初中數(shù)學(xué)“一題多解與一題多變”教學(xué)研究

陳斌

【摘要】“一題多解與一題多變”是數(shù)學(xué)教師所要關(guān)注的重要內(nèi)容，這兩種解題訓(xùn)練模式的構(gòu)建可以突破原有解題教學(xué)的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生更加深入地認(rèn)識數(shù)學(xué)習(xí)題的解題方法，這對其解題能力的提升與發(fā)展有著重要的意義.為了構(gòu)建“一題多解與一題多變”教學(xué)課堂，教師需要對其價值進行分析研究，再從實際教學(xué)的開展出發(fā)探尋有效教學(xué)設(shè)計的方法，對初中數(shù)學(xué)“一題多解與一題多變”教學(xué)的開展方法進行探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一題多解；一題多變；教學(xué)研究

數(shù)學(xué)是初中階段學(xué)生所要學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，在中考中占有重要的分?jǐn)?shù)比例，為了幫助學(xué)生成功通過中考的考驗，教師需要從實際出發(fā)進行數(shù)學(xué)習(xí)題的篩選，引領(lǐng)學(xué)生進行“一題多解”的研究，帶領(lǐng)學(xué)生思考解題的多種方法，再通過習(xí)題變形設(shè)計的研究，來設(shè)計變式問題，以此推動學(xué)生的解題思考，發(fā)展學(xué)生的解題能力.在實際教學(xué)中，教師可以圍繞解析原題結(jié)構(gòu)、融合數(shù)學(xué)思想、設(shè)置多解訓(xùn)練、構(gòu)建多變訓(xùn)練、引領(lǐng)學(xué)生歸納五個方面來開展教學(xué).

一、“一題多解與一題多變”的價值分析

“一題多解”是多元解題方法的顯現(xiàn)，其可以讓學(xué)生針對一道習(xí)題進行多種解題方法的思考.一般而言，每一種解題方法都印證著一條不同的解題思路.多解題的展示與引導(dǎo)解析，可以幫助學(xué)生了解習(xí)題的解法與其背后隱含的解題思維，進而開闊學(xué)生的解題視野，提升學(xué)生的思維靈活度，對學(xué)生的發(fā)展有著重要的意義.

“一題多變”是變式思想的顯現(xiàn)，在“一題多變”的訓(xùn)練設(shè)計中，教師將選取典型的習(xí)題作為原式，通過題目條件調(diào)整、問題新擬、題目信息倒置等方法將原本的習(xí)題轉(zhuǎn)化為多道表現(xiàn)形式不同的習(xí)題.此時，教師就可以從習(xí)題的不同特征出發(fā)引領(lǐng)學(xué)生進行訓(xùn)練，并發(fā)展學(xué)生的解題能力.在這一類習(xí)題的解題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)題的特征進行歸納，并圍繞習(xí)題的快速解答進行建模設(shè)計，構(gòu)建合理化的解題模型.

二、“一題多解與一題多變”教學(xué)的開展方法

（一）解析原題結(jié)構(gòu)，分析習(xí)題特征

原題的解析與研究是幫助學(xué)生進行“一題多解或一題多變”的基礎(chǔ)，教師要展示原題，幫助學(xué)生認(rèn)識原題的突出特點，并引領(lǐng)學(xué)生深入解析原題.在實際的展示過程中，教師需要利用課前時間進行檢索，搜集教學(xué)展示所需的習(xí)題，并在課上對習(xí)題進行展現(xiàn)，重點圍繞習(xí)題的考查點進行分析，解析相關(guān)習(xí)題解答需要的條件.如，在實際教學(xué)中，教師便可以為學(xué)生展示如下原題：

例題 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323，求出這兩個數(shù).

分析 通過研究可以發(fā)現(xiàn)，習(xí)題考查的內(nèi)容為一元二次方程的應(yīng)用，習(xí)題的解題關(guān)鍵是條件中給出的描述語“兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323”.學(xué)生可以從一元二次方程的不同未知數(shù)設(shè)列出發(fā)得出多種不同的解法.其中，教師可以為學(xué)生展示“將較小的奇數(shù)設(shè)為x”“將較大的奇數(shù)設(shè)為x”“將x設(shè)為任意整數(shù)”“將兩個連續(xù)奇數(shù)設(shè)為x-1和x+1”，這四種設(shè)列方法可以對應(yīng)四種不同的解題方法.四種解題方法看似都是對一元二次方程的應(yīng)用，但其切入思考的角度存在差異.通過這一展示，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生對題目進行系統(tǒng)的認(rèn)識與理解，為之后“一題多解和一題多變”的思索研究做好鋪墊.

為了讓學(xué)生了解“一題多變”的意義，使其了解相關(guān)題目的特點，教師可以選擇原題進行調(diào)整，構(gòu)建一些簡單的變式題.在變式題的設(shè)計上，針對該習(xí)題，教師通過調(diào)整問法的形式即可生成多個變式，如教師可以將習(xí)題改制為“兩個連續(xù)奇數(shù)的積是399，求出這兩個數(shù)”，通過調(diào)整題干的數(shù)字大小來實現(xiàn)對題目的簡單變更，讓學(xué)生進行解答.教師也可以將習(xí)題改制為“兩個連續(xù)偶數(shù)的積是440，求出這兩個數(shù)”，通過題目條件的對應(yīng)變更，生成與原題相似的變式題.在完成變式題的設(shè)計后，教師可將其展示給學(xué)生，讓學(xué)生就變式題與原題的差別進行分析，使其探析題目發(fā)生的變化.

（二）融合數(shù)學(xué)思想，研究解題方法

解題方法的掌握與否直接關(guān)系到學(xué)生解題能力的發(fā)展，教師要關(guān)注“一題多解”的教學(xué)，從解題方法的內(nèi)涵思想入手進行解析，讓學(xué)生聯(lián)系解題方法進行分析，找出方法中隱含的解題理念.在實際教學(xué)中，“一題多解”的研究需要教師為學(xué)生創(chuàng)建相應(yīng)空間，幫助學(xué)生探尋解答題目的多種解法.在實際教學(xué)中，教師要從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)選擇適于學(xué)生進行多解探究的例題，并結(jié)合問題的解法分析進行多方面展示.如，在實際教學(xué)中，教師便可以為學(xué)生展示如下習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生從習(xí)題的特點出發(fā)來研究相關(guān)題目的多種解法：

例題 某人買13個雞蛋、5個鴨蛋、9個鵝蛋，共用去9.25元；若買2個雞蛋，4個鴨蛋，3個鵝蛋，則會用3.20元，若每種蛋只買一個，需要用多少錢？

分析 通過簡要分析可以得出該題目考查的是三元一次方程組的內(nèi)容，但由于題目中只提供了兩組等量關(guān)系，因此若想分別求出三種蛋的單價是不現(xiàn)實的，但題目所求的內(nèi)容為三種蛋的共價，所以可以通過式子的變形來求解.在明確了這一思路后，學(xué)生就可以圍繞學(xué)過的數(shù)學(xué)方法選擇方向，尋找有效列式解答的方法.

方法一 湊整法

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，這一方法應(yīng)用了化歸的數(shù)學(xué)思想，利用這一思想可以轉(zhuǎn)換與調(diào)整題目的條件，讓算式簡化，從而得出可以計算解答的式子.在講授這一解題方法時，教師要注意開展數(shù)學(xué)思想的拓展活動，讓學(xué)生了解化歸思想及其在解題中的實際應(yīng)用.

方法二 主元法

這一方法是對函數(shù)方程思想與化歸思想的融合運用，其核心在于將方程的三個未知數(shù)進行區(qū)別看待，將x，y作為未知數(shù)處理，將z視為一個常數(shù)，以此對方程變形：

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，主元法實質(zhì)上是對函數(shù)與方程的運用，選擇適當(dāng)?shù)淖帜缸鳛橹髟梢云鸬交y為易的作用.在上述習(xí)題解答中所使用的主元法，其特征是將未知數(shù)進行區(qū)別看待，形成一個特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系，符合方程思想的構(gòu)成要求，即從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程（組）、不等式（組）、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.在實際教學(xué)中，教師要為學(xué)生解讀函數(shù)方程思想的構(gòu)成，并展現(xiàn)函數(shù)方程思想在常見問題中的運用實例.

方法三 參數(shù)法

觀察式子之間的關(guān)系，得①-②×3可以消去z，再化簡可得x-y=-0.05 ④

③×3-②可以得到x-y=3k-3.20 ⑤

此時通過式子④和⑤可以得到3k-3.20=-0.05，所以k=1.05，此時可以得到x+y+z=1.05.

解析 上述三種方法對應(yīng)了三種解題思路，而每一種解題思路還可以延伸出新的解題方法，限于篇幅此處不再贅述，教師在進行解析教學(xué)時，可以讓學(xué)生嘗試著尋找額外的習(xí)題解答方法.

參數(shù)法是指在解題過程中通過引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），再進行分析和綜合，從而解決問題的方法.這一方法從數(shù)學(xué)思想的角度來看，其同樣運用了化歸的數(shù)學(xué)思想，通過參數(shù)的引入，用參數(shù)代指一部分?jǐn)?shù)學(xué)量，從而將算式轉(zhuǎn)換為有利于解答的形式，從而實現(xiàn)有效解答.

通過上述三種解題方法與其對應(yīng)數(shù)學(xué)思想的解讀，學(xué)生就可以在不同解法的研究中認(rèn)識數(shù)學(xué)思想的拓展應(yīng)用價值，獲得解題意識和認(rèn)知的提升.為了發(fā)展學(xué)生的解題能力，讓“一題多解”真正發(fā)揮作用，教師還需要為學(xué)生設(shè)計針對性的練習(xí)，用練習(xí)推動學(xué)生解題能力的提高與發(fā)展.

（三）設(shè)置多解訓(xùn)練，推動學(xué)生探究

“一題多解”的訓(xùn)練其目的在于幫助學(xué)生認(rèn)識多種解題方法，從解題方法的探究入手，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)習(xí)題解答的多種思想.在實際教學(xué)中，教師要考慮學(xué)生的發(fā)展情況，選取難度合理且解法較多的習(xí)題進行展示，構(gòu)建有效的多解訓(xùn)練，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)解答問題的多種解法.

練習(xí)題3 甲、乙、丙三種貨物，若甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.請問：買甲、乙、丙各一件需要多少錢？

在展示了上述練習(xí)題后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生解答題目，并要求每名學(xué)生至少找出兩種解法.在這一環(huán)節(jié)，為了滲透分層理念，教師可以要求發(fā)展較好的學(xué)生最少找出3種解題方法，并要求其對解題方法的思路進行整理分析，以便在班級中進行匯報與展示.在學(xué)生實際解題過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的解題情況，分析學(xué)生的思維拓展能力發(fā)展情況，并借助引導(dǎo)性的語言對學(xué)生進行點撥，推動學(xué)生主動思考.

（四）構(gòu)建多變訓(xùn)練，促進學(xué)生拓展

“一題多變”的訓(xùn)練需要教師秉持“萬變不離其宗”的核心思想，對習(xí)題的題干信息、提問方式、條件構(gòu)成進行調(diào)整，并從學(xué)生的實際解答出發(fā)來引領(lǐng)學(xué)生分析相關(guān)的變式題組.在學(xué)生解答前，教師需要圍繞解題模型的建立與公共解題思路的明確來提出問題，引導(dǎo)學(xué)生在解答問題的同時進行思考.為確保變式題具有較高的質(zhì)量，教師在設(shè)計變式題時要從原式的各個角度思考延伸，選擇不同的方向來設(shè)置對應(yīng)的題目.如，在實際教學(xué)中，教師便可以展示如下習(xí)題：

原式 依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形可稱為中點四邊形.求證平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

變式一 按照原式所給條件，求證矩形的中點四邊形是菱形.

變式二 按照原式所給條件，求證正方形的中點四邊形是正方形.

變式三 一個四邊形的中點四邊形是平行四邊形，請問這個四邊形可能是什么圖形？

原式 一個寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式一 一個寬為50cm的長方形圖案由20個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式二 一個寬為100cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式三 一個寬為50cm、長為100cm的長方形圖案由8個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

在實際教學(xué)中，教師在給出變式練習(xí)后，要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的題目進行分析、求解.在學(xué)生解答的過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的解題情況，并予以幫助與引導(dǎo)，讓學(xué)生總結(jié)各個變式題與原題的不同之處.對于學(xué)生給出的答案，教師要認(rèn)真判定，并引導(dǎo)學(xué)生回顧與整理.在學(xué)生完成變式題的解答后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行拓展思考，讓其嘗試著對原式進行變形，然后采用同桌互換的方式來完成相關(guān)習(xí)題的解答.在這一過程中，學(xué)生的思維會變得更為開闊，其創(chuàng)造能力也能得到培養(yǎng)與發(fā)展.

（五）引領(lǐng)學(xué)生歸納，培養(yǎng)模型意識

模型意識與能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵構(gòu)成，新課標(biāo)強調(diào)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).模型意識與能力的培養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生解題能力的發(fā)展，具有較強建模能力的學(xué)生可以更好地實現(xiàn)一類習(xí)題的解答.為了培養(yǎng)學(xué)生的模型意識與能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對一題多變習(xí)題進行分析思考，讓其對比原式與變式題，逐一分析其差異，對相關(guān)習(xí)題進行二次分類.在分類完成后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對一類習(xí)題的解題方法進行系統(tǒng)總結(jié)與整理，構(gòu)建解答相關(guān)題目的有效數(shù)學(xué)模型.

如，在實際教學(xué)中，教師便可以依托一題多變教學(xué)的進行，引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)一題多變習(xí)題的原式與變式題進行歸納，從公共解答思路中總結(jié)出解題的通用方法，建立解題模型.在這一過程中，為了發(fā)揮學(xué)生群體的主動性，讓其進行協(xié)作探究，教師可以從學(xué)生發(fā)展入手劃分學(xué)生小組，并布置針對性的探究任務(wù)，讓其合作完成整理探究任務(wù).學(xué)生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升與發(fā)展.

結(jié) 語

綜上所述，“一題多解與一題多變”是開展數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一種有效模式.通過解題教學(xué)的進行，教師可以幫助學(xué)生實現(xiàn)解題理念的發(fā)展，有效地推動其解題能力水平的提升.在實際的教學(xué)中，教師需要進行習(xí)題的解析研究，從解題方法的多元介紹與習(xí)題的變式展示兩個方面進行系統(tǒng)構(gòu)建，幫助學(xué)生認(rèn)識并掌握相關(guān)習(xí)題的有效解答方法.在學(xué)生了解了相關(guān)的內(nèi)容后，教師還要依托教學(xué)的進行，推動學(xué)生進行歸納，發(fā)展并培養(yǎng)其模型意識.

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