合理改編試題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題價(jià)值的提升

張必榮

摘要：試題改編是提升學(xué)生思維，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效的基礎(chǔ).結(jié)合具體案例，從“觀察試題背景，合理改編”“延伸試題內(nèi)容，深度開發(fā)”“衍變?cè)囶}價(jià)值，適當(dāng)推廣”三方面，闡述在教學(xué)中如何改編試題，讓問(wèn)題變得更具教學(xué)價(jià)值.

關(guān)鍵詞：改編試題；問(wèn)題；問(wèn)題價(jià)值

問(wèn)題是激發(fā)思維的火種.提出一個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)比回答一個(gè)問(wèn)題有難度，一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題的誕生，需要經(jīng)過(guò)深思熟慮的思考［1］.如何根據(jù)已有的試題，改編出更適合學(xué)生的問(wèn)題？這是筆者近些年一直在探索的課題之一.實(shí)踐證明，面對(duì)一道試題，可從它的出處、背景著手，通過(guò)不同的角度去觀察與分析，進(jìn)行改造與編排，亦可用變式訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的理解程度.

1 觀察試題背景，合理改編

當(dāng)我們拿到一道新的試題時(shí)，首先要觀察題從何處來(lái)，分析試題產(chǎn)生的背景及其待考查的目標(biāo).一般我們從題目的條件與結(jié)論著手進(jìn)行分析，根據(jù)試題條件與結(jié)論所提供的信息，發(fā)現(xiàn)它的出處.根據(jù)它的背景條件進(jìn)行合理改編，能加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，夯實(shí)基本功，為解題能力的提升奠定基礎(chǔ).

例1 已知橢圓C：x24+y22=1，且直線l：y=ax+b，如果橢圓C與直線l相交，a與b有怎樣的關(guān)系？

觀察本題，可見這是一道解析幾何的基礎(chǔ)題，問(wèn)題的背景為圓錐曲線與直線的位置關(guān)系.一般此類問(wèn)題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有距離、弦長(zhǎng)、兩直線夾角、多邊形面積、最值、定值或軌跡等.因此，改編本題時(shí)，可以這些知識(shí)點(diǎn)為問(wèn)題的基礎(chǔ)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑?

筆者在教學(xué)時(shí)，對(duì)例1進(jìn)行了如下改編：已知直線l：y=ax+b，橢圓C：x24+y22=1，且a+b=1，___________，則直線l的方程是什么？（要求學(xué)生在橫線處添加適當(dāng)?shù)臈l件.）

經(jīng)改編后，本題由一道封閉的問(wèn)題，變成了一道開放性問(wèn)題.這給學(xué)生的思維提供了更為廣闊的空間，讓學(xué)生的思維具有更大的彈性.每個(gè)層次的學(xué)生都能在自己的認(rèn)知基礎(chǔ)上添加適當(dāng)?shù)臈l件，從而獲得不同的結(jié)論.

學(xué)生在添加條件時(shí)，不僅會(huì)復(fù)習(xí)圓錐曲線與直線位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，還能形成良好的提問(wèn)能力.筆者在巡查時(shí)發(fā)現(xiàn)，也有少部分學(xué)生提出的問(wèn)題具有科學(xué)性的錯(cuò)誤，但在教師及時(shí)點(diǎn)撥下，學(xué)生通過(guò)思辨，不僅及時(shí)糾正了錯(cuò)誤，還糾正了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這也是促進(jìn)學(xué)生個(gè)人成長(zhǎng)的歷程.

對(duì)于例1的改編題，學(xué)生添加的條件主要有以下幾種：①直線l過(guò)原點(diǎn)；②直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)；③橢圓C與直線l相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，且|AB|=2；④弦AB的中點(diǎn)為M（1，1）；⑤弦AB的中點(diǎn)在y軸上；⑥AB的三等分點(diǎn)為點(diǎn)P（1，1）；⑦∠BOA為直角；⑧△ABC的面積是1.

本題經(jīng)開放性條件的補(bǔ)充后，看起來(lái)問(wèn)題難度并不大，但所蘊(yùn)含的信息量卻很多，所包含的知識(shí)也比較全面.教師在此時(shí)可借力打力，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)大家所添加的條件進(jìn)行思考，解題過(guò)程即是對(duì)圓錐曲線與直線位置關(guān)系進(jìn)行復(fù)習(xí)與建構(gòu)知識(shí)體系的過(guò)程.在此過(guò)程中，不論是條件的添加，還是問(wèn)題的解決，都以學(xué)生的自主探究為主，從真正意義上踐行了“以生為本”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式.

2 延伸試題內(nèi)容，深度開發(fā)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科.觀察高考試題，會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分試題都具有顯著的綜合性特征，往往一道題考查多方面的知識(shí).因此，在面對(duì)一道試題時(shí)，不能以題論題，而應(yīng)根據(jù)試題所呈現(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行前后知識(shí)的鏈接，以幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識(shí)體系［2］.編題前，應(yīng)觀察原題所包含的內(nèi)容，并根據(jù)原知識(shí)點(diǎn)延伸到與之相關(guān)的其他章節(jié)內(nèi)容，進(jìn)行深度開發(fā)與改變，幫助學(xué)生提高解決綜合性問(wèn)題的能力.

例2 如圖1，已知正四棱錐V-ABCD中，AB=2，且AB平面α，正四棱錐圍繞著AB任意旋轉(zhuǎn)，CD平行于平面α.求正四棱錐在平面α內(nèi)的投影面積的取值范圍.

根據(jù)本題所提供的信息，筆者鼓勵(lì)學(xué)生先進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，經(jīng)討論后再改編本題.要求改編后的問(wèn)題要涵蓋到其他章節(jié)的內(nèi)容，所提出的問(wèn)題不僅要有一定的寬度，還要具有一定的深度.

學(xué)生經(jīng)討論后，提出了以下幾種改編方法：

（1）如圖2所示，假設(shè)I為棱AD的中點(diǎn)，H為棱BC的中點(diǎn)，N為線段IV的中點(diǎn)，M為線段HV的中點(diǎn)，正四棱錐V-ABCD圍繞直線NM進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，點(diǎn)V在平面α上的射影是O，若底面ABCD的中心是V1，則|OV1|的最大值是多少？

（2）如果P為側(cè)面VAB上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)V的距離與到底面ABCD的距離相等，那么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為（? ）.

A.是橢圓的一部分

B.是雙曲線的一部分

C.是圓的一部分

D.是拋物線的一部分

（3）如圖3所示，若長(zhǎng)方體EFRT-E1F1R1T1內(nèi)接于正四棱錐V-ABCD，求該長(zhǎng)方體的最大值.

（4）在第（3）題的條件下，已知幾何體EFRT-E1F1R1T1是一個(gè)正方體，S為正方形E1F1R1T1及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線SE與底面E1F1R1T1所形成的角與直線SR和底面E1F1R1T1所構(gòu)成的角互余，則點(diǎn)S的運(yùn)動(dòng)軌跡為（? ）.

A.一點(diǎn)

B.線段

C.圓的一個(gè)部分

D.兩點(diǎn)

以上四種改編方法，適用于綜合復(fù)習(xí)課中的教學(xué).例2經(jīng)改編后，不僅突破了單元教學(xué)內(nèi)容的局限性，還延伸到了其他章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容.隨著問(wèn)題的拓展、深入，學(xué)生的思維也跟著試題變得更為廣泛、深刻.這些改編方法建立在合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，不僅體現(xiàn)了學(xué)生的自主意識(shí)，還有效地開發(fā)了學(xué)生的思維，為創(chuàng)新意識(shí)的形成奠定了基礎(chǔ).

3 衍變?cè)囶}價(jià)值，適當(dāng)推廣

面對(duì)一道試題，除了要觀察其產(chǎn)生的背景及與其相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，還要從問(wèn)題的來(lái)龍去脈來(lái)判斷本題是否值得推廣與衍變，是否能通過(guò)改編產(chǎn)生新的教學(xué)價(jià)值.

例如，我們可將題目中所呈現(xiàn)的定量改編為變量，將定點(diǎn)改編為動(dòng)點(diǎn)，將橢圓改編為雙曲線等.這種推廣方式，不僅能體現(xiàn)出改編的價(jià)值，還能有效地激發(fā)學(xué)生的想象能力，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生形成良好的發(fā)散思維，為核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

例3 不等式組y≤1+x，y≥2|x|-1在坐標(biāo)平面內(nèi)所表示的平面區(qū)域面積為（? ）.

A.22

B.83

C.2

D.223

本題為一道基礎(chǔ)的線性規(guī)劃問(wèn)題，所涉及到的直線y=1+x為定直線.若想讓本題變得更具價(jià)值，可以改編定直線這個(gè)條件，使它成為一條動(dòng)直線，此時(shí)問(wèn)題所表達(dá)的平面區(qū)域也會(huì)隨之變化.那么，在什么情況下可以使得平面區(qū)域轉(zhuǎn)化為封閉的三角形呢？

基于這個(gè)理念，學(xué)生經(jīng)討論，獲得如下問(wèn)題：

（1）在不等式組y≤1+kx，y≥2|x|-1中，當(dāng)k取何值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿切危?/p>

此問(wèn)所表達(dá)的變化的量為平面區(qū)域面積，而變化的面積有可能會(huì)產(chǎn)生最值.觀察并研究圖形，發(fā)現(xiàn)平面區(qū)域存在最小值的可能，但無(wú)最大值.由此，又聯(lián)想到一個(gè)新的問(wèn)題：

（2）不等式組y≤1+kx，y≥2|x|-1中，當(dāng)k取何值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積值最小？

此問(wèn)涉及到的知識(shí)點(diǎn)為，一條直線經(jīng)過(guò)一個(gè)特殊的定點(diǎn)（0，1）.若定點(diǎn)的位置發(fā)生改變，結(jié)論會(huì)發(fā)生怎樣的改變呢？譬如直線過(guò)點(diǎn)12，1，則可產(chǎn)生新問(wèn)題：

（3）若y≤1+kx-12，y≥2|x|-1，當(dāng)k取何值時(shí)，不等式組所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域面積值最??？

如果將特定的定點(diǎn)12，1改為（a，b），則又可出現(xiàn)新的問(wèn)題：

（4）若y≤b+k（x-a），y≥2|x|-1，且a，b滿足b≥2|a|-1，則k取何值時(shí)，不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積最小？

學(xué)生的思維容量隨著問(wèn)題的逐漸深入而擴(kuò)大，無(wú)需使用大量例題，即可快速提高教學(xué)效率.因此，將原題進(jìn)行推廣與衍變是提升學(xué)生思維深度與廣度的良好方式，也是提高學(xué)生綜合應(yīng)用能力的有效方法［3］.

總而言之，合理改編試題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題價(jià)值的提升，需在“以生為本”的基礎(chǔ)上，讓原題成為交流的媒介，通過(guò)對(duì)試題背景的觀察、知識(shí)點(diǎn)的延伸與推廣等方式，進(jìn)行合理改編.學(xué)生在萬(wàn)變不離其宗的試題中，逐漸深化對(duì)知識(shí)的理解，獲得良好的數(shù)學(xué)思想方法，為創(chuàng)新能力的形成與核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

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