考查“四翼”淡化技巧
——2023年高考新課標(biāo)I卷第20題的解法探究與備考探索

廣東佛山南海中學(xué)(528211) 陳曉琳 譚瓊珍 周鴻高

2023 年高考新課標(biāo)I 卷第20 題是一道數(shù)列解答題,這是近年來(lái)首次把數(shù)列題放置后三題的位置,體現(xiàn)了數(shù)列解答題難度加大的趨勢(shì).

然而,細(xì)觀此題,該題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,只是一道常規(guī)題;而且沒(méi)有涉及等差數(shù)列的推斷,從思維程度上看,處于中檔題位置. 確實(shí),2023 年高考數(shù)學(xué)試題嚴(yán)格落實(shí)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求,合理控制試題難度; 在“反套路、反刷題、反死記硬背”上進(jìn)行命題示范,科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué),是新高考命題的風(fēng)向標(biāo),值得廣大一線教師深入鉆研、深刻領(lǐng)會(huì).

1. 試題評(píng)析

高考真題(2023 年高考新課標(biāo)I 卷第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d >1. 令記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)若3a2= 3a1+a3,S3+T3= 21,求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.

本題涉及考點(diǎn)主要有:等差數(shù)列的定義、性質(zhì),通項(xiàng)公式的形式及其應(yīng)用,前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)及其應(yīng)用. 主要考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)換化歸能力,蘊(yùn)含函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般、分類(lèi)討論等思想方法.

本題是基礎(chǔ)性與綜合性的有機(jī)結(jié)合體.《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出基礎(chǔ)性包括學(xué)科內(nèi)容的基本性、通用性及情境的典型性. 綜合性要求以多項(xiàng)相互關(guān)系的活動(dòng)組成的復(fù)雜情境作為載體,能夠反映學(xué)科知識(shí)、能力內(nèi)部的整合及其綜合運(yùn)用. 本題的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,這些是數(shù)列中的基本概念和基本公式. 本題的綜合性體現(xiàn)在條件中bn與an的相互關(guān)聯(lián),如何通過(guò)bn的信息轉(zhuǎn)化為an的基本量運(yùn)算,在問(wèn)題解決過(guò)程中需要用到函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與分類(lèi)討論思想,需要有較強(qiáng)推理論證能力和運(yùn)算求解能力,對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)要求較高.

本題也體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)在“反套路,反機(jī)械刷題”上所下的功夫,突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活運(yùn)用,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力. 學(xué)生在平時(shí)的復(fù)習(xí)中可能做到更多的數(shù)列題型是簡(jiǎn)單的基本量運(yùn)算,由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式,各種數(shù)列求和方法等. 而本題的創(chuàng)新點(diǎn)是給了兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的等差數(shù)列,這樣使題目看似很基礎(chǔ)但實(shí)際綜合性很強(qiáng). 這是真正考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活運(yùn)用的能力,真正檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否融會(huì)貫通和真懂會(huì)用,達(dá)到高考為國(guó)家為高校選拔人才的目的.

2. 解法探究

2.1 第(1)問(wèn)解法探究

第(1)問(wèn)比較常規(guī),利用等差數(shù)列基本性質(zhì)與基本公式就可求解. 主要是把兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為用等差數(shù)列{an}的基本量a1,d表示,特別是第二個(gè)條件中的T3,要利用bn與an的關(guān)系進(jìn)行代入,再利用函數(shù)與方程的思想,建立方程組求出a1與d的值. 在解題過(guò)程中,難點(diǎn)在于消元以及在消元后解出分式方程考生的主要問(wèn)題在于解方程過(guò)程出錯(cuò),或者在回答d的取值時(shí)沒(méi)有寫(xiě)出依據(jù)d >1 對(duì)根進(jìn)行取舍,解題過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn);可能也有考生在回答通項(xiàng)公式時(shí)寫(xiě)成{an}= 3n或者3n的形式,這是對(duì)數(shù)列和對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)表示不理解造成的. 解答過(guò)程如下:

解析(1) 因?yàn)?a2= 3a1+a3, 所以3d=a1+ 2d,解得a1=d, 所以S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d, 又T3=即2d2-7d+3 = 0,解得d= 3 或(因?yàn)閐 >1,舍去),所以an=a1+(n-1)·d=3n.

2.2 第(2)問(wèn)解法探究

解答第(2) 問(wèn)關(guān)鍵是對(duì){bn}為等差數(shù)列的翻譯, 以及S99-T99=99 的處理.

首先,對(duì){bn}為等差數(shù)列的翻譯有如下幾種方法:

這種解法體現(xiàn)了由一般到特殊的思想方法,是比較常規(guī)的思路.

這種解法是基于等差數(shù)列定義的一般性思路,需要有很明確的目標(biāo)和較強(qiáng)的運(yùn)算處理能力.

要使bn+1-bn為常數(shù),則解得a1=d或a1=2d.

這種解法也是基于等差數(shù)列定義的一般性思路,但是需要有超級(jí)強(qiáng)大的運(yùn)算處理能力,以及對(duì)等差數(shù)列定義有本質(zhì)上的理解和對(duì)式子結(jié)構(gòu)的清晰認(rèn)識(shí).

這種解法是由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的一次函數(shù)特征分析得到的,可以避免復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程,從而是最快的解法.

這種解法其實(shí)也是由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的一次函數(shù)特征推理得到,運(yùn)算量也比較少,解題過(guò)程應(yīng)用了恒成立問(wèn)題的解決思想方法.

縱觀以上幾種方法,都需要綜合所學(xué)多種知識(shí)求解,可以取前三項(xiàng),特殊探路,體現(xiàn)特殊到一般的解題思路;可以常規(guī)運(yùn)算化簡(jiǎn),這樣涉及相關(guān)字母符號(hào)較多,需要強(qiáng)大的運(yùn)算求解能力;也可以從函數(shù)視角看待等差數(shù)列通項(xiàng),利用一次函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,這樣解答比較簡(jiǎn)單,但需要具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力.

其次,對(duì)S99-T99=99 的處理有如下幾種方法:

這種解法是在得到了an與bn的通項(xiàng)公式之后直接代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中進(jìn)行計(jì)算,是非常自然的一種想法,屬于常規(guī)做法.

這種解法是根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)把S99-T99= 99 轉(zhuǎn)化為a50的值,這樣做使得運(yùn)算量減少,是比較快的解法.

這種解法構(gòu)造新的等差數(shù)列{an-bn},并利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)性質(zhì),既簡(jiǎn)化了后面的運(yùn)算過(guò)程,也減少分類(lèi)討論的次數(shù),體現(xiàn)較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力.

通過(guò)解法探究,可以說(shuō)明這是一道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、解法常規(guī)、價(jià)值深刻的經(jīng)典好題. 對(duì)比往年,它沒(méi)有用Sn與an關(guān)系來(lái)包裝,也沒(méi)有用累加疊乘、構(gòu)造等方法求通項(xiàng),更不需要用裂項(xiàng)相消或錯(cuò)位相減這些方法求和, 體現(xiàn)了“淡化技巧”的特點(diǎn). 它重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的基本概念、基本公式、基本性質(zhì)、基本運(yùn)算,卻呈現(xiàn)出“無(wú)價(jià)值,不入題;無(wú)思維,不命題;無(wú)情境,不成題”的典型特征,體現(xiàn)出“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的“四翼”考查要求. 考生做答此題,需要對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和表達(dá)式的結(jié)構(gòu)非常熟悉,需要分類(lèi)討論和邏輯推理,需要有面對(duì)含多字母式子變形化簡(jiǎn)不畏懼不慌亂的心理素質(zhì),又有克服困難的決心、信心和能力.

3. 備考探索

2023 年高考新課標(biāo)I 卷數(shù)列解答題,是一道出乎意料又在情理之中的試題,出乎意料表現(xiàn)在試題放置在后三題的位置,而沒(méi)有考查遞推數(shù)列和復(fù)雜數(shù)列的求和,沒(méi)有考查與不等式的交匯;情理之中體現(xiàn)在此題落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求. 高考評(píng)價(jià)體系明確了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求,是新時(shí)代高考命題、評(píng)價(jià)與改革的理論基礎(chǔ)和實(shí)踐指南,是用于指導(dǎo)全國(guó)及各省高考內(nèi)容改革和命題工作的核心文件,高考備考理應(yīng)深入研讀高考評(píng)價(jià)體系,用高考評(píng)價(jià)體系指導(dǎo)高考備考. 然而現(xiàn)狀是很多老師備考過(guò)程總是慣性前行,按以往經(jīng)驗(yàn)對(duì)高考數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行難中易等級(jí)劃分,集中精力花在自認(rèn)為容易的專(zhuān)題上;高考備考過(guò)程對(duì)各專(zhuān)題按題型劃分,進(jìn)行大量的刷題訓(xùn)練,抱著總有一種題型會(huì)考到的想法,做了大量的無(wú)用功. 這其中有對(duì)高考試題是否真正落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系持懷疑的考量,也有對(duì)高考試題如何落實(shí)和體現(xiàn)高考評(píng)價(jià)體系的茫然. 是以,高考試題的風(fēng)格變化,才是廣大一線教師高考備考的風(fēng)向標(biāo). 令人欣喜的是,近幾年的高考試題確實(shí)呈現(xiàn)出新的風(fēng)格、新的特征,值得老師們結(jié)合高考試題進(jìn)行備考探索.

3.1 用“課程標(biāo)準(zhǔn)”指導(dǎo)教學(xué)與備考

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于“數(shù)列”的表述, 有如下幾點(diǎn):(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象,是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用. 本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題的分析,了解數(shù)列的概念;(2)探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律,建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;(3)能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用;(4)了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù),等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性. 對(duì)照上面考題,考題與上述表述幾乎完全契合.

比較“課程標(biāo)準(zhǔn)”與“高考評(píng)價(jià)體系”,“高考評(píng)價(jià)體系”是一份指導(dǎo)性文件,理論性很強(qiáng);而“課程標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)學(xué)科在高中所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了規(guī)定, 并明確了學(xué)習(xí)要求. 比較“課程標(biāo)準(zhǔn)”與“高中數(shù)學(xué)教材”,“高中數(shù)學(xué)教材”版本眾多,雖說(shuō)內(nèi)容都按“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫(xiě),但有些細(xì)節(jié)上的不同;“課程標(biāo)準(zhǔn)”全國(guó)單一份,是編寫(xiě)教材的依據(jù). 所以,無(wú)論是在學(xué)習(xí)新課階段還是在高考備考階段,都應(yīng)用“課程標(biāo)準(zhǔn)”指導(dǎo)工作.

3.2 扎實(shí)抓好“四基”,發(fā)展“四能”

“四基”是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在高三的一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)該要切實(shí)抓好“四基”,要摒棄幫學(xué)生“過(guò)”一下知識(shí)點(diǎn), 然后讓學(xué)生大量做題鞏固的做法. 學(xué)生沒(méi)有真正理解所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),沒(méi)有掌握基本技能和基本思想,做再多的題也是徒勞,這只會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān),降低學(xué)習(xí)效率. 如上述考題,考生如果按課標(biāo)要求掌握相關(guān)知識(shí)方法,并不需要練太多的題,也沒(méi)必要;反之,學(xué)習(xí)再多的技巧秘訣,也無(wú)用武之地. 教師應(yīng)該利用一輪復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì)幫助學(xué)生深刻理解基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練好基本技能,掌握好基本思想,積累好基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),必要時(shí)螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容,讓重要的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì). 只有扎實(shí)抓好“四基”才能保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量,進(jìn)一步發(fā)展“四能”(發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力、實(shí)踐能力).

3.3 讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法,就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)中,經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論(概念、定理、公式、法則等)的本質(zhì)認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑. 一般高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法可分為三大類(lèi):第一類(lèi):數(shù)學(xué)思想方法,主要包括函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)與整合的思想、轉(zhuǎn)換與化歸的思想、特殊與一般的思想、有限與無(wú)限的思想、或然與必然的思想、算法的思想. 第二類(lèi):數(shù)學(xué)思維方法,主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、實(shí)驗(yàn)法、特殊方法等. 第三類(lèi):數(shù)學(xué)方法,主要指應(yīng)用面比較窄的具體方法,如配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法等具體的解題方法.

考生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法才能在解題中快速地尋找解題的途徑,順利解決問(wèn)題. 比如上述考題,如果考生能用一般到特殊的思想方法來(lái)思考問(wèn)題就能找到解決問(wèn)題的突破口,能用函數(shù)與方程的思想方法來(lái)處理問(wèn)題就能得到解決問(wèn)題的快捷方法.

3.4 提升數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力

隨著新課程的改革,中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系的落實(shí),新高考的命題轉(zhuǎn)向發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的問(wèn)題,考查不但體現(xiàn)基礎(chǔ)性,也體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性. 綜合性要求學(xué)生能在復(fù)雜問(wèn)題情境中能夠觸類(lèi)旁通、舉一反三,甚至融會(huì)貫通. 應(yīng)用性要求學(xué)生能夠主動(dòng)靈活地將所學(xué)知識(shí)遷移到社會(huì)生活實(shí)踐問(wèn)題中. 創(chuàng)新性要求學(xué)生具有發(fā)散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質(zhì),在新穎或陌生的情境中主動(dòng)思考,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論. 這可以從上面對(duì)今年數(shù)列考題的試題評(píng)析與解法探究中得到佐證. 提高學(xué)生的思維水平的同時(shí)也意味著對(duì)教師提出更高的要求,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生掌握抽象數(shù)學(xué)對(duì)象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,以實(shí)現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.