高中數(shù)學競賽中遞推數(shù)列問題的求解策略

寧夏銀川一中(750000) 潘長江

數(shù)列是高中數(shù)學競賽的必考內(nèi)容,考題通常以遞推公式的形式出現(xiàn),考查數(shù)列的通項、前n項和及涉及到的數(shù)列不等式等問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法,落實直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 解題的關(guān)鍵是如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為通項,本文通過典型示例歸納總結(jié)這類問題的求解策略.

1. 次數(shù)不同,兩邊取對數(shù)

例1 (2021 浙江金華高中競賽) 設(shè)a1= 1,a2= 2,

分析題目所給的遞推式不含項數(shù)n,且an,an-1,an-2的次數(shù)不同,通過取對數(shù)將其轉(zhuǎn)化為相同次數(shù)的項,然后求解.

解析由已知an >0,所以

點評解答本題的關(guān)鍵是給已知遞推式取對數(shù)轉(zhuǎn)化為再通過換元轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系從而求得bn,然后再求an. 一般地,當所給遞推關(guān)系不含項數(shù)n,項之間是通過乘除、乘方、開方(不含加減)運算連接,且各項的次數(shù)不同,可采用兩邊取對數(shù),將項的次數(shù)化相同,再利用線性遞推式來求解.

2. 隔項遞推,分奇偶討論

例2(2021 全國高中競賽) 設(shè)數(shù)列{an}的首項

分析本例所給的遞推關(guān)系是隔項遞推,是奇偶項數(shù)列,因而對項數(shù)n分奇、偶項討論.

解析當n為偶數(shù)時,令n=2m(m ∈N?),則當n為奇數(shù)時,令n=2m-1(m ∈N?),則

點評本題解答的關(guān)鍵是令n= 2m(m ∈N?),n=2m -1(m ∈N?), 分別將奇、偶項數(shù)列轉(zhuǎn)化為a2m+1=再利用待定系數(shù)法構(gòu)造成等比數(shù)列. 一般地,隔項遞推關(guān)系分奇、偶項討論,通過迭代運算分別轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項與偶數(shù)項各自所成的數(shù)列,然后求解.

3. 線性遞推,待定系數(shù)法

例3 (2021 全國競賽)數(shù)列{an}滿足a1= 0,a2= 1,

分析題目所給的遞推關(guān)系是關(guān)于an+1,an,an-1,連續(xù)三項的線性遞推式,可以采用待定系數(shù)法求解.

點評對形如an+1=pan -qan-1的遞推數(shù)列,可設(shè)an+1-λan=μ(an-λan-1), 則有于是λ,μ為方程x2-px+q=0 的兩根. 當?>0 時,λ /=μ,則an=c1λn+c2μn,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當?= 0 時,λ=μ,則an= (c1+c2n)λn-1,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當?<0 時,考慮{an}是周期數(shù)列.

4. 混合遞推,兩邊同除法

例4(2021 浙 江 高 中 競 賽) 設(shè)a0,a1,··· ,an滿 足則數(shù)列{an}的通項an=____.

分析題目所給的遞推關(guān)系中含有混合項anan-2與an-1an-2,可以給等式兩邊同除以轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系,然后求解.檢驗得知: 當n=1 時,也成立.

點評本題解答的關(guān)鍵是給遞推關(guān)系式兩邊同時除以混合項最終將其轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系bn-2 = 3bn-1,再用待定系數(shù)法確定bn,最后求出an. 一般地,如遇遞推式中含有混合項,采用兩邊同除的方法,再結(jié)合換元最終轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系求解.

5.“六”型分式,兩邊取倒數(shù)

例5 (2016 內(nèi)蒙古高中競賽) 已知數(shù)列{an}滿足求數(shù)列{an}的通項公式.

分析觀察題目所給的遞推關(guān)系式,其結(jié)構(gòu)類似于“六”型分式,只要稍做變形,再取倒數(shù),便可求解.

解析將遞推關(guān)系變形得,

兩邊取倒數(shù)得,

點評對于結(jié)構(gòu)類似于“六”型分式的遞推關(guān)系,化歸為“六”型分式結(jié)構(gòu),通過兩邊取倒數(shù),然后變形可轉(zhuǎn)化為熟悉的遞推關(guān)系,再利用熟知的方法策略轉(zhuǎn)化求得數(shù)列的通項.

6. 對稱結(jié)構(gòu),構(gòu)造常數(shù)列

例6(2021 全國高中競賽) 已知正項數(shù)列{an}滿足記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求的值.

分析題目所給的遞推式結(jié)構(gòu)具有對稱性. 通過觀察發(fā)現(xiàn),只要適當?shù)淖冃?可構(gòu)造常數(shù)列.

解析由遞推關(guān)系得,

點評構(gòu)造常數(shù)列是數(shù)列求通項的一種方法,一般形式為an+1=an(n ∈N?). 結(jié)合所給數(shù)列遞推公式的特征,如果所給的遞推式結(jié)構(gòu)對稱, 做適當?shù)淖冃慰赊D(zhuǎn)化為常數(shù)列,進而求出通項公式解決問題.

7. 對n 倍關(guān)系式,構(gòu)造同型表達式

例7(2021 全國高中競賽)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1=(n+2)an+1,則an=____.

分析題目所給的遞推關(guān)系nan+1= (n+2)an+1中,項an,an+1含有項數(shù)n的倍數(shù)關(guān)系,只要給兩邊同除以n(n+1)(n+2),轉(zhuǎn)化為同型式.

解析將等式nan+1=(n+2)an+1 的兩邊同除以n(n+1)(n+2)得,

點評本例解答的關(guān)鍵是將遞推關(guān)系nan+1=(n+2)an+1,轉(zhuǎn)化為同型式

一般地, 數(shù)列遞推式中如果出現(xiàn)數(shù)列項an,an+1的n倍關(guān)系,通過變形轉(zhuǎn)化為同型式,再利用累加法或累乘法等求出通項.

由此可見,數(shù)學競賽中遞推數(shù)列問題,通常是通過化歸與轉(zhuǎn)化,最終化為等差數(shù)列、等比數(shù)列、簡單的線性遞推關(guān)系,只需用通項公式法、累加法、累乘法、迭代法、待定系數(shù)法求解. 因此,在平時的學習中要注重基礎(chǔ),才能發(fā)展能力,從而提升數(shù)學素養(yǎng).