求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的四種方法

? 甘肅省白銀市第一中學(xué) 姜 雪

離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn).均值或數(shù)學(xué)期望,反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,方差或標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,均值與方差是隨機(jī)變量的兩個(gè)重要的數(shù)字特征.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差有定義分析法、性質(zhì)求解法、圖象轉(zhuǎn)化法、特殊分布法四種方法.

1 定義分析法

ξi-101P14pi1-14pi-pi4pi4

A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)

C.E(ξ1)>E(ξ2) D.E(ξ1)

分析:先求數(shù)學(xué)期望,再求方差,最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.

解:根據(jù)分布列,可得

例2(2022·浙江湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè))設(shè)0

X012P2-a313b

則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)( ).

A.D(X)增大 B.D(X)減小

C.D(X) 先減小后增大 D.D(X)先增大后減小

分析:根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),結(jié)合方差的公式,將方差用參數(shù)a來表示,應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)研究方差隨a的變化而增大或減小的規(guī)律.

因?yàn)?

評(píng)注:利用定義法解決此類問題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩點(diǎn).一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不牢,無從著手;二是計(jì)算能力差,不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.

2 性質(zhì)求解法

利用離散型隨機(jī)變量均值、方差的性質(zhì)求均值、方差,所用到的性質(zhì)主要有:E(C)=C(C為常數(shù));E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù));E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);如果X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2),D(X±Y)=D(X)±D(Y);D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

X-202P0.40.30.3

求D(X).

解:E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2.

又由隨機(jī)變量期望的公式,有

E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8.

故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.8-0.04=2.76.

例4一次測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成,每題選對(duì)得4分,不選或錯(cuò)選得0分,滿分100分.某學(xué)生選對(duì)任一題的概率是0.8,求該生在這次測(cè)試中成績的方差.

分析:由于每題選對(duì)得4分,故4乘選對(duì)的選擇題個(gè)數(shù)就是該生在這次測(cè)試的成績.

解:設(shè)選對(duì)的選擇題個(gè)數(shù)為ξ,則測(cè)試的成績?yōu)?ξ.

于是E(4ξ)=4E(ξ)=4×25×0.8=80,D(4ξ)=42D(ξ)=16×25×0.8×(1-0.8)=64.

故該生在這次測(cè)試中成績的方差為64.

評(píng)注:在該題中,測(cè)試成績4ξ被稱為是“復(fù)合型”的隨機(jī)變量.運(yùn)用方差的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算方差時(shí),要把握好兩點(diǎn).其一要記準(zhǔn)方差有哪些性質(zhì);其二要判斷選取哪個(gè)變量為獨(dú)立的隨機(jī)變量,然后“復(fù)合”成所要求的隨機(jī)變量,這是最為關(guān)鍵的一步.

3 圖象轉(zhuǎn)化法

正態(tài)分布是自然界最常見的一種連續(xù)型概率分布,又稱為常態(tài)分布,許多分布都可以用正態(tài)分布來近似描述.與其相關(guān)的試題背景新穎、生活氣息濃厚,也倍受命題者青睞.

例5設(shè)隨機(jī)變量X～N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2

分析:根據(jù)題目中“正態(tài)分布N(3,1)”,畫出其正態(tài)密度曲線圖(如圖1).根據(jù)對(duì)稱性,由P(X>4)=p可求P(2

圖1

解:因?yàn)閄～N(3,1),所以觀察圖1可得P(24)=1-2p.

故選:C.

評(píng)注:X～N(μ,σ2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,且概率的和為1,在關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等.

例6(2022·新高考Ⅱ卷第13題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(22.5)=______.

解:因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5.因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2

評(píng)注:借助正態(tài)分布曲線直觀分析出曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱,得出P(X>2.5)與P(2

4 特殊分布法

利用常用特殊分布求有些實(shí)際問題中隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí),可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布、超幾何分布等常見的典型分布,若是,可直接利用特殊分布的均值、方差公式求得.

例7(2022·新華區(qū)模擬)已知袋子中有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和8個(gè)白球,現(xiàn)從中有放回地摸球8次(每次摸出一個(gè)球,放回后再進(jìn)行下一次摸球),規(guī)定每次摸出紅球計(jì)3分,摸出白球計(jì)0分,記隨機(jī)變量X表示摸球8次后的總分值,則D(X)=( ).

分析:此題中隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,利用二項(xiàng)分布方差公式即可求解.

又X=3Y,根據(jù)方差的性質(zhì),可得

故選:D.

評(píng)注:若離散型隨機(jī)變量X～B(n,p),則E(X)=np,方差公式D(X)=np(1-p).

分析:此題中隨機(jī)變量多服從超幾何分布,利用超幾何分布期望公式即可求解.

故選:C.