一道新教材比較大小題的多解探究

鄭州市第102高級中學(xué)(450052)蔡明生

學(xué)習(xí)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)之后,經(jīng)常會遇到的一類數(shù)學(xué)問題就是比較幾個代數(shù)式的大小關(guān)系.此類問題解法靈活多樣,具有較強的規(guī)律性、技巧性,借助一題多解的形式進行解法研究,能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力以及探究精神、創(chuàng)新意識.

好題再現(xiàn)(人教A 版新教材必修第一冊,第141 頁拓廣探索欄目第13 題)比較下列各題中三個值的大小:(1)log0.26,log0.36,log0.46;(2)log23,log34,log45.

多解探究第(1)題較簡,以下給出第(2)題的多解探究.

思路一“作差”比較大小.一般地,若a-b >0,則有a > b;若a-b <0,則有a < b.靈活運用該結(jié)論,可給出比較大小問題的一種最基本最常用的解法.

解法1因為

解法2因為

于是,在上述一般性結(jié)論(?)中取n=2,3,即得log23>log34>log45.

評注上述解法1、解法2 均是在作差變形的基礎(chǔ)上,靈活運用基本不等式的變形式加以求解.區(qū)別在于解法1 是直接根據(jù)具體的目標(biāo)式進行分析的,而解法2 是先獲得一般性結(jié)論,再加以靈活運用(以賦值方式)解決目標(biāo)問題的.

思路二“作商”比較大小.一般地,若,且b >0,則有a > b; 若且b >0,則有a < b; 若且b<0,則有a< b;若,且b<0,則有a >b.靈活運用該結(jié)論比較大小,也是一種常用方法,但必須關(guān)注分母與零的大小關(guān)系;否則,極易出錯.

解法3因為

以及l(fā)og23>0,所以可得log34

以及l(fā)og34>0,所以可得log45

綜上,可知log23>log34>log45.

解法4因為

以及l(fā)ogn(n+1)>0,所以可得

于是,在上述一般性結(jié)論(??)中取n=2,3,即得log23>log34>log45.

評注上述解法3、解法4 都是在作商變形的基礎(chǔ)上,考慮基本不等式在放縮變形中的靈活運用.區(qū)別在于解法3 是直接根據(jù)具體的目標(biāo)式進行分析的,而解法4 是先得到一般性結(jié)論,再以靈活賦值的方式,達到順利解決問題的目的.

此外,解法4 亦可變換一下敘述的方式:先構(gòu)造數(shù)列an=logn(n+1),其中正整數(shù)n≥2,則根據(jù)作商、基本不等式可得數(shù)列{an}在集合{2,3,4,···}上單調(diào)遞減,然后再利用該單調(diào)性即得a2>a3>a4,亦即log23>log34>log45.

思路三“轉(zhuǎn)化”比較大小.由于本題中三個對數(shù)的值都在(1,2)上,所以整數(shù)部分相同,從而可等價轉(zhuǎn)化為考查對應(yīng)小數(shù)部分的大小關(guān)系,有利于目標(biāo)問題的順利獲解.

解法5由于

從而可知log23>log34.由于

從而可知log34>log45.綜上,可得log23>log34>log45.

思路四根據(jù)“中間橋梁”比較大小.比較大小時,往往需要靈活選取中間橋梁(常用數(shù)字有“0”、“1”等等),有利于幫助我們巧妙獲得大小關(guān)系的確定.

評注 上述解法6 的機智性充分體現(xiàn)在對中間橋梁,即特殊數(shù)字的選取上; 解法7 對中間橋梁,即特殊數(shù)字“1”的靈活運用比較巧妙,需要先配置相同的系數(shù)!

思路五根據(jù)“糖水不等式”比較大小.一般地,若a > b >0,m >0,則有(可簡單理解為:真分?jǐn)?shù)越加越大).或者等價敘述為:一般地,若a > b >0,m >0,則有(可簡單理解為:假分?jǐn)?shù)越加越小).

綜上,可知log23>log34>log45.

評注該解法構(gòu)思比較巧妙,充分體現(xiàn)了對“糖水不等式”在解題中的靈活運用能力!

思路六根據(jù)“對數(shù)不等式”比較大小.一般地,若1< a < b,N > M >1,則有l(wèi)ogaN >logbM.在適當(dāng)轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上,活用該結(jié)論,有利于迅速比較相關(guān)對數(shù)值的大小.

解法9因為log23=log1681,log34=log2764,又易知log1681>log2764,所以可得log23>log34.因為又易知所以可得log34>log45.

本算例按照除氧器有效容積分別為 3min、4min和5min的鍋爐最大連續(xù)蒸發(fā)量時的給水消耗量進行分析。給水下降管管徑暫按Φ610×15，管長 25m。計算結(jié)果如下：

綜上,可得log23>log34>log45.

評注該解法靈活性較大,在具體轉(zhuǎn)化時利用了對數(shù)換底公式的一個常用推論對應(yīng)的特例——logab=loganbn.

思路七“構(gòu)造函數(shù)”比較大小.由于本題中三個對數(shù)的真數(shù)都比底數(shù)大1,所以可考慮靈活利用函數(shù)f(x)=logx(x+1)(其中x>1)的單調(diào)性比較大小.

解法10設(shè)f(x)=logx(x+1)(其中x >1),則根據(jù)可求導(dǎo)得

因為x+1>x>1,所以ln(x+1)>lnx>0,從而兩式“相乘”可得不等式(x+1)ln(x+1)>xlnx,所以

于是,結(jié)合①②即得f＇(x)<0,因此函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.從而,可知f(2)> f(3)> f(4),即就是log23>log34>log45.

評注有趣的是,根據(jù)函數(shù)f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,可獲得如下不等式鏈:

解法11根據(jù)27<243<28,可得5log23=log235=log2243∈(7,8); 根據(jù)36<1024<37,可得5log34=log345=log31024∈(6,7); 根據(jù)45<3125<46,可得5log45=log455=log43125∈(5,6).

綜上,即知5log23>5log34>5log45,從而有l(wèi)og23>log34>log45.

評注該解法思維創(chuàng)新,讓人眼前一亮,故堪稱比較大小之“絕招”、“妙招”,從而值得我們?nèi)ゼ毤毱肺?、認(rèn)真研究!

總之,通過上述的多解探究可知,這道人教A 版新教材習(xí)題看似簡單,實則內(nèi)涵豐富,充分體現(xiàn)了教材題的基礎(chǔ)性、典型性,具有較強的研究價值,有利于強化相關(guān)知識在解題中的綜合運用能力,有利于提高學(xué)生的解題思維能力以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算方面的核心素養(yǎng).