活躍在2023年高考卷中的“爪形”三角形

安徽省蕪湖市第一中學(xué)(241000) 劉海濤 張大偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出[1]:“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱‘四基’);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱‘四能’).”梳理2023 年高考數(shù)學(xué)卷, 有這樣一類解三角形問(wèn)題,連接已知三角的一個(gè)頂點(diǎn)與其對(duì)邊的任一點(diǎn),構(gòu)成“爪形”結(jié)構(gòu)的圖形,求解該類三角形的邊、角、面積等. 這類問(wèn)題能有效考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),既有對(duì)解三角形基本知識(shí)、基本思想方法的考查,也有融合向量、解析幾何等知識(shí)的考查,體現(xiàn)了高考的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的考查要求,具體如下表1. 由于解三角形知識(shí)的本身特性,近五年的高考中尚未考查其應(yīng)用性.

表1: 2023 年高考“爪形”三角形試題分類

1 有關(guān)“爪形”三角形的性質(zhì)

如圖1 所示, 在?ABC中, 角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,D為BC上一點(diǎn). 則有如下性質(zhì):

性質(zhì)1

性質(zhì)2(張角定理)

證明由S?ABD+S?CBD=S?ABC,得

圖1

性質(zhì)3(斯特瓦爾特定理)

證法1在?ABD和?CBD中, 由余弦定理, 得c2=AD2+BD2-2AD·BD·cos ∠ADB,a2=CD2+BD2-2CD·BD·cos ∠CDB,注意到∠ADB+∠CDB=π,則

特別地, 當(dāng)BD為中線時(shí), 有則

當(dāng)BD為∠ABC的角平分線時(shí), 有得a·AD=c·CD,則

2 部分試題分析

2.1 立足基礎(chǔ),考查通性通法

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出:高考圍繞學(xué)科主干內(nèi)容,加強(qiáng)對(duì)基本概念、基本思想的考查,杜絕偏難怪題和繁難試題,引動(dòng)教學(xué)重視教材,夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ),給學(xué)生提供深度學(xué)習(xí)和思考的空間[2]. 2023 年高考“爪形”三角形試題,主要考查學(xué)生有關(guān)解三角形基本知識(shí)、基本思想方法,要求學(xué)生掌握正弦、余弦定理,三角形面積、周長(zhǎng)等知識(shí),如新課標(biāo)I 卷第17 題,新課標(biāo)II 卷17 題,全國(guó)甲卷理科第16 題,全國(guó)乙卷理科第18 題等,這四道試題均來(lái)源于教材的例、習(xí)題的改編,只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí),熟練掌握求三角形中線、高線、角平分線等長(zhǎng)度的通性通法,考場(chǎng)中便可輕松解題.

例1(新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知?ABC的面積為D為BC中點(diǎn),且AD=1.

(2)若b2+c2=8,求b,c.

解析(1) 的解法1 在?ADC中,得a= 4. 在?ABD中,由余弦定理, 得cos ∠ADB= 7, 則又因?yàn)锽為銳角, 所以tanB=

(1) 的解法2 同法1, 得a= 4, 由余弦定理, 得b2=CD2+AD2-2CD·AD·cos ∠ADC=3,得注意到AC2+AD2=DC2,得如√圖2 所示,過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,于√是則

(2) 在?ABC中, 由D為BC中點(diǎn), 且AD= 1, 得由即∠ADC=于是得b=c=2.

評(píng)注該題屬于中等難度試題,解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用余弦定理、三角形面積公式等處理三角形中的邊角關(guān)系,對(duì)于“爪形”三角形中的中線,能夠熟記公式并運(yùn)用,該題有效考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖2

圖3

例2(甲卷理科第16 題)在?ABC中,∠BAC= 60?,的角平分線交BC于D, 則AD=____.

解法1如圖3 所示, 由余弦定理, 得AB2+AC2-由張角定理,得則AD=2.

解法2同法1, 得AC= 1 +3. 由正弦定理,得則在?ABD中,∠ADB=75?,所以AD=AB=2.

評(píng)注該題作為填空壓軸題,有一定難度,對(duì)于“爪形”三角形的角平分線問(wèn)題,既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題,也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解.

2.2 注重綜合,考查知識(shí)的融會(huì)貫通

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出:素質(zhì)教育是內(nèi)涵豐富的全面發(fā)展教育. 高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會(huì)貫通[2]. 2023 年的高考數(shù)學(xué)卷中,新課標(biāo)I 卷第16 題和全國(guó)甲卷理科第12 題分別以雙曲線和橢圓為背景考查“爪形”三角形,考查了圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)、解三角形等相關(guān)知識(shí),需要考生能夠?qū)⒔馕鰩缀闻c三角形等知識(shí)融會(huì)貫通起來(lái),屬于難度較大的綜合性試題.

例3(新課標(biāo)I 卷第16 題)已知雙曲線C:1(a,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2. 點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,則C的離心率為_(kāi)___.

解法1如圖4 所示,設(shè)B(0,m),由得

則m2= 4c2. 由點(diǎn)A在C上, 得結(jié)合b2=c2-a2整理得25c4-50a2c2+9a4=0,得5c2=9a2或5c2=a2(舍),所以

解法2設(shè)|BF1|=|BF2|=x, 則即得

評(píng)注該題是一道解析幾何與解三角形的綜合性問(wèn)題, 關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于a與c的齊次方程式, 注意到|F1F2|= 2c, 且F2為?F1AB邊AB上的一定比分點(diǎn), 故根據(jù)題意用a表示?F1AB的各邊長(zhǎng), 再利用便可輕松解題.

圖4

圖5

例4 (甲卷理科第12 題) 已設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1,F2為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn), 點(diǎn)P在C上,

解法1如圖5 所示, 設(shè)P(x0,y0), ∠F1PF2= 2θ. 由所以故選B.

解法2在?PF1F2中,由余弦定理,得

結(jié)合2|PF1||PF2|= (|PF1|+|PF2|)2-|PF1|2-|PF2|2,由O為F1F2中點(diǎn), 得|OP|2=故選B.

評(píng)注該題是壓軸選擇題,具有一定的綜合性,屬于中等偏難試題. 該題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出,也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理,再直接利用“爪形”三角形中線長(zhǎng)公式解決.

2.3 強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新,考查思維的靈活性

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出: 素質(zhì)教育中的智育和以往教育理念中的智育最大的不同,在于其對(duì)創(chuàng)新性的強(qiáng)調(diào)[2].通過(guò)命題創(chuàng)新,創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問(wèn)方式,考查考生學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性. 2023 年高考的天津卷第14 題,雖是“爪形”三角形問(wèn)題,卻沒(méi)有設(shè)問(wèn)解三角形,而是將問(wèn)題設(shè)置為求向量數(shù)量積的最大值,需要考生借助向量來(lái)“翻譯”題中的各個(gè)“爪形”三角形,最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問(wèn)題,有效考查學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

例5(天津卷第14 題)在?ABC中,∠A= 60?,BC=1, 點(diǎn)D為AB的中點(diǎn), 點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若設(shè)可用a,b表示為_(kāi)___;若則的最大值為_(kāi)___.

解析如圖6 所示, 由題知

圖6

設(shè)|a|=p,|b|=q, 則在?ABC中, 由余弦定理, 得AB2+AC2-BC2=2AB·AC·cosA,即p2+q2=1+pq.由p2+q2≥2pq,得pq≤1(當(dāng)且僅當(dāng)p=q= 1 時(shí)取等號(hào)).由

于是當(dāng)p=q=1 時(shí)取最大值,為

評(píng)注該題中共蘊(yùn)含了三個(gè)“爪形”三角形,但題目并未設(shè)問(wèn)求相關(guān)長(zhǎng)度問(wèn)題,而是以一個(gè)不定三角形為背景,以向量的形式來(lái)考查學(xué)生對(duì)三角形、向量、不等式、函數(shù)等知識(shí),屬于一道創(chuàng)新性試題,能夠有效考查學(xué)生的思維的靈活性與創(chuàng)新性.

3 高考備考

高考試題是命題者在《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的指導(dǎo)下, 經(jīng)過(guò)反復(fù)醞釀、打磨、斟酌而成, 對(duì)高考的備考具有導(dǎo)向性與啟示性[3]. 因此,作為一線教師,應(yīng)該善于從“四層”“四翼”的角度對(duì)高考真題予以分類整理,歸納總結(jié)出一類試題的通性通法, 使得學(xué)生跳出“題海”, 高效備考.2023 年高考一共有九套試卷(全國(guó)甲、乙卷的文、理卷,新高考的I、Ⅱ卷,北京卷、上海卷和天津卷),筆者梳理解三角形問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)共有7 道試題以“爪形”三角形為背景考查解三角形知識(shí),而通過(guò)深入分析這7 道試題,基于“四翼”的角度可以將其歸納為三類,基礎(chǔ)性試題、綜合性試題、創(chuàng)新性試題,文中分別選取典型試題予以分析,以幫助讀者掌握三類試題的解法,提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解題能力.