先必要后充分,用鄰域法解決一類導(dǎo)數(shù)問題

漢中市龍崗學(xué)校(723100)唐宜鐘

陜西省漢中中學(xué)(723000)劉再平

1.問題緣起

題目(2022年新高考Ⅱ卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x>0 時(shí),f(x)<-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)設(shè)n ∈N?,證明:

對于第(2)問,一種流傳較廣的做法如下:設(shè)h(x)=xeax-ex+1,則h(0)=0,又h＇(x)=(1+ax)eax-ex,設(shè)g(x)=(1+ax)eax -ex,則g＇(x)=(2a+a2x)eax -ex.若,則g＇(0)=2a-1>0,因?yàn)間＇(x)為連續(xù)不間斷函數(shù),故存在x0∈(0,+∞),使得?x ∈(0,x0),總有g(shù)＇(x)>0,故g(x)在(0,x0)為增函數(shù),故g(x)> g(0)=0,故h(x)在(0,x0)為增函數(shù),故h(x)> h(0)=-1,與題設(shè)矛盾.若則h＇(x)=(1+ax)eax-ex=eax+ln(1+ax)-ex.

下證:對任意x>0,總有l(wèi)n(1+x)

設(shè)S(x)=ln(1+x)- x,故故S(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),故S(x)

故h＇(x)≤0 總成立,即h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)< h(0)=-1.當(dāng)a≤ 0 時(shí),有h＇(x)=eax-ex+axeax <1-1+0=0,所以h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),所以h(x)

《普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中對導(dǎo)數(shù)的要求為“了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)式,體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想”,“借助函數(shù)的圖像,了解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件與充分條件”[1].根據(jù)課標(biāo)要求,合理利用導(dǎo)數(shù)的定義及極值的相關(guān)概念,結(jié)合圖像,使用鄰域的思想,對題目先進(jìn)行必要性探索,再進(jìn)行充分性論述.就能快速找到分界點(diǎn),減少不必要的論述.

2.鄰域法與最值

2.1 鄰域的概念

設(shè)a ∈R,δ >0,滿足絕對值不等式|x - a| < δ的全體實(shí)數(shù)x的集合稱為點(diǎn)a的δ鄰域,記作U(a;δ),即U(a;δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).點(diǎn)a的空心δ鄰域定義為Uo(a;δ)={x|0<|x-a|<δ}.點(diǎn)a的δ右鄰域U+(a;δ)=[a,a+δ);點(diǎn)a的δ左鄰域U-(a;δ)=(a-δ,a].

2.2 利用鄰域法直接求出范圍(值)

例1(2015年高考北京卷)已知函數(shù)

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)求證:當(dāng)x ∈(0,1)時(shí),;

(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得對x ∈(0,1)恒成立,求k的最大值.

解(3)令則需在x ∈(0,1)時(shí),g(x)>0.注意到g(0)=0,則需在U+(0;δ)內(nèi),有即g＇(0)≥0.又

g＇(0)=2-k≥0,故k≤2.

下面論述充分性.當(dāng)k≤0,x ∈(0,1)時(shí),k(1+x2)≤0,則g＇(x)≥0.當(dāng)k ∈(0,2]時(shí),kx4+2-k≥0,則g＇(x)≥0.故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,又g(x)>g(0)=0,故k≤2.

點(diǎn)評這是一個(gè)給定雙端點(diǎn)區(qū)間的函數(shù)最值問題,很容易注意到端點(diǎn)處有g(shù)(0)=0,則函數(shù)需在U+(0;δ)內(nèi)單調(diào)不減的,利用極限及導(dǎo)數(shù)的定義,可得g＇(0)≥0.由此進(jìn)行必要性探索,把討論范圍從k ∈R 縮小到k≤2.再利用導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)特征,證明了差函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增,從而完成了充分性的論述.

例2已知函數(shù)f(x)=(a-sinx)ex-x-a.

(1)若a=0,求曲線y=f(x)在x=0 處的切線方程;

(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.

解(2)注意到f(0)=0,而f(x)≥0.故需f(x)在U-(0;δ)內(nèi)單調(diào)遞減,U+(0;δ)內(nèi)單調(diào)遞增,即f＇(0)=0.f(x)=(a-sinx)ex - x - a定義域?yàn)镽,f＇(x)=(a-sinx-cosx)ex-1,由f＇(0)=a-2=0,解得a=2.

下面證述充分性.當(dāng)a=2 時(shí),f(x)=(2-sinx)ex -x -2.令g(x)=f＇(x)=(2-sinx-cosx)ex -1,則g＇(x)=(2-2 cosx)ex≥0 恒成立,故g(x)在R 上為增函數(shù).因?yàn)間(0)=f＇(0)=e0-1=0,所以f＇(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f＇(x)<0 在(-∞,0)上恒成立,所以f(x)=(2-sinx)ex -x-2 在R 上有唯一的極小值點(diǎn)0,且f(0)=2-2=0,滿足題意.

綜上,a的取值范圍是{2}.

點(diǎn)評本題涉及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù),且沒有端點(diǎn)值可供入手.但這類問題,一個(gè)入手點(diǎn)在于特殊值.很容易觀察到f(0)=0.利用左右鄰域思想,先進(jìn)行必要性探索,再利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可完成論述.

2.3 利用鄰域法限定范圍

例3(2012年高考新課標(biāo)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x ∈[0,π].

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

解(2)令g(x)=ax+cosx-(1+sinx),則g(x)≤0.注意到g(0)=0.則需在U+(0;δ)內(nèi),有即g＇(0)=a-1 ≤0,故a≤1.

下面論述充分性:當(dāng)a≤1 時(shí),易得g(x)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.故需g(π)≤0,而g(π)=.故.

點(diǎn)評和前面例證不同,本題利用鄰域法進(jìn)行必要性探索,對a的范圍進(jìn)行限定后,函數(shù)先減后增,并不一定在x=0 處取最大值,故還需對x=π進(jìn)行討論,從而完成a的范圍修正.不難看出,前面的例證中,函數(shù)的最值都是在我們猜測的“入手點(diǎn)”處取得,但本題的最值并不在“入手點(diǎn)”.雖然必要性探索沒能準(zhǔn)確的給出本題的答案,但卻大大縮小了a的范圍,使討論變得簡潔迅速.

例4(2015年高考山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a ∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

(2)若?x>0,f(x)≥0 成立,求a的取值范圍.

解(2)注意到f(0)=0,需在U+(0;δ)內(nèi),有即f＇(0)≥0.

f＇(0)=1-a≥0,故a≤1.

下面論述充分性:令g(x)=2ax2+ax+1-a,對稱軸與f＇(x)同號.

當(dāng)a=0 時(shí),g(x)=1,f＇(x)≥0.當(dāng)a ∈[0,1]時(shí),g(x)開口向上,g(x)≥g(0)=1-a≥0,f＇(x)≥0.當(dāng)a <0時(shí),g(x)開口向下,g(0)=1-a >0.在(0,+∞)上,一定存在零點(diǎn)x0,使得x ∈(0,x0)時(shí),f＇(x)>0,x ∈(x0,+∞)時(shí),f＇(x)<0.設(shè)h(x)=x-ln(x+1),當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí)在(0,+∞)單調(diào)遞增,因此當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí)h(x)> h(0)=0,ln(x+1)<0,于是f(x)

綜上,a ∈[0,1].

3.領(lǐng)域法與極值

3.1 極值的第三充分條件[2]

設(shè)f在x0的某鄰域U(x0;δ)上存在直到n-1 階導(dǎo)數(shù),在x0處n階可導(dǎo),且f(k)(x0)=0(k=1,2,···,n-1),f(n)(x0)0,則

(Ⅰ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f在x0處取得極值,且當(dāng)f(n)(x0)<0 時(shí)取得極大值,f(n)(x0)>0 時(shí)取得極小值.

(Ⅱ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f在x0處不取得極值.

證明由泰勒展開式得:

由于f(k)(x0)=0(k=1,2,···,n-1).因此,

又由于f(n)(x0)0,故存在正數(shù)δ＇≤δ,當(dāng)x ∈U(x0;δ＇),同號.所以,n為偶數(shù)時(shí),f(n)(x0)<0,(?)式取負(fù)值,從而對任意x ∈Uo(x0;δ＇),由f(x)-f(x0)<0,即f在x0取極大值.同樣,f(n)(x0)>0時(shí),f在x0取極小值.

3.2 “入手點(diǎn)”為極值

例5同文首的題目.

解(2)注意到f(0)=-1,則需在U+(0;δ)內(nèi),有aeax+a(eax+axeax)-ex,f＇＇(0)=2a-1.由極值的第三充分條件及題意知,需x=0 為f(x)的極大值點(diǎn),f＇＇(0)≤0,即.

故f(x)在(0,+∞)上遞減,f(x)

點(diǎn)評f＇(0)=0,且f＇(0)無法表示成關(guān)于a的表達(dá)式.不能直接通過f＇(0)對a的范圍進(jìn)行限定,但容易發(fā)現(xiàn)x=0是f(x)的極大值點(diǎn).利用極值的第三充分條件,先進(jìn)行必要性探索,再利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)即完成了證明.

例6(2018年高考全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明:當(dāng)-1< x <0 時(shí),f(x)<0; 當(dāng)x>0 時(shí),f(x)>0.

(2)若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a.

解(2)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),

由極值的第三充分條件,需f＇＇＇(0)=0,即6a+ 1=0,.

下面證明充分性.令g(x)=2ax2+(6a-1)x+6a+1.當(dāng)時(shí),(-1,0),g(x)> g(0)=0,即f＇＇＇(x)>0;x ∈(0,+∞),g(x)< g(0)=0,即f＇＇＇(x)<0.故f＇＇(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.f＇＇(x)≤f＇＇(0)=0.故f＇(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞減.又f＇(0)=0.故x ∈(-1,0)時(shí),f＇(x)>0,x ∈(0,+∞),f＇(x)<0.此時(shí),x=0 為f(x)的極大值點(diǎn).

點(diǎn)評本題雖然明確告訴了我們x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),但兩次求導(dǎo)后,導(dǎo)函數(shù)在x=0 處值為0,令人“絕望”.若能深刻理解極值的第三充分條件,解答就會(huì)有的放矢.

3.3 “入手點(diǎn)”不為極值點(diǎn)

例7(2014年高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x >0 時(shí),g(x)>0,求b的最大值;

解(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(exe-x)+(8b-4)x.注意到g(0)=0.

g＇(0)=0.g＇＇(x)=4(ex -e-x)(ex+ e-x - b),g＇＇(0)=0.g＇＇＇(x)=4[(ex+ e-x)(ex+ e-x - b)+(ex-e-x)2],由極值的第三充分條件知,g＇＇＇(0)=0,得b=2.但事實(shí)上,對于本題,b=2 時(shí),x=0 是g(x)的極小值點(diǎn).但b <2 時(shí),由函數(shù)性質(zhì)可知:g＇(x)≥0,此時(shí),x=0 不是g(x)的極小值點(diǎn).此時(shí),g(x)在R 上單調(diào)遞增,且g(0)=0.故本題范圍為b≤2.本情況即為極值的第三充分條件的第(Ⅱ)種情況.

4.教學(xué)建議

4.1 夯實(shí)導(dǎo)數(shù)雙基,掌握通法和必要的巧法

導(dǎo)數(shù)雙基是解決導(dǎo)數(shù)解答題的核武器,特別要夯實(shí)函數(shù)的單調(diào)性,因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)、函數(shù)與不等式等問題的工具與通法,而這些也是常見導(dǎo)數(shù)解答題的核心考點(diǎn).在追求通性通法的同時(shí)也要扎實(shí)掌握一些解答導(dǎo)數(shù)解答題的必要技巧,如換元法、函數(shù)分離、變參分離、常數(shù)分離、不等式放縮、函數(shù)變形等,因?yàn)檫@些技巧是快速與準(zhǔn)確解答導(dǎo)數(shù)解答題的重要保障.縱觀本文,許多論述部分都需要適當(dāng)?shù)募记?

4.2 在一題多解時(shí),注重多題歸一與優(yōu)解辨析

由于導(dǎo)數(shù)解答題具有靈活性和探究性,所以不論高考還是日常教學(xué)中,該類題目的解答方法都比較豐富,有的專業(yè)數(shù)學(xué)期刊也經(jīng)?？怯嘘P(guān)導(dǎo)數(shù)解答題的教學(xué)案例,有的導(dǎo)數(shù)解答題的解法竟然多達(dá)幾十種,一題多解確實(shí)對學(xué)生問題解決能力和數(shù)學(xué)思維能力的提高有所幫助.然而數(shù)學(xué)解題教學(xué)不能野蠻生發(fā),也不是每種解法都貼切學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與認(rèn)知范疇,所以教師在導(dǎo)數(shù)解答題的教學(xué)中要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生開展多題歸一與優(yōu)解辨析活動(dòng).如此不但能培養(yǎng)學(xué)生解答導(dǎo)數(shù)解答題的效率,也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力.本文所舉例證解法多樣,但大多解法入手困難,論證復(fù)雜.“必要性探索”就是優(yōu)解辨析的結(jié)果.

4.3 立足教材課標(biāo),恰當(dāng)拓展導(dǎo)數(shù)知識(shí)的深度和廣度

將中等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)里的一些簡單知識(shí)下放到高考導(dǎo)數(shù)解答題中已是屢見不鮮,這也是一些專家命制高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的重要方法,因而一些導(dǎo)數(shù)解答題具有鮮明的初等與高等數(shù)學(xué)背景,所以教師在實(shí)際教學(xué)中要合理利用選修課等時(shí)間,對洛必達(dá)法則、微積分中值定理、泰勒展開式等導(dǎo)數(shù)知識(shí)的深度與廣度展開拓展教學(xué),以幫助學(xué)生更好的理解導(dǎo)數(shù)解答題的本質(zhì),提高導(dǎo)數(shù)解答題的解決能力[3].但這些拓展需立足教材和課標(biāo),教師要從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā),在題目中探索和逐漸加深對相關(guān)知識(shí)的理解.本文中,從導(dǎo)數(shù)的定義到鄰域,再到極值的第三充分條件,不失為一次嘗試.