由2022年高考數(shù)學(xué)開放題引發(fā)的思考

? 廣州市從化區(qū)流溪中學(xué) 劉 容

1 聚焦高考試題,明晰教學(xué)方向

《中國高考評價體系說明》明確指出:高考基本功能——服務(wù)選材;基礎(chǔ)教育對高考的現(xiàn)實要求——引導(dǎo)教學(xué).高考命題觀念從“基礎(chǔ)知識立意”“技能立意”向“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”過渡.2022年,教育部教育考試院命制了六套新高考數(shù)學(xué)試卷,包括全國甲卷文、理試卷,乙卷文、理試卷,以及新高考的Ⅰ、Ⅱ試卷(不分文理),六套考卷中有五套設(shè)制了開放式問題,按類型分為:結(jié)果開放、條件開放、條件和結(jié)果均開放(綜合開放式).

考題溯源:人教A版選擇性必修第一冊第124頁練習(xí)4“雙曲線的漸近線方程為y=±2x,虛軸長為4,求雙曲線的標準方程”,弱化條件可變式為“雙曲線的漸近線方程為y=±2x,求雙曲線的離心率”.此變式題仍是封閉題,再次弱化條件“漸近線”,抓住漸近線的特性,與雙曲線無公共點,即衍生出此高考題.

聚焦點2:(2022新高Ⅰ卷填空題第14題)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線方程______.

考題溯源:此題由人教A版選擇性必修第一冊第98頁練習(xí)1“已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:x2+y2-8x-6y+16=0,判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系”演變而來.教材中,關(guān)于圓與圓的位置關(guān)系的例習(xí)題,出現(xiàn)得較多的是求相交圓的公共弦問題,對于相切問題僅要求會判斷兩圓的位置關(guān)系即可,此考題是對相切知識點的補充考查.

聚焦點3:(2022全國乙卷文、理填空題第14題)過四點(0,0),(4,0),(-1,-1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為______.

考題溯源:此題源自人教A版選擇性必修第一冊第86頁例4“求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個圓的圓心坐標和半徑”.

(1)求C的方程;

聚焦點3與聚集點4對應(yīng)的考題是現(xiàn)在比較流行的開放題類型,問題的前提條件、處理方式和結(jié)果之間具有某種不明確的關(guān)聯(lián),從而使得問題的基本條件、解題方法與結(jié)論都呈現(xiàn)出非常大的開放性.因為學(xué)生思考問題的視角和知識能力有所不同,解題的方式必然存在差異,方法多樣,得到的結(jié)論自然也不相同.此類題目學(xué)生可以自由選擇個人比較喜歡的條件作答,賦予學(xué)生自主獨立探究問題的余地,可以開闊他們的思路,培養(yǎng)創(chuàng)新和遷移意識.

2022年高考數(shù)學(xué)大看點:創(chuàng)新試題類型,進一步提高試題的開放性,指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題.數(shù)學(xué)高考設(shè)置開放性試題并不是為了減少對數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本概念的考核,而是“以考促學(xué)”,指引學(xué)生注重訓(xùn)練思維的靈活性,充分把握知識點的內(nèi)涵與外延,以及獲取并遷移信息的能力.“考向即方向”,2022年高考題為一線教師指出了一個教學(xué)新方向,即在教學(xué)中有效開展開放題教學(xué),為學(xué)生提供寬廣的想象、探究和創(chuàng)新空間,有效訓(xùn)練學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力,開發(fā)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造性思考問題的能力,進而培養(yǎng)“終身學(xué)習(xí)的能力”.通過考題溯源,聚焦點1～3的考題都可以在教材例習(xí)題中找到源頭,契合“源于教材,高于教材”的高考命題思路,同時也讓我們認識到教材例習(xí)題的價值.

2 挖掘教材例習(xí)題,引導(dǎo)編設(shè)開放題

本文中主要思考如何引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘教材中的例題、習(xí)題,并將之改編為開放性試題.通過利用身邊的題庫——教材,引導(dǎo)他們“回歸教材、關(guān)注教材”,充分發(fā)揮教材的應(yīng)用功能.

2.1 條件開放,層出不窮

條件開放性數(shù)學(xué)題的設(shè)計比較簡單,可以把課本中的例題、習(xí)題的條件弱化一個甚至取消一個,就能夠改編為一個有意義的條件開放性問題.

如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第158頁練習(xí)2:已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是( ).

A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b?β

C.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β

解決條件開放性問題,實質(zhì)是探尋結(jié)論成立的充分條件.因而,此題只需把選擇題改成填空題“已知直線a,b與平面α,β,γ,寫出一個能使α⊥β成立的條件______”,即可得到一道思考方向非常廣闊的條件開放性試題.

再如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第54頁第22題可改編成:

從下面三個條件中任選一個補充在問題中,使得三角形存在,并求b的值:

①(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB);

此題三個供選擇的條件還可以有多種變化,開放度非常大,但又不偏離教學(xué)內(nèi)容.因此,可以讓學(xué)生自己設(shè)計,然后自己解決,或者同學(xué)之間交換解決彼此出具的問題,這樣不僅可以促進生生交流,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的氛圍更加濃厚,還可以讓教材的習(xí)題變成取之不盡的題庫.

2.2 結(jié)論開放,百花齊放

教學(xué)時,只要在幾個條件充足、結(jié)果明顯而簡單的問題中隱去結(jié)論,就可設(shè)置為結(jié)論多樣化的開放性問題.如,人教A版必修第一冊第214頁第15題“已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù),若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值”.學(xué)生利用周期和奇函數(shù)的定義不難得出f(1)=f(-1+2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0;f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1.解決此題還可以構(gòu)造符合已知條件的函數(shù)來求值,滿足定義在R上周期為2且f(0.5)=1的奇函數(shù)可以是f(x)=sin πx,由此得出f(1)=0,f(3.5)=-1,雖然作為解答題過程不嚴謹,但這樣很容易引導(dǎo)學(xué)生將此題改編為“寫出一個定義在R上周期為2的奇函數(shù)______”;再弱化條件“寫出一個周期為2的奇函數(shù)______”.習(xí)題并不難,在教師指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)的過程中,極易調(diào)動學(xué)生的學(xué)生興趣,解決自己提出的問題會更容易讓學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中.

這些由教材例題、習(xí)題改編的開放題,容易被學(xué)生接納,每位學(xué)生都能根據(jù)個人的基礎(chǔ)收獲不同的成果,真正做到數(shù)學(xué)課堂,人人有所得,同時也讓學(xué)生逐步養(yǎng)成熱愛思考、熱衷創(chuàng)造的良好品質(zhì).

善于發(fā)現(xiàn)問題并大膽提出問題比解決問題更關(guān)鍵.再如,學(xué)習(xí)了線面垂直的判定定理后,布置學(xué)生完成人教A版必修第二冊第163頁綜合運用第14題:如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC嗎?引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)條件不變的情況下,是否還能得出其他結(jié)論?(2)能否弱化或刪除某條件,改成條件開放題?(3)調(diào)換條件和結(jié)論的位置,命題是否仍然成立?

圖1

在教師的啟發(fā)下,學(xué)生編設(shè)了以下開放題:

(1)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能得出哪些結(jié)論?(從空間元素的位置關(guān)系、等量關(guān)系,以及空間角等方面進行思考.)

(2)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,你能增加一個條件,使得CD⊥AB嗎?

(3)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,從下面三個條件①②③中選出兩個作為條件,證明另一個成立:①AC=BC;②AB⊥VD;③D是AB的中點.

在課堂上指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)開放題,促使他們積極思考“條件能不能改變或弱化”“還能不能得出其他結(jié)論”“結(jié)論是否能推廣”“條件和結(jié)論之間是充分、必要還是充要關(guān)系”“還能不能探索出其他解法”等提升性問題.這樣的方式可有效讓學(xué)生變“被動式”學(xué)習(xí)為“主動式”學(xué)習(xí),并幫助他們積極地創(chuàng)設(shè)新情景和問題,在新情景與問題中有效交流,進而深化對知識的理解與掌握.

3 開放教學(xué)過程,提升核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的“六大”核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)課程標準中提到,“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的”.新高考數(shù)學(xué)試卷中開放題出現(xiàn)得越來越頻繁,我們也不難發(fā)現(xiàn),新教材習(xí)題中設(shè)置的開放題所占比例也越來越大,因此要洞悉高考、教材的導(dǎo)向作用,順應(yīng)教育要求,加大開放題教學(xué)的程度.開放題教學(xué)可以設(shè)計在情境引入、新知識探究、知識應(yīng)用等各個環(huán)節(jié),但并不是每個環(huán)節(jié)都需要設(shè)計開放題,有效設(shè)計即可.

如,學(xué)習(xí)人教A版必修第二冊第八章中“棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積”時,結(jié)合教科書中只要求學(xué)生知道公式,“會算”即可,推遲對“會證”的要求,以及高中課程方案中描述的“學(xué)”,即“具有強烈的好奇心、積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和濃厚的學(xué)習(xí)興趣”,教學(xué)時可以設(shè)計公式應(yīng)用型的開放題組:構(gòu)造三個多面體,使它們的體積均為24;構(gòu)造三個棱長相同的不同多面體,使它們的體積均為24;構(gòu)造三個棱長相同的不同多面體,使它們的表面積都是24.題目難度不大,但結(jié)果的開放程度較大,容易入手,極易激起學(xué)生的“好奇心”與解決問題的“學(xué)習(xí)興趣”.在避免機械記憶公式的情況下,既能讓學(xué)生有效、熟練掌握公式,提高學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的積極性,又能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算和建模(幾何模型)素養(yǎng).

再如,人教A版必修第二冊中,探究直線與平面垂直的性質(zhì)時,以問題為驅(qū)動設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié):

問題已知直線與平面垂直,則該直線與這個平面內(nèi)的所有直線是什么位置關(guān)系?

師生活動:在一般觀念的引領(lǐng)下,先對已知直線與平面內(nèi)的直線具有的位置關(guān)系有個整體了解,然后再添加新的直線、平面進行探究.

追問1:在研究直線與平面垂直的性質(zhì)時,除了研究已有的線線關(guān)系,還可進行怎樣的研究?

師生共同探究,確定“加入新的直線或平面,尋找不變的性質(zhì)”.

追問2:如果在線面垂直的前提下加入新的直線或平面,如,已知a⊥α,b?α,β是與α不重合的平面,a?β,你能得出哪些結(jié)論?

學(xué)生自主探究,相互交流,得出一些結(jié)論.然后每組選一名代表發(fā)言,學(xué)生共同對學(xué)生代表提出的結(jié)論進行辨析并完善,錯誤的舉出反例辯駁.學(xué)生提到了以下結(jié)論:

(1)若b∥a,則b⊥α;

(2)若b∥α,則b⊥a;

(3)若b⊥a,則b∥α;

(4)若b⊥α,則b∥a;

(5)若β∥α,則a⊥β.

此教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置的追問1和追問2屬于開放性問題,環(huán)環(huán)相扣,讓學(xué)生經(jīng)歷了一系列線線、線面、面面平行以及線線、線面垂直的性質(zhì)研究,從而逐步掌握怎樣有邏輯地思考問題,分析問題,發(fā)現(xiàn)新問題,逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直覺思考和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).