具p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性與唯一性

盛世昌, 張婷婷, 胡衛(wèi)敏,2*

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 新疆 伊寧835000;2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所, 新疆 伊寧 835000)

整數(shù)階的微分方程有關(guān)于p-Laplacian算子和脈沖邊值條件的文獻(xiàn)[1-4],分?jǐn)?shù)階微分方程中關(guān)于帶p-Laplacian算子的方程研究已取得不少成果[5-10],關(guān)于帶脈沖邊值條件的問(wèn)題研究文獻(xiàn)也逐漸增加[11-20],而分?jǐn)?shù)階微分方程中兩個(gè)條件同時(shí)具備的相關(guān)研究文獻(xiàn)較少. 在一些復(fù)雜力學(xué)過(guò)程中,其經(jīng)驗(yàn)公式一般表現(xiàn)為冪律函數(shù)的形式,這種力學(xué)過(guò)程具有記憶、遺傳和路徑依賴等性質(zhì). 整數(shù)階導(dǎo)數(shù)在解決復(fù)雜力學(xué)問(wèn)題時(shí),需要構(gòu)造非線性方程,引進(jìn)復(fù)雜的假設(shè)條件,這就造成了這些模型在求解時(shí)的困難.分?jǐn)?shù)階微分算子相比之下,能簡(jiǎn)潔且準(zhǔn)確地刻畫(huà)具有記憶性和空間全域相關(guān)性的物理力學(xué)過(guò)程.本文參考整數(shù)階微分方程的相關(guān)研究文獻(xiàn),討論了一個(gè)具p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)脈沖邊值問(wèn)題解的存在性,利用Banach和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理,獲得了解的存在性的充分條件．

文獻(xiàn)[8]討論了具p-Laplacian算子非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題

(1)

文獻(xiàn)[10]分析了具p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(2)

文獻(xiàn)[11]研究了非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(3)

的不動(dòng)點(diǎn),用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理證明了方程解的存在性和唯一性,其中,1<α≤2,f∈C(J×,),為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)．

本文討論下列具p-Laplacian算子的半正分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)脈沖邊值問(wèn)題

(4)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)J0=[0,t1],J1=(t1,t2],…,Jm-1=(tm-1,tm],Jm=(tm,1],空間PC(J,)存在,定義范數(shù)(J,)={u：J→|u∈C1(Jk),k=0,1,…,m},且存在,定義范數(shù)(J,),PC1(J,)是Banach空間．

定義1[11]函數(shù)f：[0,+∞)→,α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分是指

其中,右邊是在[0,+∞)逐點(diǎn)定義的．

定義2[11]函數(shù)f：[0,+∞)→,α>0,α階Caputo型分?jǐn)?shù)階微分是指

f(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈,i=0,1,2,…,n-1,n=[α]+1．

引理4[14](Arzela-Ascoli定理)K?PC(J,)是相對(duì)緊的,當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)u(t)∈K在J上一致有界,在Jk上等度連續(xù)．

引理5[14](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)X是Banach空間,D?X是有界凸閉的(D不一定存在內(nèi)點(diǎn)),T：D→D是全連續(xù)的,則T在D中存在不動(dòng)點(diǎn),即存在x*∈D,使得Tx*=x*．

引理6設(shè)y∈C(0,1),且ξ∈(tl,tl+1),l為非負(fù)整數(shù),0≤l≤m.u∈PC1(J)是邊值問(wèn)題

(5)

的解等價(jià)于u是如下積分方程的解,

(6)

其中,

證明設(shè)u是方程(5)的解,對(duì)方程(5)兩邊同時(shí)求α階積分,由引理1可得,當(dāng)t∈J0時(shí),存在常數(shù)c1,c2∈,使

(7)

當(dāng)t∈J1時(shí),存在常數(shù)d0,d1∈,使

則

c1-c2t1+I1(u(t1)),

c2+Q1(u(t1)).

故

(t-t1)Q1(u(t1))-c1-c2t,t∈J1.

重復(fù)以上步驟,類(lèi)似可得

(8)

由邊值條件u(0)+u′(0)=0,得c1+c2=0,由(7)可得

由u′(ξ)+u(1)=0和c1+c2=0,可得

將c1、c2代入 (7)、(8),設(shè)M=c2,可證得方程(6)．

2 解的存在性

設(shè)ξ∈(tl,tl+1),l為非負(fù)整數(shù),0≤l≤m.定義T：PC1(J,)→PC1(J,),

由引理6可知,T的不動(dòng)點(diǎn)是方程(4)的解,下面用Banach壓縮映像原理證明．

定理1(H1)設(shè)存在常數(shù)L1>0,使得

|φq(f(t,x))-φq(f(t,y))|≤L1|x-y|,

對(duì)?t∈J,x,y∈．

(H2)設(shè)存在常數(shù)L2,L3>0,使得

|Ik(x)-Ik(y)|≤L2|x-y|,|Qk(x)-Qk(y)|≤L3|x-y|,

對(duì)?t∈J,x,y∈,k=1,2,…,m.

證明對(duì)?x,y∈PC1(J,),有

|(Tx)(t)-(Ty)(t)|≤

(5m-2)L3|x-y|≤

定理2(H3)設(shè)φq(f(t,u(t)))：[0,1]×→是連續(xù)的,且存在常數(shù)N1>0,使得|φq(f(t,u(t)))|≤N1,對(duì)?t∈J,u∈．

(H4)設(shè)Ik,Qk：→是連續(xù)的,且存在常數(shù)N2,N3>0,使得|Ik(u)|≤N2,|Qk(u)|≤N3,對(duì)?t∈J,u∈,k=1,2,…,m．

當(dāng)上述條件成立時(shí),方程(4)有一個(gè)解．

證明下面用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明T存在不動(dòng)點(diǎn)．

第一步,證明T是連續(xù)的．

設(shè)函數(shù)列{un}∈PC1(J),且un→u,

|(Tun)(t)-(Tu)(t)|≤

φq(f(s,u(s)))|ds,

第二步,證明T將有界集映成有界集,即T一致有界．

2mN2+(5m-2)N3,

因此有

第三步,證明T是等度連續(xù)的．

因此,設(shè)t1,t2∈Jk,t1

M|t2-t1|,

所以T(Ωρ)在任意的Jk上是等度連續(xù)的,可以得出結(jié)論T：PC1(J,)→PC1(J,)是全連續(xù)算子．

第四步,證Ω={u∈PC1(J) |u=λTu,0<λ<1}有界．

設(shè)u∈Ω,則有u=λTu,0<λ<1,因此對(duì)?t∈J,有

由(H3)、(H4)可得,對(duì)?t∈J,

2mN2+(5m-2)N3,

因此對(duì)?t∈J,有

(5m-2)N3,

即Ω是有界的,由上面的證明,再根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可得,T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),也就是方程(4)的解．

3 舉例

方程

(9)

其中,

這里顯然φq(f(t,u)),I,Q都連續(xù),且

1)|φq(f(t,u))|≤1,對(duì)?t∈J,u∈;

2)|I|≤3,|Q|≤5,對(duì)?u∈．

滿足條件(H3),(H4),由定理2可得,方程(9)有一個(gè)解．

分?jǐn)?shù)階微分方程作為整數(shù)階微分方程的推廣,具有比整數(shù)階微分方程更長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展價(jià)值.在眾多學(xué)者的努力下,此方面研究取得了很大的進(jìn)步.但由于脈沖邊值條件的處理難度較大,以及各種新型算子的加入,未來(lái)的研究還是具有一定的挑戰(zhàn)性.研究具有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階奇異脈沖微分方程邊值問(wèn)題也存在改進(jìn)的空間,如果將p-Laplacian算子改為p(t)-Laplacian算子,是一個(gè)不錯(cuò)的研究方向,接下來(lái)筆者也將對(duì)這個(gè)方向展開(kāi)研究．