坐標(biāo)伸縮變換視角下的橢圓探究

? 安徽省蚌埠市第四中學(xué) 穆 穎

1 起因

蚌埠市2022屆高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試?yán)砜凭淼?0題考查了橢圓問(wèn)題,原試題如下:

“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng),在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng),某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的教學(xué)內(nèi)容.例如,用一張圓形紙片,按如下步驟折紙(如圖1):

圖1

步驟1:設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn),標(biāo)記為F;

步驟2:把紙片折疊,使圓周正好通過(guò)點(diǎn)F;

步驟3:把紙片展開(kāi),并留下一道折痕;

步驟4:不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來(lái)越多的折痕(如圖2).

圖2

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片,設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為2,按上述方法折紙.

(1)以點(diǎn)F,E所在的直線為x軸,線段EF的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求折痕所圍成的橢圓C(即圖1中M點(diǎn)的軌跡)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖3

證明:|AQ|,|PQ|,|BQ|成等比數(shù)列.

參考答案如下:

由直線m與橢圓C相切于點(diǎn)P,可知

Δ=s2-4(s2-3)=0.

又s>0,所以解得s=2.

由x2-2x+1=0,解得x=1.

即|PQ|2=|AQ|·|BQ|.

故|AQ|,|PQ|,|BQ|成等比數(shù)列.

2 分析

在第(2)問(wèn)的證明中,為了求出|AQ|,|PQ|,|BQ|的表達(dá)式,需要多次把直線方程和橢圓方程、直線與直線方程聯(lián)立,再使用弦長(zhǎng)公式,運(yùn)算量著實(shí)比較大.我們可否另辟蹊徑,找到一種簡(jiǎn)捷的處理方法呢?在本題中直線PQ是橢圓C的切線,直線AB是橢圓C的割線.在研究圓時(shí),已學(xué)習(xí)過(guò)圓的切割線定理.若把橢圓伸縮變換成圓,再借助圓的切割線定理,是不是就可以得證了呢?變換中還需要關(guān)注變換前兩點(diǎn)間距離與變換后兩點(diǎn)間距離是否成比例.

3 探究

在人教A版數(shù)學(xué)選修4-4中,學(xué)習(xí)了坐標(biāo)伸縮變換,伸縮變換的常用性質(zhì)主要有以下幾點(diǎn):

性質(zhì)2若坐標(biāo)伸縮變換前直線與曲線相切(相交、相離),則坐標(biāo)伸縮變換后直線與曲線依然相切(相交、相離).

性質(zhì)4若坐標(biāo)伸縮變換前圖形的面積為S,則坐標(biāo)伸縮變換后圖形的面積S′=λμS.

4 鞏固練習(xí)

無(wú)獨(dú)有偶,在人教版數(shù)學(xué)選修4-4第38頁(yè)有如下一道例題:

如圖4所示,AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P,兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2,求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

圖4

課本通過(guò)設(shè)直線的參數(shù)方程并與橢圓方程聯(lián)立,借助參數(shù)t的幾何意義,推出|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,這樣需要進(jìn)行大量的純字母運(yùn)算.那么,可否找到一種快捷的解法呢?在本題中線段AB,CD都是橢圓C的弦.在研究圓時(shí),已學(xué)習(xí)過(guò)圓的相交弦定理.若把橢圓伸縮變換成圓,再借助此定理,就可以得證.

圖5

由圓的相交弦定理,知|A′P′|·|B′P′|=|C′P′|·|D′P′|,故|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

5 結(jié)束語(yǔ)

從以上的解答中,我們或許會(huì)驚嘆:這簡(jiǎn)直不像是解析幾何題了,幾乎沒(méi)有計(jì)算量!是的,坐標(biāo)伸縮變換可將橢圓轉(zhuǎn)換為圓,而圓具有橢圓不具備的許多特殊性質(zhì),并且和圓有關(guān)的問(wèn)題還可以借助初中平面幾何知識(shí)來(lái)解答,從而避免繁雜冗長(zhǎng)的計(jì)算,提高解題效率.