一題多解提能力 一題多變探本質(zhì)
——以2023年全國甲卷第16題“爪型”三角形為例

鄧成兵 冉茂園

(1.四川省成都市航天中學(xué)校 2.重慶魯能巴蜀中學(xué))

“爪型”三角形是指在給定的一個三角形中,連接一個頂點(diǎn)和對邊上的任意一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)構(gòu)成的圖形.“爪型”三角形問題主要考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2021年高考數(shù)學(xué)試題中的解三角形題型出現(xiàn)了“爪型”三角形.隨著高考命題的不斷發(fā)展,分線由原來的中線逐步演變?yōu)榻瞧椒志€、高線或一般分線(如表1).

表1 2021—2023年高考數(shù)學(xué)全國卷“爪型”三角形統(tǒng)計

因此,筆者從“爪型”三角形的代數(shù)特征和幾何特征出發(fā),尋求比較簡捷的解題方法,總結(jié)解題規(guī)律,從整體上認(rèn)識和把握“爪型”三角形問題,解題時做到有的放矢.希望通過對2023年全國甲卷理科第16題的解題策略進(jìn)行探究,得到一般性的結(jié)論、研究路徑和方法,對大家的復(fù)習(xí)備考有所幫助.

1 試題呈現(xiàn)與解法探究

題目 (2023 年全國甲卷理16)在△ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,BC＝6,∠BAC角平分線交BC于點(diǎn)D,則AD＝_________.

分析 本題是典型的“爪型”三角形問題,需要靈活應(yīng)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化,進(jìn)而求角平分線的長度,多維度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),綜合性較強(qiáng).

1.1 題之一問,問之一解

解法1 待定系數(shù)法、正弦定理

設(shè)AD＝2m,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,如圖1所示.由正弦定理可得

圖1

圖2

故m＝1,所以AD＝2m＝2.

解法2 作高保角、正弦定理

解法3 余弦定理、等面積法

由余弦定理可得

設(shè)AD＝x,由等面積法可得

所以

化簡求得AD＝2.解法1利用“待定系數(shù)法、正弦定理、直角三角形”求解.解法2 利用“作高保角、余弦定理”求解.這種方法也是求解高中三角函數(shù)、立體幾何問題的重要方法,但學(xué)生很難想到作BE⊥AC,這種方法對學(xué)生的思維要求比較高.解法3利用“余弦定理、等面積法”求解.這是解斜三角形的核心,學(xué)生更容易入手.另外,如果再結(jié)合幾何圖形進(jìn)行思考,就更容易使問題獲解.

在新教材、新課標(biāo)和新高考(簡稱三新)背景下,為了讓數(shù)學(xué)的解題方法思路更清晰有序,且能夠高效精準(zhǔn)地將高中數(shù)學(xué)題目涉及的知識點(diǎn)與自己大腦系統(tǒng)中已有的相關(guān)知識體系建立一個恰當(dāng)有效的聯(lián)系.筆者認(rèn)為借助思維導(dǎo)圖(如圖3)呈現(xiàn)思維過程,可以讓同學(xué)們更直觀地理解不同解法的切入點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn).著名數(shù)學(xué)家波利亞說過這樣一句話:“掌握數(shù)學(xué)也就意味著要善于解題,”所以解一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題不能只就題論題,更重要的是要揭開此題的內(nèi)涵和價值.為實現(xiàn)這一目的,需要對它不斷進(jìn)行變式及歸納,通過題之一問、問之一解、解之一變、變之一通、通之一悟、悟之一類的解題策略,對經(jīng)典的高考試題探索多種題型轉(zhuǎn)變的一般規(guī)律,揭示其本質(zhì)特征,從而幫助學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).現(xiàn)對上題中式①進(jìn)行再探究,得到“爪型”三角形的一般性結(jié)論.

圖3

1.2 解之一變、變之一通

例1 若點(diǎn)D為BC邊上異于B,C兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),如圖4所示,設(shè)∠BAD＝α,∠CAD＝β,AB＝c,AC＝b,所以∠BAC＝α＋β,則

圖4

在三角形中出現(xiàn)了邊和角的正弦,有效的途徑是利用三角形面積第二公式進(jìn)行求解,即

因為S△ABC＝S△ABD＋S△ACD,所以

兩邊同時除以bc×AD,化簡可得

結(jié)論1 在△ABC中,∠A的平分線與BC邊相交于點(diǎn)D,設(shè)∠BAD＝∠CAD＝θ,則∠BAC＝2θ,代入例1的式①化簡得

即已知兩邊及夾角可求角平分線長,把這個公式叫“爪型”三角形的角平分線公式.下面用結(jié)論1求解前面的問題.

解法4 結(jié)論應(yīng)用

在△ABC中,由余弦定理得

1.3 通之一悟、悟之一類

結(jié)論2 在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),借助上述式③整理化簡可得

把此式稱為“爪型”三角形的中線公式,將之變形可得2019年人教A 版?必修第二冊?第53 頁第15 題的結(jié)論

即已知三角形三邊可求中線長.

變式2 如 圖5 所示,在△ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,AC＝＋1,D為BC靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),則AD2＝_________.

圖5

則

把變式2中式①變?yōu)橐话闱闆r,我們可以獲得什么樣的結(jié)論呢?

如圖6所示,若D為線段BC上的一動點(diǎn),滿足BD∶DC＝m∶n,可以獲得“爪型”三角形向量的一般性結(jié)論.

圖6

結(jié)論3 在△ABC中,若D為線段BC上的一動點(diǎn),滿足BD∶DC＝m∶n,則

變 式 3 在 △ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,AC＝3＋1,AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,如圖7所示,則AD2＝_______.

圖7

將把變式3的兩邊及夾角一般化,我們可以獲得什么結(jié)論呢?

結(jié)論4 在△ABC中,∠BAC＝θ,AB＝c,AC＝b,BC＝a,AD⊥BC交BC為點(diǎn)D,如圖8所示,則

圖8

即已知兩邊及夾角可求高線長.

在△ABC中,由余弦定理可得

,代入式①中化簡可得

2 鏈接高考,遷移經(jīng)驗

筆者通過對一道高考題的解法及變式進(jìn)行探究,獲得了有關(guān)“爪型”三角形的中線公式、角平分線公式、高線公式及向量中“爪型”三角形結(jié)論.當(dāng)然,這些結(jié)論也能用于求解對應(yīng)的高考試題.

例2 如圖9所示,在△ABC中,已知∠BAC＝的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D,AD＝2,則AB＋AC的最小值為_________.

圖9

由“爪型”三角形的角平分線公式可得

例3 (2023年新高考Ⅱ卷17,節(jié)選)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為,D為BC的中點(diǎn),且AD＝1.若b2＋c2＝8,求b,c.

如圖10所示,在△ABC中,由“爪型”三角形的中線長公式得

圖10

即4＋a2＝2(b2＋c2)＝16,則

例4 (2021年新高考Ⅰ卷19)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2＝ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC＝asinC.

(1)證明:BD＝b;

(2)若AD＝2DC,求cos∠ABC.

(1)證明過程略.

(2)在△ABC中,平方得

由余弦定理得

聯(lián)立①②得11b2＝3c2＋6a2,因為b2＝ac,所以3c2－11ac＋6a2＝0,所以c＝3a或.

在△ABC中,由余弦定理可得

3 解題反思

本文從不同的角度對2021—2023 年數(shù)學(xué)高考“爪型”三角形進(jìn)行了深入探究,歸納出“爪型”三角形的中線、角平分線、高線及“爪型”三角形向量的一般表達(dá)式并對其進(jìn)行證明,運(yùn)用了特殊到一般、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想.“爪型”三角形在高考試卷中難度屬于中等,解這類三角形方法很多,通常可以采用“鄰補(bǔ)角”“算兩次”策略,依據(jù)正弦定理和余弦定理列方程求解,也可以采用作高、作平行線等手段利用初等幾何知識求解,亦可借助向量工具,采用基底法進(jìn)行求解.如果運(yùn)用本文總結(jié)的“爪型”三角形的四條性質(zhì)求解,不但可以簡化運(yùn)算,還可以提高做題的效率及正確率.此外,通過一題多解到一題多變的訓(xùn)練,可以拓寬和深化解題思路,提高解題技巧和分析問題、解決問題能力,激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的熱情.

從以上的分析可以看出,此題目蘊(yùn)含著多么豐富和深刻的數(shù)學(xué)思想方法,教師要對教材上經(jīng)典的例題、習(xí)題和高考真題進(jìn)行認(rèn)真的探究,做到一題多解、一題多變,才能深入挖掘其內(nèi)在的規(guī)律、探究到更一般的結(jié)論,從而由最初的授人以魚(基于課本教知識)過渡到授之以漁(基于知識教方法),最后實現(xiàn)悟其漁識(基于方法教思想)的轉(zhuǎn)變.

(完)