基于數(shù)學(xué)理解 透視學(xué)生問題 引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐
——從一道尺規(guī)作圖題的檢測分析說起

黃賢明, 周 煉

(1.高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校,江蘇 蘇州 215129;2.泰州第二中學(xué)附屬初中,江蘇 泰州 225399)

1 問題提出

例1在一次八年級的校級階段性測試中,筆者設(shè)計(jì)了如下問題:

如圖1,按下列要求完成尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不寫作法).

圖1

1)在邊AC上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到邊AB,BC的距離相等;

2)在邊BC上找一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到點(diǎn)A,B的距離相等.

此題考查的是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》(八年級上冊)中“軸對稱圖形”一章的內(nèi)容,其設(shè)計(jì)目的在于考查學(xué)生能否運(yùn)用角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理,在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上利用尺規(guī)繪制出目標(biāo)圖形,屬于基礎(chǔ)知識與基本能力的考查.此題滿分4分,具體評分標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.經(jīng)檢測,此題的難度為0.41,區(qū)分度為0.11,平均分為1.65分,得分率為41.27%.這樣的數(shù)據(jù)與測試前的預(yù)估得分水平差異較大,甚至個(gè)別班級還出現(xiàn)了0.77分的平均分,這引發(fā)了筆者對尺規(guī)作圖教學(xué)的審視與反思.

表1 試題的評分標(biāo)準(zhǔn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對于尺規(guī)作圖的要求是:了解作圖的道理,保留作圖的痕跡,不要求寫出作法.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下統(tǒng)稱《新課標(biāo)》)中將尺規(guī)作圖的要求修訂為“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程,……理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法”.由此可見,《新課標(biāo)》更注重學(xué)生對尺規(guī)作圖原理與方法的理解,因此,教師的教學(xué)自然也應(yīng)從“教作圖”向“促理解”轉(zhuǎn)變.

2 基于數(shù)學(xué)理解對尺規(guī)作圖水平的分析

2.1 數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

理解是教育最本質(zhì)的追求.自20世紀(jì)90年代以來,指向理解的教學(xué)得到了國際社會的普遍認(rèn)同.在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域,數(shù)學(xué)理解一直都是研究者關(guān)注的焦點(diǎn),也是國際數(shù)學(xué)教育研究的重要主題之一.數(shù)學(xué)理解是指學(xué)生經(jīng)歷了對數(shù)學(xué)知識的探究活動,獲得了對其本質(zhì)及知識外延的認(rèn)識,形成數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),并能夠隨時(shí)提取與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識用來解決數(shù)學(xué)問題[1].《新課標(biāo)》將“理解”視為行為動詞,表述為“描述對象的由來、內(nèi)涵和特征,闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系”,這與數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵有相通之處,說明以數(shù)學(xué)理解的視角研究初中數(shù)學(xué)教學(xué)是合理且符合教育改革趨勢的.

2.2 數(shù)學(xué)理解的水平劃分

由于學(xué)生的個(gè)體差異性及教師不同的教學(xué)方法,對于同一個(gè)數(shù)學(xué)對象而言,不同學(xué)生所獲得的數(shù)學(xué)理解水平應(yīng)當(dāng)是不盡相同的.數(shù)學(xué)理解是一個(gè)動態(tài)、連續(xù)、螺旋式、綜合化發(fā)展的過程.顧泠沅等在兩次大樣本調(diào)查中,初步確定了數(shù)學(xué)理解水平的基本框架,徐彥輝通過進(jìn)一步的調(diào)查研究確定了數(shù)學(xué)理解水平劃分,即記憶性理解水平、解釋性理解水平和探究性理解水平,并提出探究性理解水平是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)追求[2].李春雷等在先前研究的基礎(chǔ)上,經(jīng)過文獻(xiàn)的梳理與概括,提出了數(shù)學(xué)理解水平的新框架.框架中將數(shù)學(xué)理解水平劃分為認(rèn)知維度和情感維度,其中認(rèn)知維度包括工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解三大水平層次,情感維度包括文化性理解水平層次[3].具體認(rèn)知維度的數(shù)學(xué)理解水平內(nèi)涵如表2所示.

表2 數(shù)學(xué)理解的水平劃分及其內(nèi)涵

2.3 尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)理解水平劃分

尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī),在有限次數(shù)的前提下,解決平面幾何的作圖問題.尺規(guī)作圖是古希臘數(shù)學(xué)探究的重要課題,也是歐式平面幾何中的核心內(nèi)容.尺規(guī)作圖的特點(diǎn)有3個(gè):1)操作性強(qiáng),便于學(xué)生的簡單模仿;2)邏輯性強(qiáng),需要學(xué)生理解作圖原理與方法;3)靈活多樣,同一問題可能會有多種繪圖方法,并具有培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力、提升幾何直觀水平、發(fā)展邏輯推理能力等教育價(jià)值.由此看來,尺規(guī)作圖本身蘊(yùn)含了豐富的知識技能與素養(yǎng)水平,與數(shù)學(xué)理解的水平劃分極為適配.筆者結(jié)合學(xué)生的試題作答情況,在李春雷提出的數(shù)學(xué)理解水平框架的基礎(chǔ)上,增添了“未達(dá)到理解的水平”,并得出以下5種有關(guān)尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)理解水平.

水平1未達(dá)到理解的水平.處于此水平的學(xué)生幾乎不知道尺規(guī)作圖的含義,不了解尺規(guī)作圖的原理與方法,不會使用尺規(guī)進(jìn)行作圖,一般表現(xiàn)為不作圖,或在腦海中有模糊的作圖輪廓,能夠大致臨摹出圖形的一些要素而隨意亂作.例如,答題區(qū)域要么空白,要么只標(biāo)出兩個(gè)點(diǎn),很難發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖的痕跡.有學(xué)生依稀記得角平分線和垂直平分線的大致樣貌,能畫出形如“×”的圖案,體現(xiàn)出了一條直線連接兩個(gè)交點(diǎn)的大致特征,但明顯是徒手繪制的,有弄虛作假之嫌(如圖2).

圖2 圖3

水平2工具性理解水平.處于此水平的學(xué)生憑借死記硬背與機(jī)械模仿能作出一些不符合題意的圖形,雖然初步了解了尺規(guī)作圖的原理與方法,但未形成作圖邏輯,無法準(zhǔn)確理解作圖要求.在本案例中,學(xué)生雖然能夠用尺規(guī)繪制角平分線或垂直平分線,但并未真正理解、掌握其性質(zhì),導(dǎo)致繪制出的圖形與目標(biāo)圖形差異較大,甚至有學(xué)生認(rèn)為到邊AB與BC的距離相等的點(diǎn)在線段AC的垂直平分線上(如圖3),這顯然混淆了角平分線與垂直平分線的性質(zhì).

水平3關(guān)系性理解水平.處于此水平的學(xué)生基本掌握了尺規(guī)作圖的原理與方法,形成了關(guān)于尺規(guī)作圖的知識邏輯結(jié)構(gòu),能夠正確概括并理解題目中的作圖要求,并規(guī)范地作出目標(biāo)圖形.例如,學(xué)生能夠用尺規(guī)畫出線段AB的垂直平分線和∠ABC的平分線,并準(zhǔn)確標(biāo)出點(diǎn)P,Q.

水平4創(chuàng)造性理解水平.處于此水平的學(xué)生是基于關(guān)系性理解水平,更為深刻地掌握尺規(guī)作圖的原理與方法,并能進(jìn)一步探索出知識關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)的創(chuàng)新作法.例如,學(xué)生能依據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作線段垂直平分線(如圖4),則認(rèn)為其達(dá)到了創(chuàng)造性理解水平.受限于此題的問題設(shè)置,很少有學(xué)生探索創(chuàng)新型畫法,故此題暫不研究該水平的達(dá)成.

圖4

水平5文化性理解水平.處于此水平的學(xué)生獲得了對尺規(guī)作圖背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識,能夠簡述尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)史發(fā)展脈絡(luò)、感受尺規(guī)作圖的美學(xué)意蘊(yùn)、感悟尺規(guī)作圖的人文價(jià)值.在此題的問題設(shè)置中,文化性理解也未曾體現(xiàn),故此題暫不研究該水平的達(dá)成.

3 基于數(shù)學(xué)理解對學(xué)生問題的分析

以下將例1中兩道小題的作答情況各劃分為了5種錯誤類型,并統(tǒng)計(jì)了每種錯誤類型的具體人數(shù)與占總?cè)藬?shù)比(如表3).從表格中可以發(fā)現(xiàn),能準(zhǔn)確使用尺規(guī)作圖的學(xué)生人數(shù)與完全不會使用尺規(guī)作圖的學(xué)生人數(shù)相當(dāng),并且在兩道小題中都占到了40%左右.由此可見,處于未達(dá)到理解的水平與關(guān)系性理解水平的學(xué)生基數(shù)最大,那么剩下約20%的學(xué)生都處于工具性理解水平,而且主要錯因是認(rèn)為在邊AC,BC上找點(diǎn)就等價(jià)于畫這兩條線段的垂直平分線.經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn),學(xué)生整體對尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)理解水平不高,大多停留于水平2及以下,反映出學(xué)生對于問題的抽象理解能力不強(qiáng),未形成尺規(guī)作圖的知識體系,知識碎片化、解題機(jī)械化現(xiàn)象嚴(yán)重等教學(xué)問題.

表3 學(xué)生試題回答情況

4 教學(xué)啟示

4.1 注重四基:由未達(dá)到理解的水平向理解的水平邁進(jìn)

法國教育家拉伯雷指出,沒有經(jīng)過理解的知識等于靈魂的廢物.這揭示了指向理解的教學(xué)是教育的應(yīng)有之義.但“冰冷”的數(shù)據(jù)反映了一個(gè)不爭的事實(shí)——40%以上的學(xué)生對尺規(guī)作圖未達(dá)到理解的水平,與《新課標(biāo)》所提出“理解尺規(guī)作圖原理與方法”的要求相差甚遠(yuǎn),也反映了學(xué)生的“四基”水平較為薄弱.處于未達(dá)到理解水平的部分學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣較差、學(xué)習(xí)興趣不強(qiáng)、學(xué)習(xí)態(tài)度不端正、缺乏一定的自主性.面對這類學(xué)生,教師要注重個(gè)別輔導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生主動運(yùn)用尺規(guī)作圖的意愿,形成整潔規(guī)范的作圖習(xí)慣,并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí),幫助學(xué)生獲得對尺規(guī)作圖的初步認(rèn)識,促進(jìn)學(xué)生逐漸形成對尺規(guī)作圖的工具性理解.另外,也有一部分處于未達(dá)到理解水平的學(xué)生雖然學(xué)習(xí)態(tài)度端正,但受限于自身的認(rèn)知水平與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),僅形成了對尺規(guī)作圖的模糊記憶,知道尺規(guī)作圖的大致“樣子”,卻未真正習(xí)得尺規(guī)作圖的方法.面對這類學(xué)生,教師應(yīng)在教學(xué)中向其展示尺規(guī)作圖的規(guī)范過程,耐心地敦促學(xué)生模仿與實(shí)踐,引導(dǎo)他們大膽說出自己的作圖依據(jù)、表達(dá)自己的見解,之后教師再及時(shí)給予積極正向的評價(jià)與反饋,以實(shí)踐操作促進(jìn)學(xué)生形成對尺規(guī)作圖方法的工具性理解.

4.2 追源溯理:從工具性理解過渡為關(guān)系性理解

工具性理解水平僅回答了“尺規(guī)作圖是什么、怎么做”的問題.在實(shí)際檢測中,有20%的學(xué)生明明會作角平分線和垂直平分線,但由于曲解題意錯畫了邊或角,最終導(dǎo)致完全失分.這反映了僅處于工具性理解水平仍不足以解決尺規(guī)作圖問題,學(xué)生應(yīng)該在“會作圖”的基礎(chǔ)上理解作圖原理與方法,形成尺規(guī)作圖的知識體系,知其然又知其所以然.因此,對于尺規(guī)作圖的教學(xué),教師應(yīng)改變教學(xué)理念,深入研究尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì),選擇合適的素材與情境,促進(jìn)學(xué)生在幾何直觀中自然生成尺規(guī)作圖的方法,在邏輯推理下形成對尺規(guī)作圖原理的理解,并在系統(tǒng)總結(jié)中構(gòu)建尺規(guī)作圖的知識體系,推進(jìn)工具性理解向關(guān)系性理解的過渡.以角平分線的尺規(guī)作圖教學(xué)為例,該內(nèi)容安排在判定全等三角形的條件(邊邊邊)之后,是“邊邊邊”判定全等的基本應(yīng)用.教師可以創(chuàng)設(shè)“用角尺平分一個(gè)角”的生活情境,啟發(fā)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)的語言來解釋生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,闡明角平分線作圖的基本原理,初步勾勒出角平分線的作圖學(xué)理脈絡(luò).在回顧尺規(guī)的功能后,緊接著以合作交流或自主探索的方式讓學(xué)生想象圖形全貌、構(gòu)思作圖過程、設(shè)計(jì)作圖路徑,并將實(shí)操與構(gòu)想進(jìn)行比較,辨析所作圖形與作圖原理是否一致,最后自主概括并表達(dá)作圖方法(如圖5).

圖5

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了由原理出發(fā)生成作圖方法的探究思路,構(gòu)建了原理與方法的內(nèi)在聯(lián)結(jié),促進(jìn)學(xué)生在理解作圖原理的基礎(chǔ)上生成作圖方法,在作圖方法的實(shí)踐中感悟作圖原理,最終便能達(dá)到“知法明理、法理交融”的境界,由工具性理解進(jìn)階為關(guān)系性理解,實(shí)現(xiàn)“會作圖”向“理解作圖”轉(zhuǎn)變.

總之,教師在教學(xué)時(shí)不能把尺規(guī)作圖看成獨(dú)立的單元,應(yīng)建立大概念將尺規(guī)作圖與所對應(yīng)的幾何內(nèi)容進(jìn)行知識的聯(lián)結(jié).正如例1的第1)小題,學(xué)生倘若未掌握角平分線的性質(zhì),不能將問題轉(zhuǎn)化為“作∠ABC的平分線,并交AC于點(diǎn)P”,就不能想象出大致的繪圖結(jié)果,從而產(chǎn)生了“在AC上找一點(diǎn)P就是畫線段AC的垂直平分線”的錯誤認(rèn)識(如圖3).因此,在學(xué)生理解尺規(guī)作圖的原理與方法的基礎(chǔ)上,教師可以通過思維導(dǎo)圖、知識框架等形式幫助學(xué)生整體構(gòu)建尺規(guī)作圖知識邏輯體系,形成解決尺規(guī)作圖問題的基本思路,最終實(shí)現(xiàn)關(guān)系性理解水平的達(dá)成.

4.3 價(jià)值引領(lǐng):以教學(xué)滲透創(chuàng)新性與文化性理解

在傳統(tǒng)教學(xué)中,尺規(guī)作圖往往被視為一項(xiàng)技能,很多教師認(rèn)為只需講授作圖方法,學(xué)生再加以操作、訓(xùn)練即可達(dá)成教學(xué)目標(biāo),這將導(dǎo)致學(xué)生在尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)中靈活性不強(qiáng)、創(chuàng)新性不夠的教學(xué)弊端.雖然在本次檢測中,有40%左右的學(xué)生能得到滿分,已經(jīng)達(dá)到了關(guān)系性理解的水平,但隨著《新課標(biāo)》關(guān)于尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的修訂,其考查水平正逐步提高.在2022年的數(shù)學(xué)中考中,尺規(guī)作圖因內(nèi)核簡約、內(nèi)涵豐富的特征而受到各省市中考命題者的青睞.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),有一部分地區(qū)甚至將尺規(guī)作圖作為中考試卷最后一題的最后一小題以考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)水平.這些中考試題不僅僅圍繞尺規(guī)作圖的方法與技能進(jìn)行考查,其更關(guān)注以尺規(guī)作圖為中心的數(shù)學(xué)知識邏輯的構(gòu)建與延伸,具有探究性、靈活性、綜合性等特點(diǎn).因此,可以得出結(jié)論:尺規(guī)作圖的考查在當(dāng)今教學(xué)改革下已不再停留于關(guān)系性理解水平,有向創(chuàng)新性、文化性理解水平發(fā)展的趨勢[4].因此,在教學(xué)實(shí)踐中,教師可以設(shè)計(jì)開展尺規(guī)作圖的綜合實(shí)踐活動,引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建尺規(guī)作圖的知識邏輯,讓學(xué)生以整體性、體系化的視角思考尺規(guī)作圖問題.例如,教師可以設(shè)計(jì)如下問題.

問題1已知線段MN,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為直角邊的等腰Rt△MNP.

問題2已知線段MN,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰Rt△MNQ.

問題3已知扇形OAB,請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧,使扇形的面積被這條圓弧平分.

在3個(gè)問題的依次呈現(xiàn)與解決中,教師應(yīng)鼓勵學(xué)生開拓思路,聯(lián)想等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形面積公式等知識;在數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀等核心素養(yǎng)的引領(lǐng)下,構(gòu)想繪圖全貌、構(gòu)思作圖思路、創(chuàng)新作圖方法,獲得問題解決的基本思路;并在總結(jié)回顧中形成對尺規(guī)作圖的基本原理與方法的新認(rèn)識、新感悟,在搭建思維支架、知識環(huán)環(huán)相扣、學(xué)生自主嘗試中完成這一系列的問題.再如,教師可以圍繞銹規(guī)(只能畫出定長半徑的圓規(guī))作圖問題開展綜合實(shí)踐活動,思考銹規(guī)與圓規(guī)的異同,探索用銹規(guī)能否替代圓規(guī)解決先前的尺規(guī)作圖問題,學(xué)生經(jīng)歷探究思考與動手實(shí)踐,形成銹規(guī)作圖的新方法與新思路,并以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言加以說明.然后展示我國數(shù)學(xué)家張景中、侯曉榮等人的銹規(guī)作圖研究成果,感悟銹規(guī)作圖中的思想方法之美.

最后,教師也不應(yīng)忽視尺規(guī)作圖的文化育人價(jià)值.在尺規(guī)作圖問題的思考中,引導(dǎo)學(xué)生感悟作圖背后蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想;在尺規(guī)作圖的繪制過程中,提升學(xué)生動手操作能力的同時(shí),進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感受尺規(guī)作圖的簡潔美、奇異美、精確美、嚴(yán)謹(jǐn)美,感悟先賢的獨(dú)特智慧,彰顯尺規(guī)作圖的文化價(jià)值[5].因此,尺規(guī)作圖不應(yīng)局限于知識本身,更應(yīng)以一種開放、多元的視角,讓學(xué)生在尺規(guī)作圖的教學(xué)活動中發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法、涵養(yǎng)數(shù)學(xué)精神品質(zhì),促進(jìn)學(xué)生文化性理解的形成與發(fā)展,最終促使學(xué)生對知識的數(shù)學(xué)理解向發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化.