數(shù)學(xué)眼光視角下一類大小比較問題的解析

廣東省佛山市三水區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528100)李安

近年高考全國卷命制了一類形態(tài)奇異的數(shù)式大小比較試題,多數(shù)考生覺得數(shù)式怪異、無從下手,有種“只可遠(yuǎn)觀而不可褻玩焉”的感覺.考生失敗的核心原因是他們?nèi)鄙僖环N數(shù)學(xué)眼光.

“數(shù)學(xué)眼光,就是觀察數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界的一種意識,是在思考問題時數(shù)學(xué)方面的自覺意識、關(guān)注和思維習(xí)慣.它包括:數(shù)學(xué)科學(xué)視角下精確的眼光、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难酃?、簡潔的眼? 概括的眼光、統(tǒng)一的眼光; 數(shù)學(xué)化視角下理想化的眼光(將實(shí)體簡化假設(shè)為幾何模式或代數(shù)模式.比如,一個真實(shí)世界中的哥尼斯堡七橋問題被理想化為平面上的一筆畫問題.)、共性化的眼光(對共同屬性的敏感、直覺和發(fā)現(xiàn),通俗地說,就是“事不過三”的意識.比如小學(xué)生觀察純數(shù)學(xué)世界中自然數(shù)的加法、偶數(shù)的分拆而發(fā)現(xiàn)加法交換律、哥德巴赫猜想).”[1]此類比大小的高考題,本質(zhì)上考查的就是數(shù)學(xué)共性化的眼光.

下面,我們以2022年新高考Ⅰ卷第7 題為例,來分析、反思這一類大小比較問題的解法.

1.試題呈現(xiàn)

題目1(2022年高考數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ第7 題)設(shè)則( )

A.a

分析本題是數(shù)式大小比較問題,基于觀察、分析數(shù)式結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸、構(gòu)建函數(shù)模型,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再通過賦值比較大小.主要考查數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)化歸思想等核心素養(yǎng).

2.試題解析

解法1將“0.1”作為共性“元”建立函數(shù)模型.因?yàn)樗员容^a與b的大小:因?yàn)閍 >0,b >0,所以設(shè)f(x)=(1- x)ex,x ∈(0,1).f＇(x)=-xex,因?yàn)閤 ∈(0,1),所以f＇(x)<0,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)< f(0)=1,即所以a < b.比較a與c的大小:設(shè)g(x)=xex+ln(1-x),x ∈(0,1).g＇(x)=令h(x)=(x2-1)ex+1,h＇(x)=(x2+2x-1)ex=[(x+1)2-2]ex,當(dāng)00,所以g(x)在(0,0.2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)> g(0)=0,即a > c.綜上述得c < a < b,故選C.

解法2將“0.9”作為共性“元”建立函數(shù)模型.因?yàn)樗员?/p>

較a與b的大小:因?yàn)閍 >0,b >0,所以設(shè)f(x)=xe1-x,x ∈(0,1).f＇(x)=(1- x)e1-x,因?yàn)閤 ∈(0,1),所以f＇(x)>0,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)< f(1)=1,即所以a < b.比較a與c的大小:設(shè)g(x)=(1- x)e1-x+ lnx,x ∈令h(x)=(x2-2x)e1-x+1,h＇(x)=-(x2-4x+2)e1-x=[-(x-2)2+2]e1-x,當(dāng)0.80,所以h(x)在(0.8,1)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(x)< h(1)=0,則g＇(x)<0,所以g(x)在(0.8,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)> g(1)=0,即a>c.綜上述得c

解法3比較a與b的大小:要比較的大小,只需要比較e-0.1與(1-0.1)的大小.將-0.1 換成x,設(shè)f(x)=ex -(1+x),x ∈(-1,0),f＇(x)=ex -1,當(dāng)x ∈(-1,0)時,ex <1,所以x ∈(-1,0)時,f＇(x)<0,所以f(x)在(-1,0)單調(diào)遞減,所以f(x)> f(0)=0,即ex >1+x,所以e-0.1>1-0.1,所以,即a

比較a與c的大小:由ex >1+x得0.1e0.1>0.1(1+0.1)=0.11,即a >0.11; 設(shè)x ∈(1,+∞),則g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減,所以g(x)c.綜上述得c

評析上述解法都是基于觀察、分析問題情境中的數(shù)式結(jié)構(gòu)特征,基于共性化眼光建立相應(yīng)的函數(shù)模型,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性獲得大小關(guān)系.對于這三個數(shù),它們的結(jié)構(gòu)各異,內(nèi)含的“數(shù)字”不同,但仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)字之間有著密切關(guān)聯(lián).譬如:以“0.1”為共性元,則也就是上述解法1 構(gòu)建函數(shù)模型的著力點(diǎn); 又如:以“0.9”為共性元,則也就是上述解法2 構(gòu)建函數(shù)模型的依據(jù).聚焦于數(shù)學(xué)化歸思想,考查學(xué)生從純數(shù)學(xué)世界中簡化出數(shù)學(xué)模型的能力,將不動的數(shù)字0.1 或0.9 賦予動態(tài)的變量x,函數(shù)模型自然顯性出來.解法1 和解法2 在比較a與b的大小時,都采用了“商比較法”,這也是在進(jìn)行大小比較時要甄別的地方.解法3 是通過對數(shù)式的變形,建構(gòu)常見函數(shù)型不等式進(jìn)而比較簡便獲取結(jié)果.上述三種解法都沒有進(jìn)行b與c的大小比較而選出了正確答案,這是命題者對選項(xiàng)的一種設(shè)計(jì).事實(shí)上,b與c的大小比較可建構(gòu)函數(shù)模型f(x)=(x-1)-lnx,x ∈(1,+∞),當(dāng)x ∈(1,+∞),f＇(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)> f(1)=0,即x-1>lnx.因?yàn)楣蔮>c.

3.考題鏈接

題目2(2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第12 題)已知則( )

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

分析a,b,c是三個結(jié)構(gòu)看似單一的數(shù)式,但三者之間無明顯的大小之分,a與b、a與c的數(shù)式結(jié)構(gòu)特征差異顯著,仔細(xì)分析問題情境中數(shù)字特征,這三個數(shù)式中b,c都含數(shù)字,考慮以作為共性元去探索數(shù)學(xué)模型,事實(shí)上.將換成x,則即可建立數(shù)學(xué)模型其中x ∈(0,1).應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究上述函數(shù)的性質(zhì)可得:x ∈(0,1)時,即a

4.教學(xué)反思

4.1 把握數(shù)學(xué)本質(zhì),創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力

情境是實(shí)現(xiàn)“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”綜合考查的載體,教學(xué)中要把握內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì),創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生主動探究和積極思維.這類數(shù)式大小比較問題情境一般隱蔽、開放,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、識辨,發(fā)現(xiàn)問題情境中各數(shù)式中內(nèi)含的數(shù)字規(guī)律,據(jù)此選取合適的參數(shù),建立函數(shù)模型來描述相應(yīng)問題情境的數(shù)學(xué)模式.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界,從中簡化出數(shù)學(xué)模型,利用數(shù)學(xué)方法求解模型的問題解決能力.

4.2 于問題解決中發(fā)展核心素養(yǎng),培養(yǎng)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算是求解數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵.其中導(dǎo)數(shù)作為研究上述函數(shù)模型的必備工具,其應(yīng)用的準(zhǔn)確度、熟練度和高度直接關(guān)系到模型的求解.在問題求解實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn),有些函數(shù)模型需要進(jìn)行“二次”甚至“三次”求導(dǎo)才能達(dá)到目的,有些函數(shù)模型應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解,其運(yùn)算、推理很復(fù)雜甚至受阻,這就需要改進(jìn)、優(yōu)化所建立的函數(shù)模型.同時,考生要在考場有限的時間對此類大小比較問題進(jìn)行推理、判斷確有挑戰(zhàn)性,加之該試題又是以選擇題出現(xiàn),因此,教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生基于問題情境的分析、判斷能力,引導(dǎo)學(xué)生“儲備”一些常見函數(shù)型不等式模型,建構(gòu)必備知識體系.如切線型不等式:ex≥x+1(x=0 時取等號),lnx≥x-1(x=1 時取等號); 自然對數(shù)型不等式:在問題解決中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.

4.3 拓展學(xué)生的認(rèn)知視野,踐行數(shù)學(xué)的育人功能

在教學(xué)中若能引導(dǎo)學(xué)生拓展認(rèn)知視野,適切地獲取一些高等數(shù)學(xué)的工具性知識,在高觀點(diǎn)視角下剖析初等數(shù)學(xué)問題,能拓寬學(xué)生知識的廣度、培養(yǎng)學(xué)生思維的深度、點(diǎn)燃學(xué)生求知的激情、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化.上述呈現(xiàn)的高考題應(yīng)用泰勒公式解答尤為簡便(此處不再贅述應(yīng)用泰勒公式解答的過程).其實(shí),泰勒公式在人教A 版(2019年)普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第一冊第256 頁第26 題已有這樣的表述:“英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式:①②其中n!=1×2×3× ··· × n.這些公式被編入計(jì)算工具,計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可確保顯示值的精確性.比如用前三項(xiàng)計(jì)算cos 0.3,獲得0.9553375,試用你的計(jì)算工具計(jì)算cos 0.3,并與上述結(jié)果比較.”教材編入這一習(xí)題是一個“引子”,一方面引發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲,進(jìn)一步去追尋泰勒公式:③④⑥有了這些公式,此類數(shù)式大小比較問題的解答就成了“妙手”;另一方面,學(xué)生可以自主探究有關(guān)泰勒公式的相關(guān)知識體系,比如微積分、中值定理等,自然地把學(xué)生帶入了數(shù)學(xué)的新天地.