對(duì)如何培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)解題能力的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

梁付元

在初中階段，教師習(xí)慣于精耕細(xì)作，對(duì)教材中的重難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)講解，對(duì)習(xí)題中重點(diǎn)題型進(jìn)行反復(fù)演練，久而久之，部分學(xué)生形成了死記硬背、機(jī)械套用的學(xué)習(xí)習(xí)慣.因初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，靠死記硬背和模仿可以解決大部分問(wèn)題，然高中階段，內(nèi)容增多，難度增大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了更高的要求，為此不少學(xué)生步入高中后常感覺(jué)不適，有的學(xué)生甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，造成了解題障礙.另外，受初中教學(xué)方法的影響，不少學(xué)生對(duì)教師形成了過(guò)度的依賴，其自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、合作探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣并未養(yǎng)成，處于一種被支配的學(xué)習(xí)模式.然高中數(shù)學(xué)課堂任務(wù)重，為了更好地完成教學(xué)目標(biāo)，教師會(huì)要求學(xué)生課前預(yù)習(xí)，但因?qū)W生的自學(xué)能力尚未形成，所以預(yù)習(xí)常限于走馬觀花地閱讀教材，并不能有針對(duì)性地提出問(wèn)題，因此學(xué)生上課時(shí)常感覺(jué)吃力，解決問(wèn)題的能力難以提升.可見(jiàn)，若要培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力，教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法都應(yīng)做出一些改變.

其實(shí)在高中階段，學(xué)生已擁有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，邏輯分析和邏輯推理能力也有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，如何引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，即提高解題能力已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn).那么，如何培養(yǎng)，如何提升呢？

1 如何培養(yǎng)

分析和解決問(wèn)題是發(fā)展高中生數(shù)學(xué)思維能力最有效的手段.要知道，解決一個(gè)問(wèn)題往往會(huì)涉及許多知識(shí)點(diǎn)，因此解題有助于完成知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu).同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)解題經(jīng)驗(yàn)不斷地總結(jié)概括，最終可形成解題能力.在實(shí)際教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力應(yīng)注意以下兩點(diǎn).

1.1 利用好課本資源

充分利用好課本例習(xí)題的示范功能，重視數(shù)學(xué)思想方法的抽象和概括，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等.教材是專家精心編寫的，具有啟發(fā)性、引領(lǐng)性和系統(tǒng)性，在培養(yǎng)解題能力時(shí)，一定要用好課本資源，切勿盲目求難、求新而偏離教材.

1.2 注重情境創(chuàng)設(shè)

高中階段大多數(shù)學(xué)題目較為抽象，學(xué)生容易出現(xiàn)畏難情緒，而創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境不僅可以淡化數(shù)學(xué)習(xí)題的抽象感，讓學(xué)生理解題意，而且可以較好吸引學(xué)生的注意力，有利于提升學(xué)生解題的積極性和解題信心.只有注意力被吸引了，學(xué)生才能更加主動(dòng)地參與到解題教學(xué)中來(lái)，這是提高學(xué)生解題能力的前提.其實(shí)解題過(guò)程就是一場(chǎng)心理戰(zhàn)，需要擁有必勝的決心，為此在數(shù)學(xué)教學(xué)中有必要通過(guò)情境來(lái)提高學(xué)生的解題積極性和解題信心.

2 如何提高

2.1 提高審題能力

審題是解題的關(guān)鍵.只有正確審題，才能全面掌握已知條件、挖掘出隱含信息和設(shè)問(wèn)要求，從而為問(wèn)題解決打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).審題影響和制約著解題能力的提升，因此若要提高學(xué)生的解題能力需先從學(xué)生的審題能力入手.根據(jù)問(wèn)題反饋容易發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)錯(cuò)解的主因就是學(xué)生審題不清，沒(méi)有弄清題意.因此，審題必須要細(xì)致，要知道已知是什么，求的是什么，會(huì)用到哪些知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)要搞清已知條件和所求問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而搞清解題方向，形成解題思路.教師在日常教學(xué)中要注重審題能力的培養(yǎng)，使學(xué)生可以靈活應(yīng)用審題技巧快速找到解題突破口，快速地解答問(wèn)題.在教學(xué)中，可以開展專項(xiàng)練習(xí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、合情猜想與合情推理能力，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸提取出隱含于題設(shè)中的隱蔽條件，提高解題效率.

2.2 提升運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)解題離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)是高中生所必備的一項(xiàng)基本技能.然在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不強(qiáng)，很多題目雖然已經(jīng)形成了解題思路，但卻在計(jì)算時(shí)受阻，最終未能順利求解.在教學(xué)中，有的教師為了多講題，往往引導(dǎo)學(xué)生找到解題切入點(diǎn)，形成解題思路后就急于講解下一個(gè)問(wèn)題.因此，很多學(xué)生片面地認(rèn)為解題時(shí)只要形成思路就可以了，沒(méi)有必要解出來(lái)，結(jié)果在考試時(shí)栽跟頭.為此，在日常教學(xué)中，教師有必要對(duì)學(xué)生加大運(yùn)算能力的培養(yǎng)，做到運(yùn)算準(zhǔn)確、熟練、合理，克服只動(dòng)腦不動(dòng)手的壞習(xí)慣.

例1 橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)52，-32，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

看到例1后，很多學(xué)生不屑一顧，認(rèn)為問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單.根據(jù)已知可以判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，為此設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2，于是有a2-b2=4，另外將點(diǎn)52，-32代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得到另外一個(gè)關(guān)于a，b的方程，兩方程聯(lián)立即可求解.學(xué)生認(rèn)為只要運(yùn)算的時(shí)候認(rèn)真一點(diǎn)就沒(méi)問(wèn)題了，然在解方程組時(shí)很多學(xué)生卻因運(yùn)算困難而半途而廢.

在數(shù)學(xué)解題中，不少看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題其運(yùn)算并不簡(jiǎn)單，為此在解題訓(xùn)練時(shí)一定要關(guān)注解題的完整性，關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng).

2.3 提升思維活力

數(shù)學(xué)問(wèn)題是靈活多變的，即使是同一個(gè)問(wèn)題，其思考的角度不同也可能會(huì)有不同的解法.然在實(shí)際解題中，受思維定勢(shì)的影響，學(xué)生的多角度觀察和分析能力并沒(méi)有得到良好的發(fā)展，致使解題思路單一，當(dāng)思維受阻時(shí)不能靈活調(diào)整解題策略，最終影響解題效果.為此，在教學(xué)中，應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造一定的條件，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考和解決問(wèn)題，從而對(duì)問(wèn)題形成更加全面、深刻的認(rèn)識(shí).這樣既能發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能優(yōu)化解題方案，有助于解題能力的提升.

例2 已知x2+y2=9，求2x+y的最大值.

解法1：局部換元法.

令z=2x+y，則y=z-2x，將其代入x2+y2=9中，可得x2+（z-2x）2=9.展開后化簡(jiǎn)，得5x2-4zx+z2-9=0.此方程有解，則Δ=（-4z）2-4×5×（z2-9）≥0，即z2≤45，解得-35≤z≤35.所以2x+y的最大值為35.

解法2：三角換元法.

令x=3cos θ，y=3sin θ，θ∈［0，2π］，

則2x+y=6cos θ+3sin θ=35sin（θ+φ），其中tan φ=2，故當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，2x+y取最大值35.

以上兩種解法是解決此類問(wèn)題的常規(guī)思路，學(xué)生能夠理解并掌握以上解法已經(jīng)足夠了，但為了拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探究.

解法3：數(shù)形結(jié)合法.

令2x+y=z，作與直線l：2x+y=0平行的直線，若使目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取最值，則直線與圓x2+y2=9相切.于是可設(shè)與直線l平行的圓的切線方程為2x+y+C=0，則|2×0+0+C|22+12=3，得C=±35，所以2x+y的最大值為35.

當(dāng)然還可以引導(dǎo)學(xué)生從目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)出發(fā)，聯(lián)想數(shù)量積，通過(guò)構(gòu)造向量求最值.令m=（2，1），n=（x，y），那么2x+y=m·n≤|m||n|=5×3=35.其實(shí)，應(yīng)用構(gòu)造向量法求函數(shù)最值，簡(jiǎn)潔巧妙，是一個(gè)非常好的解題方法.

這樣，通過(guò)“多解”不僅優(yōu)化了學(xué)生的解題方案，而且有效地溝通了各種數(shù)學(xué)知識(shí)，優(yōu)化了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)；同時(shí)也開闊了學(xué)生的視野，培養(yǎng)了思維的靈活性，有助于分析和解決問(wèn)題能力的提升.

2.4 注重解后反思

在日常教學(xué)中，教師需多鼓勵(lì)并給學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行總結(jié)和反思，進(jìn)而將解題方法、解題策略轉(zhuǎn)化為解題經(jīng)驗(yàn)，最終形成解題能力.同時(shí)，通過(guò)反思，將解一道題的經(jīng)驗(yàn)推廣至解一類題中，進(jìn)而提升解題能力.

例3 已知函數(shù)f（x）=2x+1+1-x，求該函數(shù)的最大值.

解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤-12≤x≤1，f′（x）=12x+1-121-x.

令f′（x）≥0，則-12≤x≤12，即函數(shù)f（x）在-12，12上單調(diào)遞增.

令f′（x）≤0，則12≤x≤1，即f（x）在12，1上單調(diào)遞減.

故f（x）的最大值為f12=322.

利用常規(guī)思路求解后，再鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)例3進(jìn)行反思，重新觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)除應(yīng)用上面的求導(dǎo)思路外，還可以應(yīng)用柯西不等式求解.對(duì)于一些基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法解決問(wèn)題容易讓學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒，尤其例3求導(dǎo)后還需進(jìn)行討論，更容易造成思維障礙.為此，有必要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思，尋找另外一種解題方案.

由（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2），得ax+by≤（a2+b2）（x2+y2），當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)等號(hào)成立.

于是有2x+1+1-x=2×x+12+1×1-x≤［（2）2+12］·x+12+（1-x）=322，當(dāng)且僅當(dāng)2×1-x=1×x+12，即x=12時(shí)等號(hào)成立.

在平時(shí)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)?！盎仡^看”，對(duì)審題過(guò)程、解題方法進(jìn)行再思考，這樣不僅可以深化對(duì)知識(shí)的理解，有時(shí)還可以收獲意外的驚喜.例如，對(duì)例3重新審題，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)符合柯西不等式的求解條件，因而發(fā)現(xiàn)了另外的解題方法，優(yōu)化了解題方案，提高了解題效率.

總之，學(xué)生解題能力的提升需要教師有目的、有計(jì)劃、有針對(duì)性地進(jìn)行培養(yǎng)，為此教師要充分發(fā)揮好其主導(dǎo)者的作用，有效引導(dǎo)和拓展，讓學(xué)生的解題能力在觀察、探究、反思中不斷提升.