幾個重要不等式在不等式證明中的應(yīng)用

? 安徽省界首中學(xué) 郭西鋒

不等式證明在高考全國卷中是必考題型,題目難度中等,解答此類問題,只要掌握常見題型的處理方法及求解策略,便不難得分.本文中就此類問題所涉及的解題方法及解題工具進(jìn)行梳理,并舉例分析.

1 題型特征

在高考中關(guān)于不等式證明選講內(nèi)容的命題類型大多為二元或三元不等式的證明,其中各元均為正數(shù),且給出二元或三元滿足的某些條件,證明所給不等式成立.已知或所證關(guān)系式中常常含有根式、一次式、二次式或三次式,從結(jié)構(gòu)來看往往具有對稱關(guān)系.

2 方法策略

解題中所涉及的證明方法主要有:分析法,綜合法、反證法等.這些是我們常用的證明方法,具體不再贅述.

常用的工具主要有:均值不等式、柯西不等式、絕對值三角不等式、權(quán)方和不等式等.另外,在某些競賽題目中還會涉及排序不等式、琴生不等式等.

3 工具應(yīng)用

3.1 均值不等式

點(diǎn)評:本題已知條件是有關(guān)三個元和的形式,所證的關(guān)系式中含有積的形式,因此不難想到利用均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明.在高中階段,不等式證明中應(yīng)用較多的是二元和三元均值不等式.對于不滿足均值不等式條件的證明問題,可先構(gòu)造再應(yīng)用,構(gòu)造的方式主要有“添項”“拆項”等.

3.2 柯西不等式

例2已知x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

解析:(1)由x+y+z=1,結(jié)合三元柯西不等式,可以得到3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]=(12+12+12)[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=4.

點(diǎn)評:柯西不等式是處理不等式證明問題的常用工具,對于不具備應(yīng)用條件的不等式,可通過拆項、結(jié)構(gòu)變形、引入數(shù)組等進(jìn)行構(gòu)造,如本題中兩次應(yīng)用柯西不等式,均利用了3=12+12+12進(jìn)行構(gòu)造.

3.3 權(quán)方和不等式

例3(2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+4c2=3,求證:

(1)a+b+2c≤3;

點(diǎn)評:本題的證明綜合使用了柯西不等式與權(quán)方和不等式,應(yīng)用中要準(zhǔn)確把握題目所給及所證關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的不等式來求解.

3.4 絕對值三角不等式

絕對值三角不等式:|a|+|b|≥|a+b|,其中a,b為實(shí)數(shù),等號成立的條件是ab≥0.將上式中的b換為-b,則有|a|+|b|≥|a-b|,等號成立的條件是ab≤0.將兩式綜合,可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,a,b為實(shí)數(shù).

由絕對值三角不等式,得|3a+3b|+|2a-2b|≥|(3a+3b)+(2a-2b)|=|5a+b|,所以|5a+b|≤1.

點(diǎn)評:與絕對值有關(guān)的不等式恒成立或證明問題,通常可借助絕對值三角不等式實(shí)現(xiàn)不等式的證明.

總之,只要我們能夠掌握這些重要不等式的應(yīng)用條件及其相應(yīng)的變形、構(gòu)造技巧,并結(jié)合所證式子的結(jié)構(gòu)特征,即可靈活處理二元或多元不等式的證明問題.