提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的實(shí)踐探究

邢燕

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位，通過案例探究，分析教與學(xué)中的常見問題，梳理學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤的主要類型，提出針對(duì)性的解決策略以及提升學(xué)生運(yùn)算能力的操作方案，并對(duì)策略和方案的實(shí)踐進(jìn)行反思總結(jié)，在教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；實(shí)踐探究

1 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中常見的運(yùn)算問題

1.1 學(xué)生學(xué)習(xí)各類運(yùn)算方法時(shí)常見的問題

一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)運(yùn)算不夠重視，平時(shí)學(xué)習(xí)和練習(xí)中只強(qiáng)化思路訓(xùn)練，不重視運(yùn)算訓(xùn)練，認(rèn)為算錯(cuò)只是大意，只要注意就能避免，殊不知運(yùn)算也是講技巧和方法的，正確的運(yùn)算方法可以幫助你算得又快又準(zhǔn)，錯(cuò)誤的運(yùn)算會(huì)導(dǎo)致你總是掉坑.一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)運(yùn)算不夠認(rèn)真，出現(xiàn)看錯(cuò)數(shù)、算錯(cuò)數(shù)、計(jì)算不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)痊F(xiàn)象，導(dǎo)致最終答案錯(cuò)誤.這樣的運(yùn)算錯(cuò)誤大部分學(xué)生是歸為粗心，自認(rèn)為這題我會(huì)，只是不小心算錯(cuò)而已，下次小心就可以了.但事實(shí)上，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致的做事態(tài)度，避免“差之毫厘，謬以千里”.

1.2 教師教學(xué)各類運(yùn)算方法時(shí)常見的問題

首先，有些教師在教學(xué)過程中比較重視概念、定義等知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)通過概念、定義掌握問題的本質(zhì)，常忽略了概念、定義的掌握也需要練習(xí)來強(qiáng)化.而數(shù)學(xué)練習(xí)中大多需要運(yùn)算，只有運(yùn)算正確才能得到正確答案.其次，教師在教學(xué)中往往會(huì)重視提問的設(shè)計(jì)，分析解題思路，但會(huì)忽略解題過程中的運(yùn)算方法和運(yùn)算步驟的總結(jié)與歸納.最后，教師在教學(xué)中雖然強(qiáng)調(diào)了正確的運(yùn)算過程，但忽略了對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)的分析，導(dǎo)致學(xué)生總是會(huì)而不對(duì)，不能通過練習(xí)獲得成就感，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦心理，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣.

2 提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的策略

2.1 理解概念，夯實(shí)運(yùn)算根基

利用新授課幫助學(xué)生理解不同的運(yùn)算有不同的法則，但又有相通的體系.高中階段常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算有整式、分式、根式的運(yùn)算，指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)、向量的運(yùn)算，集合運(yùn)算，三角恒等變形，立體幾何體積、表面積、角和距離的運(yùn)算，排列組合與概率統(tǒng)計(jì)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列的運(yùn)算，等等.可以說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開運(yùn)算，但運(yùn)算前一定要深入理解知識(shí)的來龍去脈，熟練掌握概念、定理、公式.教師要引導(dǎo)學(xué)生將新學(xué)的概念與舊知識(shí)進(jìn)行比較，以加深理解，并鞏固復(fù)習(xí).只有正確理解概念，在運(yùn)算中才能注意到平方會(huì)增根、約分會(huì)漏解、對(duì)數(shù)函數(shù)要注意定義域等這些細(xì)節(jié)，才能在運(yùn)算中保持恒等變換.所謂運(yùn)算的基本知識(shí)和方法，就是明確每種運(yùn)算所適用的對(duì)象和范圍，理解這種運(yùn)算的數(shù)形關(guān)系，熟悉其逆用、變式及推廣.在教學(xué)中，教師要給出針對(duì)性的訓(xùn)練，以加深學(xué)生對(duì)概念的理解.例如，“三角函數(shù)恒等變換”中“二倍角公式”這一節(jié)的新課教學(xué)，推導(dǎo)出公式，簡單直接運(yùn)用后，就需要進(jìn)行公式的逆用、變形訓(xùn)練.

例1 求下列各式的值：

（1）sinπ12cosπ12；

（2）tan 22.5°1－tan 222.5°；

（3）cos4π12－sin4π12；

（4）cos 20°·cos 40°·cos 80°.

教師可根據(jù)基本概念、基本公式設(shè)計(jì)一些題目變式，以問題串形式給出，激發(fā)學(xué)生的思維和興趣，鼓勵(lì)他們解決復(fù)雜問題提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.這樣可以加深學(xué)生對(duì)公式的理解記憶，熟悉公式的不同形式，更好地運(yùn)用二倍角公式解決有關(guān)倍角、半角的問題，提高運(yùn)算的正確率.

2.2 優(yōu)化方法，明確運(yùn)算方向

教師在教學(xué)中要展示不同的解題方法，讓學(xué)生體會(huì)不同方法的運(yùn)算差異.對(duì)運(yùn)算過程中受挫的學(xué)生，教師應(yīng)及時(shí)幫助他們發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤，鼓勵(lì)并指導(dǎo)他們反思總結(jié)，改進(jìn)方法，明確運(yùn)算方向.同時(shí)，為學(xué)生提供多樣化的訓(xùn)練，包括不同難度和題型的題目，以幫助學(xué)生熟悉各種類型的數(shù)學(xué)運(yùn)算，培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力.例如，求解圓錐曲線中的最值問題，不僅需要運(yùn)算的基本功，還需要選擇合適的方法，才能簡化運(yùn)算，正確求解.

例2 已知橢圓Γ：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F1，F(xiàn)2構(gòu)成面積為2的正方形.（1）求Γ的方程；（2）如圖1所示，過右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，連接AO并延長，交Γ于點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值.

在例2的解題過程中會(huì)遇到幾處需要選擇正確策略便于簡化運(yùn)算的地方.首先，直線方程的選擇.直線方程斜截式的兩種形式——x＝my＋t，y＝kx＋b，選哪個(gè)運(yùn)算更簡單？通過比較會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果已知直線經(jīng)過的點(diǎn)在x軸上，則用前者運(yùn)算更簡單；如果已知直線經(jīng)過的點(diǎn)在y軸上，則用后者更簡單.其次，直線和橢圓聯(lián)立方程，代入消元后，直接求解會(huì)有根號(hào)和分式，用“設(shè)而不求，整體代換”思想可簡化運(yùn)算.再次，在求三角形的面積時(shí)，需要用到弦長公式——①|(zhì)AB|＝1＋k2|x1－x2|，②|AB|＝1＋1k2|y1－y2|（k≠0），選擇哪一個(gè)公式使運(yùn)算更簡單.既要看前面所設(shè)的方程，消元后得到的是關(guān)于x還是關(guān)于y的一元二次方程，也要看后面題目所求的是什么.最后，化簡后的式子怎樣求最值，可以利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求最值，也可以利用三角換元、圖形的幾何特征求最值.

不同背景的題目往往幾個(gè)方法都可以解決問題，但不同方法解決問題的難度是不同的，有些簡單直接，有些則比較繁瑣，這就需要優(yōu)化解題策略，選擇合適的運(yùn)算方法.總之，在教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生明確運(yùn)算方向，選擇合適的方法，促進(jìn)運(yùn)算能力的提高.

2.3 養(yǎng)成習(xí)慣，熟用運(yùn)算方法

教學(xué)中可利用專項(xiàng)訓(xùn)練提高學(xué)生的運(yùn)算能力，促使學(xué)生熟練掌握運(yùn)算方法，養(yǎng)成習(xí)慣.專項(xiàng)訓(xùn)練也稱為題組訓(xùn)練，該訓(xùn)練不是盲目的，而是有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行各個(gè)運(yùn)算專題的訓(xùn)練.明確的目標(biāo)可以有效引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，不做無用功，少走彎路，使學(xué)生在訓(xùn)練中學(xué)會(huì)運(yùn)算的通性通法，達(dá)到觸類旁通的效果.這種訓(xùn)練不能搞題海戰(zhàn)術(shù)，需要教師精挑細(xì)選有變式、有梯度的同類題.認(rèn)真研究高考真題，參考各地模擬題，可以直接歸類練習(xí)，還可以變換數(shù)字、角度進(jìn)行變式訓(xùn)練.通過對(duì)這類高質(zhì)量題的反復(fù)練習(xí)，歸納總結(jié)，糾錯(cuò)反思，有效提高學(xué)習(xí)效率的同時(shí)，也提高了針對(duì)這類題的運(yùn)算能力.學(xué)生在這樣的專題訓(xùn)練中，可以熟練掌握一類題的運(yùn)算方法，形成“肌肉記憶”，即養(yǎng)成習(xí)慣.在復(fù)習(xí)課中使用這種訓(xùn)練方法效率高，效果好.例如，在高三一輪復(fù)習(xí)中，講解“直線與圓相切”這一節(jié)時(shí)，有關(guān)切線長的最值問題，可以給出以下例題和變式.

例3 若P為直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，A為切點(diǎn)，求切線長的最小值.

變式1 已知P為直線y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則PA＼5PB的最小值為___________.

變式2 已知P為直線y=kx+1（k>0）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：（x-3）2+y2=1的切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，若弦AB長的最小值為2，則k的值為___________.

高考鏈接 （2020年新課標(biāo)Ⅰ卷＼5理）已知⊙M：x2+y2－2x－2y－2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB方程為___________.

深度的變式和高考鏈接，使學(xué)生熟悉這類題目的題設(shè)和所求以及解決這類問題的通性通法，再遇到此類問題時(shí)能快速找到最簡單的解題路徑，從而提高學(xué)習(xí)效率，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都能起到綜合提升的效果.

3 反思總結(jié)

兩年的實(shí)踐探究，我們發(fā)現(xiàn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力對(duì)不同的學(xué)生而言有很大的差異，個(gè)體的主觀能動(dòng)性對(duì)效果影響極大，唯有持之以恒方有成效.教師需要把數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)貫穿教學(xué)的始終，在教學(xué)中可以運(yùn)算作為紐帶建構(gòu)教學(xué)進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助運(yùn)算解決問題［1］，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)高中學(xué)生運(yùn)算思想和運(yùn)算能力的形成.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成，不僅需要教師的指引，更需要學(xué)生的積極參與，以形成自己的運(yùn)算習(xí)慣和運(yùn)算觀.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程［2］，需要一線教師長期不懈怠的探索和研究.因此，應(yīng)把數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到每一節(jié)課的教學(xué)中，落到實(shí)處.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：19-20.

［2］馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題［J］.課程＼5教材＼5教法，2015（9）：36-39.