2022年高考立體幾何的命題考查與分析

? 江西省贛州市贛縣中等專業(yè)學(xué)校 蔡建華

筆者對2022年全國甲、乙卷,新高考卷以及自主命題的北京卷的立體幾何試題進行分析,發(fā)現(xiàn)2022年高考中立體幾何部分的試題更加關(guān)注場景設(shè)計與設(shè)問技巧,合理倡導(dǎo)回歸教材、教學(xué)銜接與教學(xué)指導(dǎo),為進一步落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與教學(xué)改革指明方向.

1 緊扣教材,引導(dǎo)教學(xué)回歸

例1(2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科·15)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為______.

分析:根據(jù)題意,由組合數(shù)公式計算“從正方體的8個頂點中任選4個”的取法種數(shù),特別關(guān)注其中“4個點在同一個平面”的情況,由古典概型公式計算可得答案.

記A=“這4個點在同一個平面”,則A包含底面2種和側(cè)面4種、對角面6種,一共12種情況.

點評:試題以古典概型的求解來創(chuàng)新設(shè)置,而實際考查的是正方體的幾何性質(zhì)與圖形結(jié)構(gòu)特征,利用正方體中點、線、面等相關(guān)元素的位置關(guān)系進行直觀分析,結(jié)合合理的計數(shù)問題來解決,實現(xiàn)知識的交匯,強化數(shù)學(xué)思維的開拓與應(yīng)用.而問題考查的實質(zhì)還是正方體、長方體、圓柱、球等這些基本空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及對應(yīng)的幾何性質(zhì),要求學(xué)生對這些基本圖形、基本性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征等“爛熟于心”,并會加以直觀想象與實際應(yīng)用.

2 依托基本圖形,落實“四基”“四能”

例2(2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·9)(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( ).

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析:根據(jù)題意,以基本的正方體為圖形背景,通過正方體的幾何性質(zhì),結(jié)合線線垂直、線面垂直的性質(zhì)與判定等判斷選項A,B;結(jié)合直線與平面所成角的概念與性質(zhì)來分析并判斷選項C,D.

解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,于是BC1⊥DA1,BC1⊥CA1,故選項A,B正確.

而直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°,故選項D正確.

綜上分析,故選擇答案:ABD.

點評:試題命制意圖在于依托正方體這一基本圖形,借助異面直線所成的角、直線與平面所成的角等概念與性質(zhì)的應(yīng)用,考查基礎(chǔ)知識與基本能力.此類依托基本圖形的立體幾何問題,借助基本概念與基礎(chǔ)知識的考查與應(yīng)用,注重通性通法,淡化特殊解題技巧,全面落實數(shù)學(xué)的“四基”與“四能”,也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與改革指明方向.

3 注重幾何聯(lián)系,凸顯幾何直觀

例3(2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為( ).

分析:根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)點P在底面ABC內(nèi)的投影為點O,根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得OA的長,并結(jié)合勾股定理求得OP的長,結(jié)合幾何直觀,進而知動點Q表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,從而得以分析與求解.

解析:如圖1,設(shè)點P在底面ABC內(nèi)的射影為點O.

圖1

所以動點Q的軌跡是底面ABC內(nèi)以O(shè)為圓心,半徑為1的圓及其內(nèi)部區(qū)域,則其對應(yīng)的面積為πr2=π.

故選擇答案:B.

點評:試題命制意圖在于從一些基本、熟悉、關(guān)聯(lián)或類比的創(chuàng)新情境中,借助數(shù)學(xué)的眼光,以數(shù)學(xué)視角來切入,構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,尋找相應(yīng)的研究對象與目標(biāo)元素,發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系等,探索解題的途徑與方法.此題結(jié)合集合語言考查學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化劃歸思想,引導(dǎo)教學(xué)要從立足學(xué)生核心素養(yǎng)出發(fā),從基礎(chǔ)“有圖用圖”上升到“無圖想圖”,突出立體幾何的直觀想象能力,以及立體幾何中“觀察、判斷、計算、證明”的基本解題途徑與基本步驟.

4 關(guān)注素養(yǎng)考查,強調(diào)能力立意

例4(2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時,其高為( ).

分析:根據(jù)題意分析,當(dāng)四棱錐為正四棱錐時其體積最大.設(shè)出四棱錐底面邊長,結(jié)合勾股定理的應(yīng)用確定棱錐的高并得出棱錐體積的表達式,利用均值不等式來確定對應(yīng)的最值,進而求解體積取最值時對應(yīng)的參數(shù)值.

于是,該四棱錐的體積

故選擇答案:C.

點評:該題為球內(nèi)四棱錐體積的最大值問題,考查直觀想象與邏輯推理等核心素養(yǎng),要求學(xué)生有較強的空間想象能力和分析問題的能力,將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題,可以利用均值不等式來處理,也可以通過函數(shù)的構(gòu)建,利用導(dǎo)數(shù)來求解.

總體上來看,通過對全國甲、乙卷,新高考卷以及自主命題的北京卷等相關(guān)試卷的命題分析,發(fā)現(xiàn)2022年高考立體幾何試題的命制繼續(xù)遵循《中國高考評價體系》,貫徹高考改革與創(chuàng)新,立足“立德樹人”,彰顯其特殊的育人價值.2022年高考試題中立體幾何部分的考查穩(wěn)中有變,變中有新,更加突出空間想象能力與直觀想象素養(yǎng),同時關(guān)注邏輯推理與數(shù)學(xué)運算,更加關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)品質(zhì),以及數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等各方面的綜合與考查.