構(gòu)造與解題齊飛,技能共素養(yǎng)一色

? 安徽省淮南市第二十一中學(xué) 楊丹旸

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)科中一個非常特殊且優(yōu)美的解題方法,具有悠久的歷史.一些著名的數(shù)學(xué)家,如歐幾里得、歐拉、高斯等人,都有成功借助構(gòu)造法解決一些數(shù)學(xué)難題的記載與傳說.特別地,隨著新高考改革的逐步推進(jìn)與深入,利用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題也成為一個創(chuàng)新點與亮點,在高考數(shù)學(xué)命題、自主招生以及數(shù)學(xué)競賽等中都有著非常重要的地位,倍受各方關(guān)注.

1 構(gòu)造函數(shù)妙解題

例1〔2023屆鄂東南省級示范教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷〕已知a=e-2,b=1-ln 2,c=ee-e2,則( ).

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

分析:根據(jù)題設(shè)條件,以三個代數(shù)式的大小比較為具體情境,通過分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,尋覓函數(shù)與不等式之間的結(jié)構(gòu)特點與共性,進(jìn)而巧妙構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)模型,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基本性質(zhì)來分析與判斷.

解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x,x>0,則f′(x)=ex-1>0,于是函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以f(e)>f(2),即ee-e>e2-2,亦即ee-e2>e-2,故c>a.

又f(1)>f(ln 2),即e1-1>eln 2-ln 2,亦即e-1>2-ln 2,于是e-2>1-ln 2,故a>b.

綜上分析,可得c>a>b.

故選擇答案:D.

點評:遇上指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)等值的大小比較時,關(guān)鍵是尋找常數(shù)和指數(shù)、真數(shù)等的關(guān)系后,合理通過構(gòu)造函數(shù)的方法來分析與解決問題,成為判定代數(shù)式的大小關(guān)系中比較常用的一種技巧方法,頻繁在解題過程中得以巧妙應(yīng)用,學(xué)生應(yīng)熟練掌握.尋找代數(shù)式的關(guān)系,合理構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)法以及函數(shù)的單調(diào)性加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

2 構(gòu)造方程妙解題

A.8 B.9

C.10 D.其他三個選項均不對

分析:根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合三角代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化,通過放縮消參后,合理進(jìn)行整體換元處理構(gòu)造相應(yīng)的方程.結(jié)合常數(shù)1=sin2x+cos2x這一基本關(guān)系式進(jìn)行消元處理,轉(zhuǎn)化為相關(guān)的二次方程問題,借助判別式法巧妙構(gòu)建對應(yīng)的不等式,利用不等式的求解來確定相應(yīng)的最值問題.

依題知,以上關(guān)于sin2x的二次方程有實根,則利用判別式Δ=(t+3)2-16t≥0,整理得t2-10t+9≥0,解得t≥9,或t≤1(舍去).

故選擇答案:B.

點評:合理聯(lián)系三角關(guān)系式,巧妙放縮,結(jié)合換元處理以及方程的構(gòu)造,利用判別式法將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題,實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.方程的構(gòu)造對于解決參數(shù)值的求解與取值范圍的確定,以及代數(shù)式的取值范圍(或最值)等有奇效,借助方程的求根以及判別式等來綜合應(yīng)用.

3 構(gòu)造數(shù)列妙解題

例3(2023屆蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,若對任意正整數(shù)n,Sn+1=-3an+1+an+3,Sn+an>(-1)na,則實數(shù)a的取值范圍是( ).

分析:根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合條件中數(shù)列遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,整體化處理與思維切入,進(jìn)而巧妙構(gòu)造新數(shù)列,利用新數(shù)列的基本知識來分析與解決,進(jìn)而綜合題設(shè)中的數(shù)列不等式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化,得以巧妙解決參數(shù)的取值范圍問題.

解析:構(gòu)造數(shù)列{bn},使得bn=Sn+an,則bn+1=Sn+1+an+1.

結(jié)合Sn+1=-3an+1+an+3,可得

Sn+1=-2an+1-(Sn+1-Sn)+an+3.

整理,可得2(Sn+1+an+1)=(Sn+an)+3,即2bn+1=bn+3,亦即2(bn+1-3)=bn-3.

故選擇答案:C.

點評:在處理一些復(fù)雜的數(shù)列問題時,巧妙構(gòu)造新數(shù)列來分析,讓人耳目一新,成為解決問題的一種 “巧技妙法”.這里要依據(jù)問題中數(shù)列遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)造新數(shù)列,進(jìn)而合理變形與轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)問題的化歸,結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)知識與相關(guān)公式合理構(gòu)造,優(yōu)化解題,提升效益.

4 構(gòu)造圖形妙解題

例4〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(三)數(shù)學(xué)試卷(2023年3月)·8〕已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

分析:根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合平面向量的幾何內(nèi)涵或?qū)?yīng)的幾何意義,從“形”的視角切入,通過構(gòu)造平面幾何圖形,利用數(shù)形結(jié)合來加以直觀想象,從幾何特征層面來研究對應(yīng)的問題.

由a·b=1,a·c=-1,b·c=0,結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義,可得AB⊥OA,DC⊥DO,OB⊥OC,如圖1所示.

圖1

故選擇答案:C.

點評:本題合理構(gòu)造平面幾何圖形,結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義,從射影、垂直等視角來直觀處理,利用圖形直觀,結(jié)合“動”態(tài)變化規(guī)律來解決“靜”態(tài)的最值問題.構(gòu)造平面幾何圖形往往可以解決平面向量、三角函數(shù)、解三角形等相關(guān)問題,構(gòu)造平面解析幾何圖形往往可以解決直線與圓、圓錐曲線等相關(guān)問題,構(gòu)造立體幾何圖形往往可以解決空間幾何體等應(yīng)用問題.

在實際解決數(shù)學(xué)問題時,利用構(gòu)造法巧妙解題與應(yīng)用沒有固定的模式與程序,往往可以從“數(shù)”的視角構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列等代數(shù)模型,也可以從“形”的視角構(gòu)造向量、圖形等幾何模型,不可生搬硬套.

具體解題時,關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系,合理構(gòu)建相應(yīng)的鏈接.合理通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造來產(chǎn)生聯(lián)系,進(jìn)而構(gòu)建起“已知”與“所求(所證)”之間的“橋梁”,從而使得問題的解決另辟蹊徑,問題的處理水到渠成,在一定程度上有效提升數(shù)學(xué)能力,強(qiáng)化數(shù)學(xué)解題技能,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).