數學一般觀念教學的內涵、策略與案例

黃暉明

(集美區(qū)灌口中學,福建 廈門 361023)

數學知識是一個系統(tǒng)化的邏輯體系.新教材的編排具有科學、嚴密、整體的邏輯結構,用于統(tǒng)領教材編排的邏輯便是一般觀念,它是單元整合的依據和標準.

1 數學一般觀念的內涵

一般觀念是數學大概念的一種表現形式,它是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括,是對數學對象的定義方式以及幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答,是研究數學對象的方法論,對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發(fā)現和提出數學問題等都具有指路明燈的作用[1].

一般觀念可以根據其所在課程、單元、課時位置分層級;根據教學功能不同,還可以分為指向內容“是什么”的一般觀念,如幾何圖形性質是什么(即圖形的形狀特征、大小度量及位置關系)等;指向內容“怎么學”的一般觀念,如“借助單位圓研究三角函數”“利用坐標法研究幾何對象”“通過運算研究數列問題”“研究幾何圖形的性質可由形到數(通過觀察畫出的圖象,得到函數一些性質,再通過代數加以驗證)或由數到形(進行代數變換,將解析式的某些特征翻譯為圖象性質)”等;指向內容所蘊涵數學基本思想的一般觀念,如“三角函數性質是圓幾何性質(主要是對稱性)的直接反映”“向量是自由的,是溝通幾何與代數的橋梁”“空間問題平面化”“函數思想統(tǒng)領方程、不等式”“導數是研究函數性質的工具”等.由上可知,一般觀念具有數學基本思想和具體研究策略雙重屬性,反映的是專家的一種思維方式,能將離散的知識結構化、內隱的方法系統(tǒng)化,能統(tǒng)領教學內容的組織,引領課堂教學的有序展開.

一般觀念是對教材知識的高度凝練,它不僅要讓教師具備專家思維,同時也要讓學生具備學者思維.通過教材中一般觀念的提取與理解,有助于教師豐富前見,擴大教材理解的視域.眾多的一般觀念就構成了數學教學的說明書、指導手冊,幫助教師整體地理解教材思想意圖,把握教學內容價值.

2 一般觀念教學的優(yōu)勢

一般觀念教學是指在一般觀念的思維引領下展開的教學設計與課堂實踐.核心素養(yǎng)形成的前提是具備一般觀念,一般觀念教學是以培養(yǎng)學生解決真實問題的學者思維為核心目標的教學.具體就是先將散布在教材中“具有關聯性”的知識按“是什么”的一般觀念組織在一起,形成單元教學內容;然后在“怎么學”“數學基本思想方法”的一般觀念指導下確定教學思路、設計教學流程、開展教學活動.

“關聯”和“遷移”是一般觀念教學的基本特征,也是一般觀念教學實踐的優(yōu)勢所在.一般觀念統(tǒng)攝和組織教學內容時強調知識的內在邏輯性,突出一般觀念的串聯作用,根據關聯性將“點”狀的教學內容迭代累積連接成知識單元“線”,單元與單元之間的橫向關聯就編織成課程“網”,再加上內隱性的方法關聯共同結成知識的認知“網”,下沉到課堂教學中,可以使課時與課時之間形成相互關聯、邏輯連貫的整體;一般觀念教學的實踐是在高通路遷移(當新任務與原任務不相似時)的機制(具體—抽象—具體)中,從很多具體案例中抽象出一個原理,再用這個原理指導下一次任務的完成,在知識、方法的遷移過程中反復體驗一般觀念對問題解決的思維引領作用,形成反映專家思維的認知結構,幫助學生構建出一種解決相關問題的思維支架,實現自主解決現實問題的最終目標.

3 數學一般觀念教學的實踐策略

一般觀念具有內隱性,在具體對象間的串聯作用以及在解決問題中的思維引領作用并不顯而易見,因此一般觀念的培養(yǎng)不可能一蹴而就,而是要經歷從接觸到熟悉、領悟再到自覺運用的“生長”過程.一般觀念教學主要涉及一般觀念的提取、生成和驅動這3個關鍵環(huán)節(jié).

3.1 內容深度解析,提煉一般觀念

從內容本身所處的知識模塊及所蘊涵的基本數學思想方法分析,提煉出一般觀念,是一般觀念教學的前提.以一元線性回歸模型建構為例,其內容本身描述的是兩個隨機變量之間關系的最簡單的回歸模型,包含建模(模型的選擇)、解模(模型參數的求解)、驗模(檢驗和完善模型)、用模(分析和解決問題)的過程,提煉出“數學建?！眴卧囊话阌^念,并在它的引領下組織單元內容;在研究隨機問題的重要思想(將一個隨機變量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機量之和,只要控制次要的隨機量在一定的范圍之內,那么隨機問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結果)引導下建立數學模型,這便是課時一般觀念“研究隨機問題的思想”;在尋找最合適的直線時,用到的是最小二乘法的數學優(yōu)化技術(原理是通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配),這也是課時一般觀念.教師可在上述“是什么”一般觀念的引領下組織本單元教學內容并安排3個課時教學內容(一元線性回歸模型、一元線性回歸模型參數的最小二乘估計、一元線性回歸模型的應用).

3.2 挑戰(zhàn)性學習任務,生成一般觀念

專家思維常常鑲嵌在具體情境之中,層次越高的一般觀念需要更多的具體案例來支撐.“具體—抽象—具體”是一般觀念的一種常用生成機制,而挑戰(zhàn)性學習任務是承載一般觀念生成的重要依托.

挑戰(zhàn)性學習任務的設置應基于“兩個過程的合理性”,即知識發(fā)展過程的合理性、學生認知過程的合理性.為什么要假設E(e)=0,D(e)=σ2?一元線性回歸模型是怎么想到的?用什么量來定量描述所作出的直線與各散點整體上的接近程度?什么樣的量可以科學合理地用來表示散點到直線的“距離”?上述問題是學生學習過程中的挑戰(zhàn)性難題,主要還是因為學生在研究方法、思想方法層面知識準備不足導致的.在“怎么學”“數學基本思想方法”一般觀念思維引領下,考量“兩個過程合理性”后設計螺旋上升的挑戰(zhàn)性學習任務:尋找教材案例中影響兒子身高的其他因素(理解隨機誤差e)、利用圖形探尋隨機誤差e的特征(E(e)=0,D(e)=σ2)、構建模型刻畫兩個具有正線性相關關系的隨機變量;構造統(tǒng)計量來定量描述所作出的直線與各散點整體上的接近程度,尋找可以科學合理地用來表示散點到直線的“距離”的量,對構建的模型進行擬合效果分析.

3.3 問題鏈“鋪路”,滲透一般觀念

問題鏈是一般觀念的“門窗”,為一般觀念的滲透“鋪路”,并提供脈絡化探索路徑.數學問題鏈是根據教學內容及所蘊含的思維脈絡,立足學生認知水平而設計的具有系統(tǒng)性、層次性、結構化的問題序列.它由橫向的主干問題及縱向的追問組成,以整體到局部的結構化思想為指導.教師應融合學習任務及所蘊含的思維主線而設置主干問題,搭建問題鏈整體框架,構建思維層次;同時細化局部,設計追問,延展思維深度.主干問題是驅動數學知識發(fā)生、發(fā)展過程中的核心問題;追問是遵循學生認知過程、聯結主干問題間的思維跨度、指引學生深入思考的重要問題[2].

4 數學一般觀念教學的典型案例

以一元線性回歸模型建構(2個課時)教學環(huán)節(jié)及問題鏈設計為例.

4.1 第1課時教學環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1創(chuàng)設情境,提出問題.

主干問題1根據成對樣本數據的散點圖和樣本相關系數r≈0.886,可以推斷父親身高和兒子身高兩個變量是正線性相關的關系,且相關程度較高.如果能像建立函數模型刻畫兩個變量之間的確定性關系那樣,通過建立適當的統(tǒng)計模型刻畫兩個隨機變量的關系,那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的關系.這里能用函數模型刻畫嗎?

追問1由于存在其他因素,使得兒子身高和父親身高有關系但不是函數關系.請你說說影響兒子身高的其他因素是什么?

追問2如何理解隨機誤差對兒子身高的影響?

師生活動教師引導學生發(fā)現:如果用x表示父親的身高,Y表示兒子的身高,用e表示各種其他隨機因素影響之和,假設沒有隨機誤差,那么兒子身高只受父親身高影響,則

Y=bx+a.

事實上,相關系數r≈0.886,從而

Y≈bx+a,

也可以記作Y=bx+a+e.

追問3隨機誤差e有哪些特征?

師生活動教師引導學生總結e是一個隨機變量.如圖1,受隨機誤差影響,在理想狀態(tài)下,散點會均勻分布在直線兩側,不會離直線越來越遠,故要使問題簡潔可以假設隨機誤差e的均值為0,方差(衡量散點偏離直線的程度)是與父親身高無關的定值σ2.

圖1

環(huán)節(jié)2建立模型,加深理解.

主干問題2能否考慮到這些隨機因素的作用,用類似于函數的表達式表達兒子身高與父親身高的關系呢?

師生活動教師引導學生在“研究隨機問題的思想”思維引導下,結合函數解析式的表達方式寫出

追問4已知父親身高為xi,能用一元線性回歸模型確定兒子身高Y嗎?

4.2 第2課時教學環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1創(chuàng)設情境,探究“最好”.

主干問題1利用散點圖,你能找到一條“最好”的直線,使得散點在整體上與這條直線最接近嗎?

追問1你能選擇一個衡量標準來定量地刻畫你選擇的直線最“接近”嗎?有什么經驗可以借鑒嗎?

師生活動學生容易想到用點到直線的距離公式來刻畫接近程度,教師引導學生分析確定想法是有道理的,但是比較難操作(涉及含絕對值和根式的運算),引導學生回顧在尋找雙曲線的漸近線過程中,在刻畫“距離”問題時使用兩點“豎直距離”來表示,即對于n對樣本數據,由yi=bxi+a+ei(其中i=1,2,3,…,n),得

|yi-(bxi+a)|=|ei|.

顯然|ei|越小,表示點(xi,yi)與點(xi,bxi+a)的“距離”越小,即樣本數據點離直線y=bx+a的豎直距離越小.因此,可以用這n個豎直距離之和

來刻畫各樣本觀測數據與直線y=bx+a的“整體接近程度”.在實際應用中,因為絕對值計算不方便,通常用豎直距離的平方和

(1)

環(huán)節(jié)2推導方程,求解模型.

主干問題2我們取Q達到最小時的a,b的值,作為截距和斜率的估計值,如何利用成對樣本數據求Q取最小值時的a,b?

師生活動教師引導學生分析式(1),其中(xi,yi)是已知的成對樣本數據,Q由a和b決定,即它是a和b的函數,問題的本質是求a和b的值,使Q達到最小.

1)根據模型,如果一位父親的身高為176 cm,預測他兒子長大成人后的身高(保留整數).

3)根據模型,由你父親的身高估計你的身高,預測數據與觀測數據是否符合?若不符合,請說明理由.

環(huán)節(jié)3殘差分析,檢驗和完善模型.

師生活動根據最小二乘原理,如果殘差比較穩(wěn)定,殘差絕對值比較小,那么說明回歸模型擬合的精度比較高.

追問3如何觀測殘差的情況呢?

師生活動從殘差圖(如圖2)可以看出,殘差有正有負,殘差點比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元回歸模型的假定,是均值為0、殘差為σ2的響應變量的觀測值(教師再展示教材中4組不同類型殘差圖加以區(qū)分).因此,通過觀察殘差圖可以直觀判斷樣本數據是否滿足一元線性回歸模型的假設,從而判斷回歸模型擬合的有效性.

圖2

設計意圖“數學建?！币话阌^念引領下第二課時主要圍繞“確定參數—求解模型—檢驗和完善模型”確定教學流程,融合主要學習任務設計3個主干問題;在尋找統(tǒng)計量刻畫“距離”問題時,學生在學習雙曲線漸近線時有經驗,設計追問引導學生回顧,可以為課時一般觀念“最小二乘法”搭建思維階梯;最后的模型檢驗階段,通過展示不同類型殘差圖更為直觀地說明模型擬合效果,幫助學生再次鞏固模型假設原因(E(e)=0,D(e)=σ2)的直觀解釋.

一般觀念讓教師進行教學設計時有邏輯可循,為課堂教學提供整體設計思路.一般觀念教學具有教學過程自然化、知識結構化、方法體系化的優(yōu)勢.從知識點教學向一般觀念教學的轉型,是呼應課堂教學改革的嘗試,有利于教師科學、高效地開展課堂教學實踐.