形（三角形），最后到較復(fù)雜的平面圖形（多邊形和圓）. 前面部分的內(nèi)容是后面部分的內(nèi)容的基礎(chǔ)，解決多邊形和圓的問題往往要轉(zhuǎn)化成三角形的問題，解決三角形的問題經(jīng)常要分析組成它的基本要素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這五部分是歷年中考的常規(guī)考點. 第六部分尺規(guī)作圖是探究圖形性質(zhì)的重要方法，作圖的過程是對圖形性質(zhì)的進一步理解與運用. 第七部分定義、命題和定理具有較強的抽象性和邏輯性，對數(shù)學(xué)表達的嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范有明確的要求，是學(xué)習(xí)幾何語言表達的基礎(chǔ)，既是表達幾何對象的基礎(chǔ)，又是對圖形要素之間相互關(guān)系的梳理和總結(jié). 在2021年全國各地的中考試卷中，雖然這部分內(nèi)容出現(xiàn)得較少，但仍有一定的創(chuàng)新. 下面將從四個方面對“圖形的性質(zhì)”的基礎(chǔ)性試題的解法進行分析.

（1）加強對圖形的性質(zhì)的直觀化理解，注意圖形性質(zhì)之間的聯(lián)系與區(qū)別.

在圖形的性質(zhì)的基礎(chǔ)性試題中，通常以單個圖形或簡單情境為載體考查對圖形的認(rèn)識，主要包含兩個方面：一方面，是對圖形概念的理解;另一方面，是對基本事實的理解，以及對圖形性質(zhì)的簡單應(yīng)用. 通常是選擇題、填空題或者簡單的計算題與證明題.

例1 （湖北·隨州卷）如圖1，將一塊含有60°角的直角三角板放置在兩條平行線上，若∠1 = 45°，則∠2為（ ?）.

（A）15° （B）25°

（C）35° （D）45°

答案：A.

【評析】此題結(jié)合學(xué)生的生活情境，借助學(xué)生常用的三角板與兩條平行線直觀抽象出數(shù)學(xué)圖形，強調(diào)用數(shù)學(xué)眼光觀察，用數(shù)學(xué)思維思考，針對60°角與∠1，∠2之間的關(guān)系設(shè)置問題，考查了與三線八角、平行線性質(zhì)及直角三角形等相關(guān)知識的應(yīng)用. 學(xué)生解決此類問題，通常需要觀察圖形，可以借助幾何直觀幫助學(xué)生理清思路. 此題解法多樣，不作輔助線的情況下，可以借助∠1的對頂角、同位角、余角和三角形的外角求出∠2的對頂角，還可以過60°角的頂點作與已知平行線平行的直線，利用平行線性質(zhì)定理直接求出∠2. 因此，弄清楚圖形與圖形之間的關(guān)系，圖形性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別，在具體的問題背景下才能準(zhǔn)確選擇正確的圖形性質(zhì)，并運用其解題. 類似試題還有江蘇揚州卷第2題、山東臨沂卷第19題、浙江臺州卷第2題等.

例2 （江蘇·無錫卷）如圖2，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊中點，則以下說法錯誤的是（ ?）.

（A）△BDE和△DCF的面積相等

（B）四邊形AEDF是平行四邊形

（C）若AB = BC，則四邊形AEDF是菱形

（D）若∠A = 90°，則四邊形AEDF是矩形

答案：C.

【評析】此題是常規(guī)題，考查了對基本圖形的認(rèn)識，如平行四邊形、菱形、矩形的判定及三角形的性質(zhì)（如三角形面積的計算，三角形中位線定理等）. 解決這類問題通常需要梳理清楚三角形、四邊形、平行四邊形、矩形、菱形等基本圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系和每個基本圖形內(nèi)部的組成要素（如邊、角、對角線等之間的關(guān)系等），尋找有邏輯的主線把相關(guān)概念、判定及性質(zhì)串聯(lián)起來，形成有機的整體，比機械地死記硬背效果更好. 類似試題有廣東廣州卷第3題、新疆卷第22題等.

（2）掌握特殊圖形的基本性質(zhì)，注意基本技能的運用.

以多個基本圖形的組合圖形為載體考查圖形的性質(zhì)的綜合運用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力. 初中幾何往往以線段（?。?、角、面為對象考查關(guān)于長度、周長、角度、面積的運算，以這些對象之間的關(guān)系為對象或者以圖形與圖形之間的關(guān)系為對象考查數(shù)量關(guān)系（如線段相等或角相等）與位置關(guān)系（平行、垂直）、全等關(guān)系等的推理與證明.

例3 （安徽卷）如圖3，在菱形ABCD中，AB = 2，∠A = 120°，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（ ? ）.

（A）3 +[3] （B）2 +[23]

（C）2 +[3] （D）1 +[23]

答案：A.

【評析】此題以菱形為背景，借助菱形的對稱中心向四邊分別作垂線，生成新的內(nèi)接四邊形，求這個四邊形的周長. 考查了中心對稱、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形全等等知識. 此題涉及的特殊圖形有菱形、等邊三角形、直角三角形、矩形等，體現(xiàn)了圖形的綜合，以及不同圖形性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián). 依據(jù)菱形的性質(zhì)（如鄰邊相等）、含有60°的內(nèi)角可連接對角線構(gòu)造等邊三角形. 又由菱形的對角線互相垂直，可構(gòu)造直角三角形. 因此，此題解題的關(guān)鍵是連接菱形的兩條對角線，把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，把求周長轉(zhuǎn)化為求線段長. 初中階段求線段的長度通常是把線段放入三角形中，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解;或者在三角形中運用平行線分線段成比例、全等及相似圖形中對應(yīng)邊關(guān)系等轉(zhuǎn)化求解. 這是考查基本數(shù)學(xué)運算能力.

例4 （四川·樂山卷）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖4（1）所示. 19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖4（2）是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（ ?）.

（A）3 （B） [72]

（C）2 （D） [52]

答案：A.

【評析】七巧板這一古老的中國玩具，是由1塊正方形、5塊等腰直角三角形、1塊平行四邊形拼成一個大正方形，且大正方形的邊長為4，圖形與圖形之間受正方形及各自形狀的制約，相互之間邊長及角、面積等存在著一定的數(shù)量關(guān)系，可通過圖形的性質(zhì)及相互關(guān)系推理得出. 題設(shè)中的任務(wù)指向求“葉問蹬”圖中“腿”（即陰影部分）的面積，可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形面積與小等腰直角三角形面積之和. 圖中最大的等腰直角三角形的斜邊為4、直角邊為[22]，最小的等腰直角三角形的直角邊為[2]，唯一的小正方形的邊長為[2]，且小直角三角形、平行四邊形、小正方形都是在兩條平行線之間的等高圖形，此時可直接分別求出小等腰直角三角形的面積與平行四邊形的面積再求和，還可以觀察推理發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積是小等腰直角三角形面積的2倍，他們的面積分別是大正方形面積的[18]和[116]，根據(jù)這些關(guān)系都能得出正確的結(jié)果. 因此，借助特殊圖形的性質(zhì)及圖形與圖形之間的關(guān)系計算和推理，是解決一般幾何問題的基本技能. 在這個過程中，有時需要借助幾何直觀幫助我們觀察、發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)系. 類似試題有浙江湖州卷第16題、浙江金華卷第15題、浙江溫州卷第16題、上海卷第17題等.

（3）善于挖掘隱含條件，靈活添加輔助線，構(gòu)造直角三角形或全等三角形解題.

有些綜合考查“圖形的性質(zhì)”的試題中，已知條件給出的各個要素之間的關(guān)系不能直接得到結(jié)論中需要的線索或依據(jù)，這時就需要適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造相應(yīng)的基本圖形作為橋梁，起到過渡的作用. 什么時候需要添加輔助線、添加哪條輔助線是解決問題的關(guān)鍵和難點，除了需要熟練掌握基本性質(zhì)及相關(guān)定理之外，培養(yǎng)幾何直觀及空間觀念，加強對圖形的直覺思維也是非常重要的，本質(zhì)上需要加強對文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化能力.

例5 （河南卷）如圖5（1），在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲線連桿機構(gòu)”. 小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖5（2）所示. 兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在⊙O上，當(dāng)點P在⊙O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON. 當(dāng)AP與⊙O相切時，點B恰好落在⊙O上，如圖5（3）所示. 僅就圖5（3）的情形解答下列問題.

（1）求證：∠PAO = 2∠PBO;

（2）若⊙O的半徑為5，AP =[203]，求BP的長.

答案：（1）略;（2）3[10].

【點評】此題是動點問題，主動點P在⊙O上轉(zhuǎn)動，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，給定限制條件“OM⊥ON，AP與⊙O相切，點B恰好落在⊙O上”，求限制條件下關(guān)于角度和長度的問題. 考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理，等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性質(zhì)等，此題的難點在于每道小題都需要作輔助線，第（1）小題中∠PAO與∠PBO沒有直接的聯(lián)系，要找到它們之間的關(guān)系需要找到“第三者”轉(zhuǎn)化過渡，讀懂題中“AP與⊙O相切”這一條件是關(guān)鍵，依據(jù)切線的性質(zhì)，自然想到連接半徑OP，構(gòu)造了垂直關(guān)系，與已知OM⊥ON相呼應(yīng)，即可以運用圓周角定理及等角的余角相等得證結(jié)論. 第（2）小題求線段的長，通常把線段放入三角形中求解. 因為點B和點P是圓上的點，所以自然會用到ON的反向延長線與圓的交點，設(shè)為點C，連接PC，構(gòu)造Rt△BPC，利用勾股定理求出線段長. 在此過程中發(fā)現(xiàn)，要求出PC的長還需要再過點P作PD⊥OC，構(gòu)造相似三角形. 因此，求解此題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線. 圓中涉及的常見輔助線有：連接切點與圓心、直徑所對的圓周角構(gòu)造直角三角形、過圓上某點作垂直于半徑的線段構(gòu)造直角三角形、應(yīng)用垂徑定理等. 在多邊形中：已知角平分線上的點，可以向角的兩邊作垂線構(gòu)造直角三角形;已知中點，可以延長中線，用倍長中線法構(gòu)造平行四邊形，或者作平行線，運用中位線定理，等等. 對于三角形全等，當(dāng)判定條件沒有直接呈現(xiàn)時，可以依據(jù)三角形全等的判定定理作輔助線，構(gòu)造全等. 總之，構(gòu)造輔助線是在解決問題的過程中思路受阻后尋找突破口的方式，需要以相關(guān)概念、性質(zhì)及定理為基礎(chǔ)產(chǎn)生遷移，有時需要從結(jié)論開始往前逆推尋找線索，對思維要求較高. 類似試題有廣東深圳卷第15題、四川成都卷第20題等.

（4）以尺規(guī)作圖為探究工具，借助幾何直觀發(fā)展邏輯推理.

例6 （江蘇·南京卷）如圖6，已知P是⊙O外一點. 用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線. 要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

答案：（方法1）如圖7，連接OP，作線段OP的垂直平分線，找出線段OP的中點G，以點G為圓心、OG長為半徑作圓，圓G交圓O于點D，連接PD，則PD所在直線即為所求切線.

（方法2）如圖8，作點P關(guān)于點O的對稱點P[′]，以點O為圓心，OP長為半徑作圓，連接PP[′]，交圓O于點A，B，以點P[′]為圓心，AB的長為半徑作圓，交弧PP[′]于點Q，連接PQ，PQ交圓O于點D，PD所在直線即為所求切線.

【評析】《標(biāo)準(zhǔn)》中要求掌握的基本尺規(guī)作圖有五種，此題就是在五種基本作圖基礎(chǔ)上探究過圓外一點作圓的切線，是一道過程開放的試題. 解決此題的關(guān)鍵是確定切點D的位置，且PD⊥OD，作圖的思路和方法除方法1和方法2以外還有很多種. 例如，可以依據(jù)菱形對角線互相垂直作出菱形及其對角線得解;可以先過OP與圓的交點作切線，然后構(gòu)造全等三角形，作出點D;等等. 其他方法不一一贅述，讀者可以繼續(xù)研究. 尺規(guī)作圖題是建立學(xué)生幾何直觀的有效手段，是鍛煉學(xué)生演繹推理能力的重要抓手. 在解尺規(guī)作圖題的過程中，常常利用幾何直觀幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并轉(zhuǎn)化問題，然后用演繹推理反推尋找作圖思路，在這個過程中，幾何直觀往往是邏輯推理的重要輔助手段. 類似試題有江西卷第16題、湖北武漢卷第20題、四川廣安卷第24題等.

2. 以圖形的性質(zhì)為載體，在過程中考查數(shù)學(xué)思想的試題解法分析

數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括. 在對“圖形的性質(zhì)”考查中，常見的數(shù)學(xué)思想主要有轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想等，在問題的設(shè)置上有時候會體現(xiàn)從特殊到一般的思想、在具體的求解運算過程中會涉及整體思想等. 一道綜合性試題或壓軸題中往往蘊涵著多種數(shù)學(xué)思想.

例7 （浙江·杭州卷）圖9是一張矩形紙片ABCD，M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF. 若MF = AB，則∠DAF 的值為 ? ? .

答案：18°.

【評析】此題以常見的折紙為背景，設(shè)置求角度的運算，難度不大，但涉及的考點非常豐富，主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折的對稱性、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、余角、三角形的內(nèi)角和定理及其推論等. 在具體解題過程中，連接MD是關(guān)鍵，經(jīng)過觀察、推理可以發(fā)現(xiàn)圖中有多個等腰三角形，如△AMD，△FMD，△CMD，△DCF，再依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到角與角之間的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為在△DCF中，或者在△CMD中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程即可求解. 此題蘊涵的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化思想和方程思想. 在求線段的長度和角的大小的問題中，我們常常利用圖形的性質(zhì)得到線段或角的數(shù)量關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)列方程求解，這是常用的方法. 類似試題有江西卷第12題、江蘇常州卷第18題. 在幾何與函數(shù)綜合考查的試題中，往往會綜合考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，以及根據(jù)幾何對象關(guān)系建立函數(shù)，并運用函數(shù)求最值或者范圍，考查函數(shù)思想，如天津卷第24題、陜西卷第26題等.

3. 基于圖形的性質(zhì)的探究性試題的解法分析

基于圖形的性質(zhì)的探究性試題是以圖形的性質(zhì)為基本出發(fā)點，引出問題，主要考查學(xué)生對圖形基本性質(zhì)及性質(zhì)之間內(nèi)在聯(lián)系的掌握情況，同時讓學(xué)生體會在性質(zhì)的探索中試題所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會在解決數(shù)學(xué)問題的過程中經(jīng)歷“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明—應(yīng)用”的數(shù)學(xué)思維方式. 此類問題一般經(jīng)歷三個層次：第一個層次，“特例探究”是基礎(chǔ)，把一般性問題特殊化或簡單化處理，做好鋪墊;第二個層次，是“歸納證明”，是在第一個層次的基礎(chǔ)上更進一步地研究，得到一般性的結(jié)論或方法;第三個層次，是“綜合運用”，是把上一層次得到的一般性結(jié)論或方法遷移運用到新的情境中，其本質(zhì)還是對幾何圖形基本性質(zhì)的熟練掌握和深刻理解，最終實現(xiàn)學(xué)生幾何思維和核心素養(yǎng)的提升.

例8 （湖北·武漢卷）問題提出：

如圖10（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = AC，EC = DC，點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F.線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究：

（1）先將問題特殊化如圖10（2）所示，當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）再探究一般情形如圖10（1）所示，當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：

如圖10（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = kAC，EC = kDC（k是常數(shù)），點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F. 直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系.

答案：（1）BF - AF =[2]CF;

（2）BF - AF =[2]CF仍然成立;

（3）BF - kAF =[k2+1]CF.

【評析】此題以三個環(huán)節(jié)“問題提出—問題探究—問題拓展”為主線展開，“問題提出”環(huán)節(jié)以兩個等腰直角三角形組成的圖形為基本圖形，任務(wù)指向探究線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，具有一般性. 在“問題探究”環(huán)節(jié)設(shè)置了兩道小題. 第（1）小題進行了特殊化處理，將點D與點F重合，變成兩個共直角頂點的直角三角形構(gòu)成的經(jīng)典的旋轉(zhuǎn)型全等三角形. 證明△ACD ≌ △BCE（SAS），則AF = BE，EF =[2]CF. 將不在同一直線上的三條線段AF，BF，CF轉(zhuǎn)化到同一條直線上，進而找到三條線段的數(shù)量關(guān)系. 第（1）小題體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想. 第（2）小題對問題一般化，探究當(dāng)點D與點F不重合時結(jié)論是否仍然成立，解決的關(guān)鍵是找到變中不變的本質(zhì)是△ACD ≌△BCE（SAS）依舊成立，類比第（1）小題，依舊可以將不在同一直線上的三條線段AF，BF，CF轉(zhuǎn)化到同一條直線上，但是由于當(dāng)點D與點F不重合，需要添加輔助線構(gòu)造與AF和[2]CF相等的線段.“過點C作CG⊥CF交BF于點G”一箭雙雕，同時構(gòu)造了線段FG =[2]CF，BG = AF. 這里運用的數(shù)學(xué)思想主要是類比和轉(zhuǎn)化思想. 第三個環(huán)節(jié)“問題拓展”，將題干中的條件進一步一般化，將兩直角邊相等BC = AC，EC = DC，改成兩直角邊成比例BC = kAC，EC = kDC（k是常數(shù)），對應(yīng)的三角形也從全等關(guān)系變成相似關(guān)系，是更高一個層次上對方法和思想的遷移運用. 類似試題有重慶卷第26題、江蘇連云港卷第27題、四川達州卷第24題等.

4. 基于文本閱讀考查理解與表達的試題解法分析

數(shù)學(xué)閱讀是指學(xué)生對文字、符號、圖形等以表現(xiàn)形式的內(nèi)容進行數(shù)學(xué)分析與思考，獲取信息并將信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程. 在解決數(shù)學(xué)閱讀題時，學(xué)生對文字、符號、圖形等數(shù)學(xué)語言的互譯能力顯得特別重要.

例9 （山西卷）閱讀與思考

閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

任務(wù)：

（1）根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性;

（2）用以下兩種方法驗證第二個例子中圖算法的正確性：

① 用公式[1R=1R1+1R2]計算：當(dāng)R1 = 7.5，R2 = 5時，R的值為多少;

② 如圖13，在△AOB中，∠AOB = 120°，OC是△AOB的角平分線，OA = 7.5，OB = 5，用你所學(xué)的幾何知識求線段OC的長.

解：（1）圖算法方便、直觀，不用公式計算即可得出結(jié)果（答案不唯一）.

（2）① R = 3.

② OC = 3.

【評析】此題根據(jù)提供圖算法的相關(guān)材料進行任務(wù)設(shè)計. 第（1）小題是開放性問題，要求說出圖算法的優(yōu)越性，這需要學(xué)生通過閱讀，理解什么是圖算法、圖算法的作用、圖算法與公式法的區(qū)別等，需要自己概括出圖算法的優(yōu)越性，并表達出來，這是對學(xué)生閱讀能力的考查，需要學(xué)生在讀取文字信息的過程中進行分析、推理，也是目前學(xué)生還不太適應(yīng)的試題類型. 第（2）小題要求用兩種算法驗證圖算法求出的電阻是否正確，分別考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、實數(shù)的混合運算等知識點. 此題中正確理解題干中的定義是解題的關(guān)鍵. 學(xué)生需要把文字語言轉(zhuǎn)譯成符號語言或者圖形語言，把現(xiàn)實問題中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)方法來表達. 文字語言“先畫出一個120°的角”對應(yīng)著符號語言“∠AOB = 120°”，“再畫一條角平分線”對應(yīng)著“OC是△AOB的角平分線”，“在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進行刻度”對應(yīng)著“OA = 7.5，OB = 5”，“只要把角的兩邊刻著7.5和5的兩點連成一條直線”對應(yīng)著“直線AB”，“這條直線與角平分線的交點的刻度值”對應(yīng)著“線段OC的長”. 在整個過程中，文字語言的精準(zhǔn)閱讀是關(guān)鍵. 學(xué)生要抓住關(guān)鍵詞、句，及時將獲取的信息與符號或者圖形對應(yīng)起來，甚至通過反復(fù)閱讀的方式，咬文嚼字，仔細推敲，才能弄清題目的已知條件是哪些，需要求解或者證明的結(jié)論是什么，將實際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題. 在日常教學(xué)過程中，需要加強對學(xué)生數(shù)學(xué)文本閱讀能力的訓(xùn)練，使他們養(yǎng)成喜歡閱讀的習(xí)慣. 類似試題有湖南株洲卷第18題、貴州貴陽卷第25題、河南卷第23題等.

二、試題解法欣賞

例10 （江西卷）課本再現(xiàn)：

（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖14（1），即可證明，其中與∠A相等的角是 ? ? ;

類比遷移：

（2）如圖14（2），在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD中這對互余的角可類比（1）中思路進行拼合：先作∠CDF = ∠ABC，再過點C作CE⊥DF于點E，連接AE，發(fā)現(xiàn)AD，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系是 ? ? ? ;

方法運用：

（3）如圖15（1），在四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC = 90°，點O是△ACD兩邊垂直平分線的交點，連接OA，∠OAC = ∠ABC.

① 求證：∠ABC + ∠ADC = 90°;

② 連接BD，如圖15（2），已知AD = m，DC = n，[ABAC]= 2，求BD的長（用含m，n的式子表示）.

答案：（1）解：如圖14（1），由圖形的拼剪可知，∠A = ∠DCA′.

（2）解：如圖14（2），因為∠ADC + ∠ABC = 90°，∠CDE = ∠ABC，

所以∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90°.

所以AD2 + DE2 = AE2.

（3）① 證明：如圖16，連接OC，作△ADC的外接圓⊙O.

因為點O是△ACD兩邊垂直平分線的交點，

所以點O是△ADC的外心.

所以∠AOC = 2∠ADC.

因為OA = OC，

所以∠OAC = ∠OCA.

因為∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°，∠OAC = ∠ABC，

所以2∠ADC + 2∠ABC = 180°.

所以∠ADC + ∠ABC = 90°.

接下來介紹第（3）小題第②問的幾種解法，供大家欣賞.

類比第（2）小題的方法. 如圖17，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，并按照一定的比例放縮，構(gòu)造一個以CD為斜邊、與△ABC相似，且共頂點C的Rt△EDC. △ABC的三邊比為1∶2 ∶[5]，所以CE∶DE∶CD = 1∶2 ∶[5]. 因為CD = n，所以Rt△EDC的另外兩邊均可用含n的式子表示出來. 連接AE，一方面，構(gòu)造了一對相似三角形△DCB ∽ △ECA，[DBAE=BCAC=][5]，DB =[5]AE，將求線段DB的長轉(zhuǎn)化為求線段AE的長;另一方面，將兩個互余的角拼到一起，∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = ∠ADC + ∠ABC = 90°，構(gòu)造了Rt△ADE，線段AE的長可以用勾股定理求出. 具體解題過程如下.

方法1：如圖17，在射線DC的下方作∠CDE = ∠ABC，過點C作CE⊥DE于點E，連接AE.

因為∠CED = ∠CAB = 90°，∠CDE = ∠ABC，

所以△CED ∽ △CAB.

在△CAB中，因為[ACAB=12]，

所以AC∶AB∶BC = 1∶2 ∶[5].

所以CE∶DE∶DC = 1∶2 ∶[5].

因為DC = n，所以DE =[255n].

因為△CED ∽ △CAB，

所以∠DCE = ∠ACB，[CDCB=CECA].

又因為∠DCE + ∠DCA = ∠ACB + ∠DCA，

即∠DCB = ∠ECA，

所以△DCB ∽△ECA.

所以[BDAE=BCAC=51].

所以BD =[5]AE.

因為∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = ∠ADC + ∠ABC = 90°，DE =[255n]，AD = m，

所以AE =[AD2+DE2]=[m2+255n2]=[m2+45n2].

所以BD =[5]AE =[5m2+4n2].

方法2：類比方法1. 如圖18，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，并按照一定的比例放縮，構(gòu)造一個以CD為直角邊、與△ABC相似，且共頂點C的Rt△EDC. △ABC的三邊比為1∶2 ∶[5]，所以CD∶DE∶CE = 1∶2 ∶[5]. 因為CD = n，所以DE = 2n，連接BE. 一方面，構(gòu)造了一對相似三角形△DCA ∽ △ECB，[EBDA=BCAC=5]，所以EB =[5]DA =[5m];另一方面，將兩個互余的角拼到一起，由△ABC ∽ △DEC，△DCA ∽ △ECB，可得∠DEC = ∠ABC，∠CEB = ∠ADC. 所以∠DEB = ∠DEC + ∠CEB = ∠ABC + ∠ADC = 90°. 構(gòu)造了Rt△DEB，則BD =[EB2+DE2]=[5m2+4n2].

類比方法1和方法2，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，并按照一定的比例放縮，構(gòu)造一個以AD為直角邊、與△ABC相似，且共頂點A的Rt△ADE. AD可以是較長的直角邊，也可以是較短的直角邊. 所以有兩種構(gòu)造方式，如圖19和圖20所示.

方法3：如圖19，△ABC ∽ △AED，△ABC的三邊比為1∶2 ∶[5]，所以AD∶AE∶DE = 1∶2 ∶[5]. 因為AD = m，所以DE =[5]m. 連接BE. 一方面，構(gòu)造了一對相似三角形△DAC ∽△EAB，[EBDC=ABAC=2]，所以EB = 2DC =[2n];另一方面，將兩個互余的角拼到一起，由△ABC ∽ △AED，△DAC ∽ △EAB，可得∠DEA = ∠ABC，∠AEB = ∠ADC. 所以∠DEB = ∠DEA + ∠AEB =∠ABC + ∠ADC = 90°. 構(gòu)造了Rt△DEB，則BD =[DE2+EB2]=[5m2+4n2].

方法4：如圖20，△ABC ∽ △ADE，與方法3不同之處在于構(gòu)造的Rt△ADE中AD是較長的直角邊，解題步驟不再一一贅述.

類比前四種解法，可以將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，并按照一定的比例放縮，構(gòu)造一個以BD為斜邊或者直角邊、與△ABC相似，且共頂點B的Rt△EDB. 如圖21和圖22所示. 這樣又可以得到方法5和方法6，具體解題過程略.

這六種解法的本質(zhì)是一樣的，都是借助旋轉(zhuǎn)構(gòu)造與△ABC共頂點的相似三角形，除公共頂點外的另兩對對應(yīng)點交錯相連得到一對新的相似三角形，這樣的相似模型俗稱“手拉手”. 通過構(gòu)造相似三角形，將已知線段和未知線段轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中，然后運用勾股定理求解.

類似地，也可以構(gòu)造與△ADC共頂點的相似三角形. 因為△ADC有三個頂點，每繞其中一個頂點又有兩種旋轉(zhuǎn)縮放構(gòu)造相似三角形的方法，這樣又可以得到六種解法. 下面僅舉其中一種來說明.

方法7：如圖23，在射線AB的下方作線段AE，使∠BAE = ∠CAD，且AE = 2AD.

因為AB = 2AC，

所以△ADC ∽ △AEB.

則∠AEB = ∠ADC，BE = 2DC = 2n.

因為∠BAE = ∠CAD，

所以∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC，

即∠BAC = ∠EAD = 90°.

又因為[AEAD=ABAC=2]，

所以△BAC ∽ △EAD.

則∠AED = ∠ABC，DE =[AD2+AE2]=[5]m.

因為∠DEB = ∠AEB + ∠AED = ∠ADC + ∠ABC = 90°，

所以△DEB是直角三角形.

所以BD[=DE2+EB2]=[5m2+4n2].

這種方法與方法3的構(gòu)圖方法不同，推理過程不同，但是圖形是一樣的.

總之，以上12種解題方法都是對第（2）小題方法的類比遷移. 如果拋開第（2）小題，還可以另辟蹊徑. 第（3）小題的第①問得到了一個關(guān)鍵結(jié)論∠ABC + ∠ADC = 90°，在Rt△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 90°，所以∠ADC = ∠ACB. 這兩個角的頂點都在同一直線DC上，可以在直線DC上再找一個點E，使∠CEB = ∠ADC = ∠ACB，構(gòu)造出“一線三等角”.

如圖24，延長DC到點E，使得[∠BEC=∠ADC].

因為[∠ECA=∠ADC+∠DAC，] [∠ECA=∠ACB+∠BCE]，

所以[∠BCE=∠DAC.]

所以[△CEB～△ADC].

因為[AD=m，CD=n，AC∶BC=1∶5]，

所以[CE=5m，BE=5n].

過點B作[BF⊥DE].

因為∠CEB = ∠ACB，

所以tan∠CEB = tan∠ACB =[ABAC]= 2，即[BFEF]= 2.

又因為[BE=5n]，

所以EF =[n]，BF =[2n].

則[DF=CD+CF=CD+CE-EF=n+5m-n=5m.]

在Rt△BDF中，

[BD=DF2+BF2=5m2+2n2=5m2+4n2].

先構(gòu)造出“一線三等角”，再作高，構(gòu)造直角三角形，最后運用勾股定理解題. 這種解法自然又巧妙，計算量也不大，值得品味.

以上各種解題方法的關(guān)鍵是抓住題干中的四邊形ABCD有一對對角互余，然后通過旋轉(zhuǎn)或者直接作圖構(gòu)造其他三角形與△ABC或△CDA相似，進一步得到與BD相關(guān)的直角三角形或相似三角形進行分析與求解，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

由此說明，在綜合性幾何試題中，對圖形的性質(zhì)的考查不是孤立的，往往會與圖形的變化相結(jié)合. 一方面，可以借助圖形的變化構(gòu)圖，作為題干條件呈現(xiàn);另一方面，作為探究的工具，由靜生動，構(gòu)造全等與相似，以基本圖形的性質(zhì)為基礎(chǔ)，研究圖形與圖形之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸、變中不變的數(shù)學(xué)思想.

參考文獻：

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