初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

摘 要：應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的一類常見題型，這類題目以文字?jǐn)⑹鰹橹鳎婕暗降男畔⒈容^多，對學(xué)生的閱讀能力與理解能力要求較高.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想解答應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意建立方程、統(tǒng)計、不等式、幾何、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，把復(fù)雜的問題簡單化，把抽象的問題具體化，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解題意，理清題目中已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系，為解決問題創(chuàng)造條件.利用模型思想解決數(shù)學(xué)問題，能有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）26-0050-03

作者簡介：盧建順（1975.6-），男，福建省龍巖人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

應(yīng)用題是利用語言或文字?jǐn)⑹鲇嘘P(guān)事實，反映某種數(shù)學(xué)關(guān)系，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等，并求解未知數(shù)量的一類題目，每道應(yīng)用題中都包含有已知條件與所求問題.數(shù)學(xué)建模則是先結(jié)合實際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再對數(shù)學(xué)模型展開求解，最后根據(jù)結(jié)果解決實際問題.在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題教學(xué)中，教師需重點培養(yǎng)學(xué)生的建模思維，利用數(shù)學(xué)模型把復(fù)雜問題簡單化，把抽象問題具體化，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解題意，理清題目中已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系，為解決問題創(chuàng)造條件.

1 建立方程模型解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題

方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.因為實際生活中不少問題都能夠通過方程應(yīng)用題的形式展現(xiàn)出來，故方程模型也是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題教學(xué)中最為常用的一種數(shù)學(xué)模型.構(gòu)建方程模型時，教師需重點培養(yǎng)學(xué)生尋找題目中已知量與未知量之間等量關(guān)系的能力，尤其是面對污損文字、圖表、圖案、情景對話等方式展現(xiàn)題目內(nèi)容的新型應(yīng)用題，教師需指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、識別、篩選與比較，順利建立相應(yīng)的方程模型，找到最佳解題方案[1].

例1 在某次實戰(zhàn)演習(xí)中，一名坦克兵往遠處1 700米的目標(biāo)瞄準(zhǔn)開炮，7秒后聽到炮彈擊中目標(biāo)的聲音，另外有一名記者距離這名坦克兵1 000米，距離目標(biāo)2 020米，他聽到開炮聲響后5秒，又聽到炮彈擊中目標(biāo)的聲音，那么炮彈與聲音的速度分別是多少？

分析 這道應(yīng)用題中存在兩個等量關(guān)系，第一個是炮彈發(fā)出后至擊中目標(biāo)所用的時間與擊中目標(biāo)后聲音傳回坦克兵處的時間之和是7秒.第二個比較隱蔽，關(guān)鍵在于對“記者聽到開炮聲5秒后炮彈擊中目標(biāo)的聲音”這句話的理解，前半句是記者聽到開炮聲后5秒，即為炮聲傳出1 000米的所用時間和5秒之和，后半句是“記者聽到炮彈擊中目標(biāo)的聲音”，包括炮彈飛行1 700米的時間與擊中目標(biāo)響聲后傳出2 020米的時間之和，這兩段時間相同，由此建立方程組模型.

由此可知炮彈與聲音的速度分別是850米/秒與340米/秒.

2 建立統(tǒng)計模型解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題

統(tǒng)計模型是以概率論為基礎(chǔ)，采用數(shù)學(xué)統(tǒng)計方法構(gòu)建的一種模型.部分過程無法通過理論分析的方法導(dǎo)出相應(yīng)的模型，但是可以利用數(shù)學(xué)試驗的方式測定數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)理統(tǒng)計法求得各種變量之間的關(guān)系就稱之為統(tǒng)計模型.在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題訓(xùn)練中，當(dāng)題目中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)較多，內(nèi)容比較復(fù)雜時，可以構(gòu)建統(tǒng)計模型，對數(shù)據(jù)展開收集、整理與分析，幫助學(xué)生簡化解題思路，找到正確的解題方向，有效提高學(xué)生解答應(yīng)用題的準(zhǔn)確度[2].

例2 已知有一個正方體小木塊，現(xiàn)在要往小木快的六個面上分別刻上1，2，3，4，5，6個數(shù)字，且1和6，2和5，3和4需分別刻在對面，那么一共有多少種不同的刻法？

解析 本題中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)較多，且關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生可利用建立統(tǒng)計模型的方式進行解題，只需考慮數(shù)字1，2，3可能刻的位置即可，剩余4，5，6三個數(shù)字的位置就能夠隨之確定，其中1可以選擇這個小方塊6個面中的任意一個面，共有6種刻法，6的位置也確定；2可以刻在剩余4個面中的任意一個面，共有4種刻法，5的位置同樣得到確定；3只能刻在剩余2個面中進行選擇，共有2種刻法，4的位置也得到確定.結(jié)上所述，所有不同的刻法一共有6×4×2＝48（種）.

3 建立不等式模型解數(shù)學(xué)應(yīng)用題

不等式模型是一類比較特殊的數(shù)學(xué)模型.構(gòu)建其他數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生需要找到題目中的等量關(guān)系，而不等式模型則需要找到不等關(guān)系，能夠起到意想不到的效果.針對初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題訓(xùn)練來說，當(dāng)建立不等式模型時，教師需要指導(dǎo)學(xué)生合理設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知或隱含的不等關(guān)系，列出含有未知數(shù)的不等式或不等式組，然后解不等式或不等式組，最后驗證解的合理性，從而讓學(xué)生準(zhǔn)確、快速地解答應(yīng)用題[3].

例3 某家公司經(jīng)營甲、乙兩種商品，其中甲種商品的進價是12萬元，售價是14.5萬元，乙種商品的進價是8萬元，售價是10萬元，且甲、乙兩種商品的進價與售價均保持不變，現(xiàn)在計劃一共購進甲、乙兩種商品20件，總價控制在190萬元至200萬元之間.

（1）一共有多少種進貨方案？

（2）該公司使用哪種進貨方案可獲得最大利潤？并求出最大利潤.

分析 通過閱讀題目內(nèi)容，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有對進貨總價范圍的控制，明顯涉及到不等關(guān)系，故可以通過建立不等式模型進行解題，學(xué)生只要準(zhǔn)確找出題目中的不等關(guān)系即可輕松求解.

解 （1）設(shè)購進甲種商品x件，則購進乙種商品（20-x）件.根據(jù)題意，得190≤12x＋8（20-x）≤200，解得7.5≤x≤10.考慮到實際情況，x只能取正整數(shù)，即甲商品是8，9，10件，所以一共有三種進貨方案，對應(yīng)的乙商品分別是12，11，10件.

（2）甲、乙兩種商品各購進10件或獲得最大利潤，最大利潤為10（14.5-12）＋10（10-2）＝25＋20＝45（萬元）.

4 建立幾何模型解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題

在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題教學(xué)中，除了以上幾種代數(shù)方面的數(shù)學(xué)模型，還可以構(gòu)建幾何方面的數(shù)學(xué)模型，主要用來解決一些特殊的應(yīng)用題.此類應(yīng)用題中文字?jǐn)⑹龇爆?，字母符號較多，概念也不少，難度相當(dāng)較大.建立幾何模型，通過直觀的圖像把題目中的復(fù)雜關(guān)系清晰地呈現(xiàn)出來，有助于應(yīng)用題的順利解答.對此，初中數(shù)學(xué)教師可指引學(xué)生認(rèn)真分析題意，將實際問題抽象轉(zhuǎn)化成幾何圖形，通過建立幾何模型的方式解答應(yīng)用題[4].

例4 因為過渡砍伐森林導(dǎo)致沙塵暴頻發(fā).今日，A市氣象部門測得沙塵暴中心在A市正西300千米的B處，以107千米/小時的速度往南偏東60°方向移動，且距離沙塵暴中心200千米范圍內(nèi)均會受到影響，那么A市是否會受到該次沙塵暴的影響？如果會，則時間是多久？

分析 本題是一道有關(guān)位置與方向類的試題，涉及到三角形與圓的相關(guān)知識，較為復(fù)雜，教師可以指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意建立幾何模型，畫出如圖1所示的幾何圖形，通過觀察發(fā)現(xiàn)，A市會受到本次沙塵暴的影響，影響時間是沙塵暴從C移動到D處所用的時間，利用勾股定理和垂徑定理即可求解.

5 建立一次函數(shù)模型解答應(yīng)用題

函數(shù)是學(xué)生進入初中階段以后接觸與系統(tǒng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，同其他內(nèi)容相比，函數(shù)知識難度較大，其中一次函數(shù)作為最簡單的函數(shù)，與實際生活聯(lián)系的較為密切，不少數(shù)學(xué)應(yīng)用題中蘊涵一次函數(shù)關(guān)系，學(xué)生需建立一次函數(shù)模型進行解答.在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的數(shù)據(jù)，使其根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)建具體的一次函數(shù)模型，促使學(xué)生應(yīng)用模型解答應(yīng)用題[5].

例5 張華同學(xué)參加100米短跑訓(xùn)練，2022年1至4月的訓(xùn)練成績?nèi)缦卤硭?，體育老師稱他為百米短跑天才，請你預(yù)測張華同學(xué)5年（60個月）后100米的短跑成績是（ ）（溫馨提示：當(dāng)前世界100米短跑記錄是9.58s）

A.14.8 s B.3.8 s

C.3 sD.預(yù)測結(jié)果不可靠

分析 通過觀察表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，每訓(xùn)練一個月，張華的100米短跑成績提升0.2 s，設(shè)他的成績是y s，時間是x月，y與x之間是一次函數(shù)關(guān)系，可設(shè)為y＝kx＋b，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)x=60時即可求得60個月后的成績.

解 設(shè)張華同學(xué)的100米短跑成績是y，月份是x，根據(jù)題意可得y＝kx＋b，代入前兩個月的數(shù)據(jù)分別得到15.6＝k＋b，15.4＝2k＋b，聯(lián)立方程組，解之得k＝-0.2，b＝15.8，即為y＝-0.2x＋15.8.當(dāng)x＝60時，y＝-0.2×60＋15.8＝-12＋15.8＝3.8，因為當(dāng)前世界100米短跑記錄是9.58 s，顯然這一結(jié)果并不符合實際意義，故正確答案是選項D.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)實踐中，教師應(yīng)謹(jǐn)慎對待這種以文字描述為主的特殊試題，要求學(xué)生認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容、仔細審題，并以此為前提，理清題干中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題意建立方程、統(tǒng)計、不等式、幾何、一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，使其找到更為簡便的應(yīng)用題解題方法與技巧，促使學(xué)生切實感受到數(shù)學(xué)建模的實用性與價值，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］高廷學(xué).初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用探究[J].試題與研究，2022（28）：136-138.

[2] 劉于標(biāo).以數(shù)學(xué)建模思想為基礎(chǔ)對初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)展開探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（21）：38-40.

[3] 擺曉娟.淺談建模思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].新課程，2021（50）：22.

[4] 葉麗平，梁衛(wèi)超.基于數(shù)學(xué)建模思想的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)策略研究[J].數(shù)理化解題研究，2021（32）：54-55.

[5] 張榮.初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題滲透數(shù)學(xué)建模思想的策略[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2020（18）：24-26.

［責(zé)任編輯：李 璟］