創(chuàng)新設(shè)計,巧妙破解,探究拓展
——2021年高考數(shù)學(xué)上海卷第11題的探究

? 江蘇省宿遷中學(xué) 徐士權(quán)

直線與拋物線的位置關(guān)系問題,一直是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類常見考點(diǎn),設(shè)置巧妙,形式各樣,變化多端.2021年高考數(shù)學(xué)上海卷第11題就是以拋物線為問題背景,通過直線與拋物線的位置關(guān)系所產(chǎn)生的具體三角形的三邊長,創(chuàng)新設(shè)置問題,新穎別致,是一道令人眼前一亮的創(chuàng)新題,值得好好研究、挖掘.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題(2021年高考數(shù)學(xué)上海卷第11題)已知拋物線C:y2=2px(p>0),若第一象限內(nèi)的點(diǎn)A,B在拋物線C上,焦點(diǎn)為F,且|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3,則直線AB的斜率為______.

2 真題剖析

該題以拋物線為問題背景,結(jié)合拋物線的焦點(diǎn),以及拋物線上的兩點(diǎn)所構(gòu)造的邊長確定的三角形為載體,進(jìn)而確定拋物線上的兩點(diǎn)所對應(yīng)的直線的斜率.

具體破解時,可以通過直線的斜率公式,結(jié)合點(diǎn)差法的應(yīng)用來處理;也可以通過解析幾何的平面幾何化,利用斜率的定義,數(shù)形結(jié)合來直觀處理;還可以利用題目中已知的弦長,結(jié)合弦長公式代入來求解.無論采用何種方法破解,都離不開拋物線的定義及其應(yīng)用,借助拋物線定義的轉(zhuǎn)化,或代數(shù)運(yùn)算,或數(shù)形結(jié)合,或公式應(yīng)用等,都可以很好地達(dá)到目的.

3 真題破解

方法1:點(diǎn)差法.

點(diǎn)評:設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合拋物線的定義與兩點(diǎn)間的距離公式確定參數(shù)之間的關(guān)系,利用點(diǎn)差法及直線的斜率公式即可求解.利用拋物線定義可以有效轉(zhuǎn)化焦半徑問題,實(shí)現(xiàn)焦半徑與相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系,在處理一些長度問題中經(jīng)常用到.點(diǎn)差法是處理直線斜率問題比較常用的方法.

方法2:平面幾何法.

解析:如圖1所示,過點(diǎn)A,B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,作AM⊥BQ,垂足為M.

圖1

根據(jù)拋物線的定義,可知|AP|=|MQ|=|AF|=2,|BQ|=|BF|=4,則|BM|=2.

點(diǎn)評:結(jié)合拋物線的定義,建立對應(yīng)的平面幾何圖形,在直角三角形中,利用勾股定理,以及三角函數(shù)來求解對應(yīng)直線的斜率.利用平面幾何法處理解析幾何問題,更加直觀形象,關(guān)鍵是建立平面幾何中點(diǎn)、線、角與對應(yīng)解析幾何中元素的關(guān)系,合理應(yīng)用,巧妙轉(zhuǎn)化.

方法3:弦長公式法1.

解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1>0.

設(shè)直線AB的斜率為k,且k>0.

點(diǎn)評:利用弦長公式法求解,簡單快捷.借助弦長公式的應(yīng)用建立相應(yīng)的關(guān)系式,代入相關(guān)的數(shù)值即可巧妙求解.

方法4:弦長公式法2.

設(shè)直線AB的斜率為k,且k>0.

4 變式拓展

探究1:保留題目背景,交換題目部分條件與結(jié)論之間的位置——已知拋物線上兩點(diǎn)所對應(yīng)直線的斜率,進(jìn)而確定這兩點(diǎn)間的距離問題.這樣變式處理,考查的知識點(diǎn)基本不變,難度比原問題有所下降.

解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1>0.

點(diǎn)評:直接根據(jù)題目條件,在利用拋物線定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上,確定兩點(diǎn)對應(yīng)橫坐標(biāo)的差值,再直接利用弦長公式求解對應(yīng)的弦長即可達(dá)到目的.設(shè)置更加直接,處理起來更加方便快捷.

探究2:保留題目背景與部分條件,改變原來兩點(diǎn)均在第一象限的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化為其中一點(diǎn)在第一象限,另一點(diǎn)在第四象限,同時改變這兩點(diǎn)間的距離,得到變式2,考點(diǎn)一致,難度相當(dāng).

變式2已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,若第一象限內(nèi)的點(diǎn)A與第四象限內(nèi)的點(diǎn)B均在拋物線C上,且|AF|=2,|BF|=4,|AB|=5,則直線AB的斜率為______.

點(diǎn)評:同樣,除了利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,借助平面幾何知識來處理,也可以利用弦長公式求解.具體解答過程可以參照真題的破解方法,這里不多加敘述.當(dāng)然,改變兩點(diǎn)在不同象限內(nèi)的情況,還可以得到相應(yīng)的變式問題.

5 教學(xué)啟示

(1)回歸拋物線的本質(zhì),拋物線的定義先行

拋物線的定義反映了拋物線自身的本質(zhì)特征,揭示了相關(guān)曲線存在的幾何性質(zhì)與特征規(guī)律.在實(shí)際破解相關(guān)問題中,合理回歸、巧妙應(yīng)用拋物線定義,實(shí)現(xiàn)“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”與“該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”二者之間的合理變形與轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”之間的合理過渡、變形、轉(zhuǎn)化,是破解拋物線問題最常用的一個基本技巧方法.

(2)抓住平面幾何特征,破解解析幾何問題

解析幾何問題本質(zhì)上離不開平面幾何的圖形特征,具有平面幾何的本質(zhì)特征.在具體破解問題時,合理引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合對圖形特征、線段數(shù)量關(guān)系、邊角位置關(guān)系等加以直觀認(rèn)識,從而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問題(三角函數(shù)、解三角形、平面向量或平面幾何等)進(jìn)行處理.在解題教學(xué)中要有意識地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生,利用獨(dú)特的思維去探索數(shù)學(xué),欣賞數(shù)學(xué)的美.

在實(shí)際數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中,不能只停留在解題的表面上,應(yīng)適當(dāng)強(qiáng)化解題研究,挖掘問題本質(zhì),摒棄題海戰(zhàn)術(shù),講究教學(xué)藝術(shù),這樣才能真正全面提升學(xué)生的解題能力、綜合能力、創(chuàng)新能力與應(yīng)用能力等.