強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考系列講座(18)
——三角函數(shù)與三角變換

王慧興(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

1 知識(shí)與技能

1.1 知識(shí)主線

表1

1.2 要點(diǎn)解析

1)典型不等式

證明

所以嵌入不等式得證,其中等號(hào)成立的條件是

2)公式拓展

a)三倍角公式:

3)反三角函數(shù)的概念與算法

反三角函數(shù)是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)弱化的內(nèi)容,但筆者梳理高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)筆試試題發(fā)現(xiàn),反三角函數(shù)運(yùn)算題仍時(shí)有出現(xiàn),因此強(qiáng)基應(yīng)試復(fù)習(xí)務(wù)必扎實(shí)掌握反三角函數(shù)的概念與算法.

a)基本概念.

函數(shù)y＝sinx存在反函數(shù),稱為反正弦函數(shù),記作y＝arcsinx,x∈[－1,1].算法恒等式有

注意sin(arcsinx)有意義的條件是x∈[－1,1],而arcsin(sinx)對(duì)x∈R 都有意義.

函數(shù)y＝cosx,x∈[0,π]存在反函數(shù),稱為反余弦函數(shù),記作y＝arccosx,x∈[－1,1].算法恒等式有

注意cos(arccosx)有意義的條件是x∈[－1,1],而arccos(cosx)對(duì)x∈R都有意義.

函數(shù)y＝tanx,存在反函數(shù),稱為反正切函數(shù),記作y＝arctanx,x∈R.算法恒等式有

b)基本運(yùn)算.

反三角函數(shù)的三角運(yùn)算:

三角函數(shù)的反三角運(yùn)算:

4)三角與幾何

a)三角形邊角關(guān)系.

非直角三角形常用恒等式:

tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.

在△ABC中,A＞B?a＞b?sinA＞sinB.

在銳角△ABC中,若A≤B≤C,則

根據(jù)三角變換及均值不等式,可以建立三角恒等式與三角不等式,例如:

b)塞瓦定理角元形式.

塞瓦定理:在△ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)P,都有

當(dāng)點(diǎn)P位于△ABC外部時(shí),如果把等式中各角理解為有向角,則等式仍然成立.

證明 如圖1所示,由面積關(guān)系公式得

三式相乘即可.

如圖2所示,同理可證得當(dāng)點(diǎn)P位于△ABC外部時(shí),等式成立.

圖2

2 典例精析

2.1 圖像與性質(zhì)

例1 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A,ω＞0,圖像的一部分如圖3 所示,求其解析式.

圖3

圖4

2.2 三角求值

1)乘積倍角化

例3 求sin6°sin42°sin66°sin78°的值.

方法1 應(yīng)用二倍角正弦公式化倍角形成分式約分求值.

方法2 應(yīng)用三倍角公式化倍角形成分式約分求值.

所以數(shù)列{f(n)}的特征方程①就是0,由此得遞推算法:

3)構(gòu)造方程求值

4)復(fù)數(shù)方法

2.3 反三角函數(shù)

2.4 不等式與最值

2.5 復(fù)合最值

2.6 恒成立問題中的極端性思維方法

例19f(x)＝1－acosx－bsinx－Acos2x－Bsin2x,其中a,b,A,B∈R,如果對(duì)一切x∈R,都有f(x)≥0.求證:

(1)a2＋b2＋A2＋B2≤3;

(2)f(x)≤3.

2.7 三角與幾何

例20 如圖5 所示,點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部,并且

圖5

∠ABP＝30°,

∠CBP＝∠BCP＝24°,

∠ACP＝54°,

求∠BAP.

設(shè)∠BAP＝x,且為銳角,則∠PAC＝48°－x.由塞瓦定理得

則

取倒數(shù)得

則tanx＝tan18°,所以x＝18°,故∠BAP＝18°.

例21 如圖6 所示,直線OP的傾斜角是30°,線段|OP|＝1,過點(diǎn)P作直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)M,N,由點(diǎn)M,N,求f＝|OM|＋|ON|－|MN|的最大值.

圖6

(完)