基于GeoGebra的函數(shù)性質(zhì)探究
——以“冪函數(shù)”教學(xué)設(shè)計為例

? 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 謝 濤 程國忠

冪函數(shù)是繼函數(shù)概念及其基本性質(zhì)后所學(xué)習(xí)的第一種基本初等函數(shù)模型.通過對冪函數(shù)的學(xué)習(xí),構(gòu)建出研究一類函數(shù)的基本方法,即定義與表示—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用.在教學(xué)中,大部分教師選擇讓學(xué)生通過觀察圖象,感知和發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì).然而,觀察圖形變化是處理教學(xué)難點的一個關(guān)鍵因素,并且此過程中,函數(shù)圖象均處于靜態(tài),學(xué)生難以感受到變化中的不變性,導(dǎo)致教學(xué)活動缺乏探究性,學(xué)生思維缺乏主動性.為解決這些問題,本文中基于GeoGebra(以下簡稱GGB)開展探究活動,對新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第三章第3節(jié)“冪函數(shù)”進行了如下教學(xué)設(shè)計.

1 回顧舊知,引出課題

問題1前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)函數(shù)的哪些知識?

設(shè)計意圖:通過復(fù)習(xí)回顧所學(xué)內(nèi)容,在學(xué)生原有的知識體系中生長出新的知識,幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系,探尋研究路徑.

問題2利用已有知識,請同學(xué)們解決下列5個問題.

(1)如果張紅購買了價格為1元/kg的蔬菜wkg,那么她需要支付p元,則p=______.

(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=______.

(3)如果立方體的棱長為a,那么立方體的體積V=______.

(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長a=______.

(5)如果某人ts內(nèi)騎車行進了1 km,那么他騎車的平均速度v=______.

追問1:如果去掉這些變量的實際意義,將自變量用x來表示,因變量用y來表示,上述五個式子分別如何表示?

追問2:觀察抽象后的式子,它們在形式上都有哪些共同特征?

追問3:根據(jù)這些特征,可以用一個怎樣的式子進行概括?

師生共同歸納總結(jié),最終得到冪函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

設(shè)計意圖:“情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺”,創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)情境,有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.通過解決生活中的實際問題,抽象得到熟悉的函數(shù)模型,強化學(xué)生對函數(shù)概念的理解.通過3個追問,引導(dǎo)學(xué)生由這些特殊的函數(shù)概括出一般的形式,由特殊到一般,抽象出冪函數(shù)的定義.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng),促使學(xué)生感悟特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

2 合作探究,體驗過程

問題3根據(jù)初中研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的經(jīng)驗,我們該如何研究冪函數(shù)?

問題4分別畫出y=x,y=x2,y=x-1這三個函數(shù)的圖象,并研究它們各自具有哪些性質(zhì).

教學(xué)組織:學(xué)生體驗作圖過程,并從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面研究這三個函數(shù)的性質(zhì),同時明確定義域是研究一個函數(shù)其他性質(zhì)的前提.最后,教師借助GGB準確作圖,如圖1所示.

圖1

設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧研究一類函數(shù)的基本方法——圖象法,并以學(xué)生熟悉的三個具體函數(shù)作為對象展開研究,符合“最近發(fā)展區(qū)”理論.引導(dǎo)學(xué)生從圖象上直觀感受函數(shù)的基本性質(zhì),讓學(xué)生體驗“說”的過程,進而體會“形”是研究函數(shù)的一種重要方式.

追問1:它們之間有什么共同的特點?

追問2:將它們放在同一坐標系下,有何發(fā)現(xiàn)?

教學(xué)組織:教師將合并后的函數(shù)圖象(如圖2)在GGB上呈現(xiàn)出來,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的共性,鼓勵學(xué)生提出有關(guān)一般冪函數(shù)性質(zhì)的猜想,并借助GGB加以驗證.

圖2

發(fā)現(xiàn)1:這三個函數(shù)圖象有共同的交點,都經(jīng)過點(1,1).

猜想:冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,1).

探究:你能從代數(shù)的角度證明這一猜想嗎?

根據(jù)冪函數(shù)的解析式f(x)=xα,可知f(1)=1α=1,所以冪函數(shù)的圖象過點(1,1).

發(fā)現(xiàn)2:函數(shù)y=x,y=x-1是奇函數(shù),函數(shù)y=x2是偶函數(shù).

猜想:當指數(shù)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)是奇函數(shù);當指數(shù)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)是偶函數(shù).

探究:這是巧合還是必然呢?不妨借助GGB軟件來探究(如圖3).

圖3

首先,在GGB的繪圖區(qū)中創(chuàng)建兩個滑動條,分別表示奇數(shù)和偶數(shù),用于控制冪函數(shù)的指數(shù).其次,在代數(shù)區(qū)中輸入兩類冪函數(shù),繪制對應(yīng)的函數(shù)圖象.最后,拖動滑動條,讓學(xué)生觀察當指數(shù)α發(fā)生變化時函數(shù)圖象的特點,猜想得以驗證.

設(shè)計意圖:單獨研究每個對象時,要在變化中尋找不變性,即函數(shù)的性質(zhì),相對困難.因此,需引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用“分與合”這一思想,研究事物的個性與共性,認識事物之間的聯(lián)系.對于函數(shù)性質(zhì)的探究,信息技術(shù)不僅讓抽象的函數(shù)“動”了起來,也讓學(xué)生的思維“動”了起來,極大地提高了直觀性,有助于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

圖4

設(shè)計意圖:對于函數(shù)y=x3的圖象,在描點過程中,部分學(xué)生喜歡取整數(shù)點,導(dǎo)致其與函數(shù)y=x2的圖象在區(qū)間(0,1)上的位置關(guān)系拿捏不準.此時,引導(dǎo)學(xué)生在區(qū)間(0,1)上取點,并利用GGB實現(xiàn)交互,展示取點、列表、描點、連線繪制函數(shù)圖象的動態(tài)過程,借助信息技術(shù)突破教學(xué)中的難點,克服學(xué)生思維上的障礙.同時,從“形”的角度再次證明了前面兩個猜想的正確性.

追問1:再次觀察這五個函數(shù)的圖象,有何發(fā)現(xiàn)?

發(fā)現(xiàn)3:函數(shù)圖象在第一象限均有出現(xiàn),即冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義.

追問2:聚焦第一象限,有何發(fā)現(xiàn)?

猜想:當指數(shù)α>0時,冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;α<0時,冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.

探究:創(chuàng)建兩個滑動條,分別控制α>0和α<0.拖動滑動條,通過觀察函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的變化,學(xué)生可以直觀感受到這一猜想的正確性(如圖5).

圖5

追問3:當α<0時,函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減.遞減有怎樣的特點?函數(shù)值會隨著自變量的增大而無限減小嗎?

發(fā)現(xiàn)5:當α<0時,x→0+時,函數(shù)圖象無限接近于y軸;x→+∞時,函數(shù)圖象無限接近于x軸.

設(shè)計意圖:強化學(xué)生的作圖能力和歸納概括能力,強化學(xué)生通過代數(shù)運算和幾何直觀來研究函數(shù)性質(zhì)的方法.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達數(shù)學(xué)現(xiàn)象的能力.

3 自主歸納,提煉升華

根據(jù)探究得到冪函數(shù)的性質(zhì)如下:

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都通過點(1,1).

(2)當α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù);當α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).

(3)若α>0,則冪函數(shù)圖象過原點,并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).

(4)若α<0,則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當x從右邊趨近原點時,圖象在y軸右側(cè)無限逼近于y軸,當x趨向+∞時,圖象在x軸上方無限逼近于x軸.

4 學(xué)以致用,小試牛刀

例2利用冪函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個值的大小:

5 梳理知識,形成系統(tǒng)

問題7我們是如何研究冪函數(shù)性質(zhì)的?研究路徑是怎樣的?這一過程中學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

設(shè)計意圖:“思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂”,通過構(gòu)建思維導(dǎo)圖(圖6),總結(jié)研究對象所涉及的研究思路與方法,幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu),從而促使學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

圖6

新課程標準倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要適當?shù)乩眯畔⒓夹g(shù)進行輔助教學(xué).對于抽象程度較大的數(shù)學(xué)內(nèi)容,借助GGB的可視性,可建立起“抽象”通往“可見”的橋梁,為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路,為學(xué)生解決問題提供直觀.只有這樣,才能有效落實學(xué)生的“四基”與“四能”,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).