計及幅頻特性的多體受電弓參數(shù)匹配

王英，柳玉龍，陳小強

（蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，蘭州 730070）

電氣化鐵路通過受電弓與接觸網(wǎng)之間的電氣和機械接觸為機車提供電能。弓網(wǎng)系統(tǒng)的動態(tài)接觸性能成為影響列車運行質(zhì)量進而制約列車運行速度的重要因素。隨著列車運行速度的增加，受電弓系統(tǒng)的振動增大，導致受電弓接觸壓力波動增大。為了提高受電弓與接觸網(wǎng)之間的受流質(zhì)量，有必要探究受電弓與接觸網(wǎng)之間接觸壓力波動的原因，并提出相應的優(yōu)化方案。

文獻[1]考慮了附屬部件的影響，對高速鐵路接觸線波動速度公式進行了改進。文獻[2]考慮作動器飽和，進行了受電弓主動控制器的設計。文獻[3]探究了環(huán)境風對高速鐵路接觸線波動速度的影響。文獻[4]引入“機械阻抗”的概念研究受電弓頻率響應。文獻[5]采用頻率分析法研究了受電弓的機械阻抗。文獻[6]研究了受電弓的幅頻特性，分析了接觸壓力波動的原因，得到了線性受電弓參數(shù)與吊弦頻率的匹配關系。文獻[7]建立了高速受電弓的幾何關系模型。文獻[8]采用單目標優(yōu)化算法計算受電弓最優(yōu)幾何參數(shù)。文獻[9]基于三質(zhì)量塊受電弓參數(shù)靈敏度分類，采用優(yōu)化算法對參數(shù)進行優(yōu)化。文獻[10]采用解析法分析了受電弓質(zhì)量、剛度和阻尼對受電弓動態(tài)性能的敏感性。文獻[11]采用單臂受電弓三質(zhì)量積分模型和接觸線有限元法，評價了受電弓參數(shù)對不同列車速度下接觸壓力的影響。文獻[12]提出了考慮空氣阻尼的線性受電弓頻率匹配。

從弓網(wǎng)系統(tǒng)的微分方程出發(fā)，基于泰勒展開建立了弓網(wǎng)運動方程和垂向動力學模型；并考慮了受電弓與接觸網(wǎng)參數(shù)相互作用的影響，分析受電弓參數(shù)與接觸線參數(shù)的耦合效應及波動形成的原因，在分析結(jié)果的基礎上，提出了基于阻抗匹配的改進弓網(wǎng)系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)化策略，并實現(xiàn)了受電弓最優(yōu)參數(shù)的多變量優(yōu)化。

1 弓網(wǎng)耦合建模

1.1 接觸網(wǎng)建模

采用模態(tài)法，將接觸網(wǎng)看做是歐拉-伯努利梁模型進行接觸網(wǎng)數(shù)學建模。

對接觸網(wǎng)微分段進行受力分析，可得

式中：EI為轉(zhuǎn)動剛度；ρ為該微分段線密度；T為張力；C為系統(tǒng)阻尼；F（x,t）為微分段所受外力大??；y為接觸網(wǎng)的垂向位移；x為微分段水平坐標。

利用分離變量法對式（1）求解，得出承力索和接觸線的振動微分方程為：

式中：qam和qbm分別為承力索和接觸線相對應的第m階模態(tài)廣義位移；ρa和ρb分別為承力索和接觸線的密度；L為錨段長度；U為吊弦個數(shù)；V分別為支撐桿和定位器個數(shù)；x為受電弓與接觸線的接觸點的位置坐標；ωam和ωbm分別為承力索和接觸線的自由振動的圓頻率。

式中：Fa1（x,t）和Fa2（x,t）分別為吊弦和支撐桿施加在承力索上的作用力；Fb1（x,t）和Fb2（x,t）分別為吊弦和定位器施加于接觸線上的集中作用力；MA為支撐桿的質(zhì)量；MB為定位器質(zhì)量；MD為吊弦的質(zhì)量；KA為支撐桿的剛度；KD為吊弦的剛度。

1.2 受電弓的多體模型

在實際應用中，受電弓的質(zhì)量和剛度等模型參數(shù)隨著受電弓升弓角度α的變化而變化。受電弓是由弓頭、弓架等組成的空間結(jié)構(gòu)。為簡化分析，圖1為其等效受電弓的多體框架模型。

圖1 多體受電弓框架模型Fig.1 The multi-body pantograph framework model

圖1 中，以升弓角α作為自變量，根據(jù)拉格朗日方程，建立受電弓垂向振動微分方程，即：

式中：Ep為受電弓框架動能；Vp為對應的受電弓框架勢能；Elower為下臂桿動能；ETG為推桿動能；Eupper為上臂桿動能。

將式（11）代入式（10），得到受電弓框架運動微分方程為

式中MY為升弓轉(zhuǎn)矩。

在平衡位置附近對多體受電弓的運動微分方程進行高階展開，忽略高階項，受電弓架在平衡位置附近的等效振動微分運動為

圖2 受電弓等效模型Fig.2 The equivalent model of the pantograph

受電弓等效模型的動態(tài)方程為：

式中：MH和MF分別為弓頭和框架的質(zhì)量；KH和KF分別為弓頭和框架的剛度；CH和CF分別為弓頭和框架的阻尼；YH和YF分別為弓頭和框架的垂向位移。受電弓無阻尼時的振動方程為：

設受電弓固有頻率為λ，那么λ滿足

根據(jù)式（22），計算得到

將數(shù)據(jù)代入式（23）得到受電弓的固有頻率為4.74 Hz。

以蘭新線CRH2 動車組為例，車頂受電弓類型為SS400+受電弓，其具體參數(shù)如表1 所示。

表1 SS400+受電弓的的二質(zhì)量塊模型物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of the two-mass block model for the SS400+pantograph

1.3 弓網(wǎng)耦合

聯(lián)立式（6）～式（9）和式（20）可得弓網(wǎng)耦合動力學方程，受電弓與接觸網(wǎng)間的接觸壓力可通過罰函數(shù)法求得。設接觸剛度為Ks，則

1.4 模型驗證

選歐洲標準[13]EN50318 中的弓網(wǎng)模型參數(shù)，建立10 跨接觸網(wǎng)模型，列車運行速度選為250 km/h和300 km/h，接觸壓力通過0～20 Hz 低通濾波。表2 為模型仿真結(jié)果與EN50318 標準對比，仿真結(jié)果在標準范圍內(nèi)，模型可靠。

公司以經(jīng)協(xié)商變更勞動合同未達成協(xié)議為由向成銳送達了解除勞動合同通知書，與成銳解除勞動合同的行為亦不符合法律規(guī)定，因此，二審法院認為，原審法院認定公司上述行為屬于違法解除勞動合同，應當向成銳支付違法解除勞動合同賠償金并無不當。公司的上訴意見與法律規(guī)定不符，對其上訴意見不予采納。

表2 仿真結(jié)果與EN50318 標準模型對比Tab.2 Comparison of simulation results with the EN50318 standard model

2 接觸壓力波動原因分析

當受電弓有以振幅B1、振動角頻率ωb的接觸線入射波波動時，受電弓的接觸力變化為[14]

接觸力變化振幅Fp可表示為

當接觸線的波動（反向波）從受電弓運行方向前方入射時取正號，當接觸線波動（行波）從受電弓運行方向后方入射時取負號。從移動坐標系看時入射受電弓的-i（1±β）ωbB1相當于接觸線波動的上下速度的振幅。Z等效于接觸線和受電弓耦合時的機械阻抗，由接觸線和受電弓的參數(shù)決定。由式（26）可知，受電弓接觸力的變化與入射受電弓接觸線波動的速度振幅成正比。隨著動車的運行，受電弓在吊弦處往往會產(chǎn)生復雜的機械波影響弓網(wǎng)間的接觸壓力大小。

由式（26）可知，在其它量不變的情況下，減小受電弓機械阻抗Zp可以減小振幅Fp，忽略升弓力F，對式（21）進行拉普拉斯變換，整理得：

受電弓的機械阻抗可以定義為接觸壓力的變化量和弓頭速度的比值，即

式中：

令s=j·2πf，得到多體受電弓的幅頻特性曲線。|H（j·2πf）|的大小表明了在該頻率下的受電弓機械阻抗的大小。由圖3 可以看出，多體受電弓系統(tǒng)的幅頻響應和頻率呈非線性關系，存在極小值fz1和fz2。通過分析可知如果能夠調(diào)整受電弓參數(shù)使其達到合適的值，可以明顯減小幅值。

圖3 受電弓幅值頻率曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve of the pantograph

3 受電弓參數(shù)的頻率匹配

受電弓通過吊弦時，受電弓的抬升量發(fā)生微小的變化，通過吊弦后，受電弓抬升量逐漸變大。在跨距中間時，受電弓抬升量的周期大約為吊弦的振動周期。因此讓受電弓的振動周期接近吊弦振動周期，就可以達到優(yōu)化受電弓參數(shù)、減小波動的目的。本節(jié)做的工作就是改變受電弓的參數(shù)，使其轉(zhuǎn)折頻率fz2接近吊弦頻率fd（后面討論讓fz2而不是fz1接近fd的原因）。

假設受電弓運行速度為v，接觸網(wǎng)吊弦間距為d，吊弦距離與列車速度的比值為受電弓通過吊弦的時間，因此可定義接觸網(wǎng)吊弦振動頻率fd=v/d。以蘭新高速鐵路SS+400 型受電弓和CTMH150 接觸網(wǎng)進行研究，蘭新高鐵車速v=200 km/h，接觸網(wǎng)相鄰吊弦間距d=5 m。根據(jù)計算的吊弦頻率fd=13.88 Hz。由圖3 可知fz2＞fz1，易通過調(diào)整參數(shù)使fz2接近fd。

受電弓參數(shù)與受電弓機械阻抗是非線性關系，無法通過解析計算得出轉(zhuǎn)折頻率等于吊弦頻率時受電弓參數(shù)的具體數(shù)值。但可以通過改變受電弓參數(shù)，使受電弓幅頻特性曲線發(fā)生移動，從而使受電弓振動轉(zhuǎn)折頻率接近吊弦頻率。下面通過單一變量法改變其中某個參數(shù)的值使轉(zhuǎn)折頻率fz2接近吊弦頻率fd。

剛度對幅頻特性的影響如圖4 所示。受電弓質(zhì)量對幅頻特性的影響如圖5 所示。

圖4 剛度對幅頻特性的影響Fig.4 The influence of stiffness on amplitude-frequency characteristics

圖5 受電弓質(zhì)量對幅頻特性的影響Fig.5 The influence of pantograph mass on amplitude-frequency characteristics

分析圖4 和圖5 的數(shù)據(jù)，可以得到以下結(jié)論：

1）由圖4a）可知，改變弓頭剛度KH，轉(zhuǎn)折頻率fz2變化明顯，且隨著KH的增大受電弓幅頻特性曲線向右移動，受電弓的頻率響應對KH比較敏感。

2）由圖4b）可知，改變框架剛度KF，轉(zhuǎn)折頻率fz2對應響應增大，但轉(zhuǎn)折頻率fz2的數(shù)值沒有明顯的變化。

3）由圖5a）可知，改變弓頭質(zhì)量MH，轉(zhuǎn)折頻率fz2無明顯變化。

4）由圖5b）可知，改變框架質(zhì)量MF，轉(zhuǎn)折頻率fz2變化明顯，受電弓的頻率響應對MF比較敏感。

進一步縮小KH和MF的區(qū)間范圍，得到fz2隨KH和MF的變化如圖6 所示。

圖6 最優(yōu)參數(shù)值Fig.6 Optimal parameter values

當KH=45 000 時，fz2=13.816；當MF=25 時，fz2=13.757。將數(shù)據(jù)代入，仿真得到的接觸壓力標準差如表3 和表4 所示。由表3 和表4 可知，隨著轉(zhuǎn)折頻率與吊弦頻率的差值越來越小，接觸壓力標準差也越來越小。

表3 不同KH 下的標準壓力差Tab.3 Standard pressure difference for different KH values

表4 不同MF 下的壓力標準差Tab.4 Standard deviation of pressure for different MF values

以上是單一變量優(yōu)化求取最優(yōu)參數(shù)，優(yōu)化后壓力標準差變小。但實際的受電弓的歸算質(zhì)量和剛度是有范圍的，達不到表3 和表4 的值，上述仿真得到的受電弓參數(shù)不能指導實際生產(chǎn)。且實際上受電弓的轉(zhuǎn)折頻率和各個參數(shù)之間是復雜的非線性關系，變量之間彼此影響，不能只考慮單變量優(yōu)化，因此通過仿真數(shù)據(jù)模擬得到轉(zhuǎn)折頻率和兩個參數(shù)之間的多項式方程，用雙參數(shù)聯(lián)合變化來求解最優(yōu)參數(shù)。由于要找受電弓的最優(yōu)的參數(shù)是fz2和吊弦頻率fd匹配條件下的數(shù)值，所以要使fz2和fd的差值盡可能小，因此定義了目標函數(shù)Y=（fz2-fd）2，給定受電弓參數(shù)，仿真得出每組數(shù)據(jù)的fz2，計算出每組數(shù)據(jù)Y值，構(gòu)成50 組數(shù)據(jù)集。接下來用50 組數(shù)據(jù)集進行多項式擬合得到目標函數(shù)的多項式方程的系數(shù)，用多變量優(yōu)化算法得到使目標函數(shù)最小的對應的受電弓的最優(yōu)參數(shù)[15]。

首先定義目標函數(shù)為轉(zhuǎn)折頻率和吊弦頻率的差值的平方。

模擬50 組數(shù)據(jù)，得到仿真結(jié)果的二維云圖如圖7 所示。

圖7 目標函數(shù)的二維云圖Fig.7 Two-dimensional cloud picture of the objective function

由二維云圖可以看出框架質(zhì)量MF越大，目標函數(shù)值越?。还^剛度KH越小，目標函數(shù)值越小。但又不是簡單的線性關系。

令目標函數(shù)Y=a0+a1MF+a2KH++a5MFKH，進行多項式擬合[15]，代入數(shù)據(jù)得到a0=102.857 9，a1=-31.984 3，a2=0.003 0，a3=3.074 4，a4=0.000 0，a5=-0.001 1。所以最優(yōu)匹配MF=9.7，KH=29 070。代入結(jié)果仿真得到接觸壓力的頻譜曲線如圖8 所示。

圖8 頻率對比圖Fig.8 Frequency comparison diagram

從圖8 可以看到，參數(shù)優(yōu)化后吊弦頻率附近10～30 Hz 范圍內(nèi)的響應的幅值大大降低。

4 結(jié)論

1）推導了受電弓的多體模型，在平衡位置泰勒展開，忽略高階項，得到受電弓的動態(tài)等效模型。利用罰函數(shù)法和接觸網(wǎng)模型耦合，得到弓網(wǎng)耦合模型，并對模型進行驗證。

2）分析接觸壓力波動原因，得出減小受電弓機械阻抗可以使接觸壓力波動減小，提高受流質(zhì)量。對受電弓微分方程進行拉普拉斯變換，得到受電弓的幅頻特性曲線存在兩個轉(zhuǎn)折頻率。

3）改變受電弓參數(shù)，以轉(zhuǎn)折頻率的變化為依據(jù)對受電弓參數(shù)進行敏感度評級，發(fā)現(xiàn)KH和MF敏感度最高。后面縮小這兩個參數(shù)范圍，進行單一變量匹配，尋找最優(yōu)參數(shù)KH和MF。仿真結(jié)果表明接觸壓力波動明顯減小。

4）單一變量匹配具有顯著的效果，但計算得到的參數(shù)已超出范圍，不具有指導受電弓實際生產(chǎn)的意義。接下來用50 組數(shù)據(jù)得到目標函數(shù)的多項式方程，多變量尋優(yōu)得到最優(yōu)參數(shù)。仿真得到接觸壓力的頻譜圖，參數(shù)優(yōu)化后吊弦頻率附近10～30 Hz范圍內(nèi)的響應的幅值明顯減小。