追本溯源　深化概念理解

呂斕　曾霞

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的“根”，是進(jìn)行邏輯思維的基本要素，其具有高度的概括性。思維尚處在具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段逐步過(guò)渡的小學(xué)生常將概念簡(jiǎn)單照搬或死記硬背，不利于知識(shí)的理解與掌握。用心挖掘概念內(nèi)涵，分析概念價(jià)值意義，或能找到一條重要線索，進(jìn)而設(shè)計(jì)出符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生深化概念理解，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念 概念理解 什么是面積

小學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)概念反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本細(xì)胞，[1]數(shù)學(xué)中任何一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念。然而，數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性，抽象程度極高，對(duì)于思維尚處在具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段逐步過(guò)渡的小學(xué)生而言，往往易將概念簡(jiǎn)單照搬或死記硬背，這不利于知識(shí)的遷移與運(yùn)用，有悖新課標(biāo)對(duì)學(xué)生素養(yǎng)培育的要求。如何基于學(xué)生認(rèn)知幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念？以下我們聚焦《什么是面積》一課談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、追本溯源，把握面積概念本質(zhì)內(nèi)涵

關(guān)于面積，數(shù)學(xué)教材中給出了這樣的定義：“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。其中看似熟悉的“大小”一詞，足以讓三年級(jí)的學(xué)生懵懵懂懂，更不用說(shuō)“物體表面”和“封閉圖形”這兩個(gè)高度數(shù)學(xué)化的名詞了。追溯面積概念的起源，其雛形發(fā)端于古埃及，由于尼羅河泛濫對(duì)土地的影響，古埃及人發(fā)明了一套行之有效的量地法，雖然他們并沒(méi)有明確給出面積的定義，但他們清楚地知道：面積是對(duì)平面物體大小的度量。[2]通過(guò)翻閱課標(biāo)及教參可以發(fā)現(xiàn)，這部分內(nèi)容隸屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域“圖形的測(cè)量”版塊，再次印證了應(yīng)將其納入度量的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中。這使我們意識(shí)到對(duì)面積概念的理解不可僅停留于“大與小”的感性認(rèn)知層面，更需要借助工具對(duì)“面的大小”加以度量，并用一個(gè)帶單位的數(shù)去刻畫(huà)它。

二、綜合分析，明確面積概念建構(gòu)意義

（一）教材分析，明晰前后邏輯

本課作為《面積》單元的起始課，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了長(zhǎng)、正方形的特征，理解了長(zhǎng)度的概念，并且會(huì)計(jì)算長(zhǎng)、正方形周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，是學(xué)生對(duì)空間的認(rèn)知從一維向二維轉(zhuǎn)化的開(kāi)始，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)長(zhǎng)、正方形乃至其他平面圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。聯(lián)系后續(xù)體積相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，從一維到二維，再邁向三維，本內(nèi)容更是小學(xué)階段學(xué)好幾何知識(shí)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

（二）學(xué)情分析，把握認(rèn)知基礎(chǔ)

三年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)建立了長(zhǎng)度的相關(guān)概念，但是由“長(zhǎng)度”到“面積”，知識(shí)跨度較大，抽象性也更強(qiáng)，學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)識(shí)不像長(zhǎng)度那樣有較為豐富的生活經(jīng)驗(yàn)作支撐，他們往往認(rèn)為圖形的周長(zhǎng)越長(zhǎng)面積越大，或者根本分不清周長(zhǎng)與面積?？梢?jiàn)，對(duì)面積概念的正確建構(gòu)，以及對(duì)周長(zhǎng)與面積聯(lián)系與區(qū)別的探尋，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維從一維到二維的飛躍。

三、優(yōu)化設(shè)計(jì)，促進(jìn)面積概念深入理解

基于上述分析，為幫助學(xué)生建立面積表象，抽象面積概念，厘清面積與周長(zhǎng)之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)展空間觀念，我們?cè)O(shè)計(jì)了以下教學(xué)活動(dòng)。

活動(dòng)一：激發(fā)舊知，初識(shí)線長(zhǎng)短與面大小的區(qū)別

師：迎著春風(fēng)，播種希望，一年一度的校園種植又開(kāi)始了！今年，學(xué)校用相同長(zhǎng)度的籬笆圍菜地分給3個(gè)班種植蔬菜（如圖1）。他們分到的菜地一樣大嗎？

師：淘氣認(rèn)為3塊菜地一樣大，因?yàn)樗苛嘶h笆的長(zhǎng)度，一樣長(zhǎng)。結(jié)合你剛才的想法想一想，你同意他的觀點(diǎn)嗎？

生：淘氣比的是周長(zhǎng)。周長(zhǎng)是線的長(zhǎng)短，而菜地的大小，比的是里面。

師：是呀，比里面就是比面，看來(lái)面是有大小的。

【設(shè)計(jì)意圖：基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與興趣，制造認(rèn)知沖突，創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的真實(shí)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)事實(shí)與現(xiàn)象，在問(wèn)題解決中展開(kāi)深度學(xué)習(xí)，在思維碰撞中明辨度量對(duì)象，初步感知周長(zhǎng)（線長(zhǎng)短）與面積（面大?。┑膮^(qū)別，明晰比較菜地大小的實(shí)質(zhì)是比較面的大小。】

活動(dòng)二：驗(yàn)證猜想，通過(guò)度量活動(dòng)認(rèn)識(shí)面積概念

師：剛才大家說(shuō)這3個(gè)面大小是不一樣的，老師將這三個(gè)面也請(qǐng)到了黑板上。究竟哪個(gè)大，哪個(gè)小呢？

師：大家的想法各不相同，如何驗(yàn)證呢？

生：（重疊法、直尺測(cè)量、小方塊測(cè)量……）

師：不錯(cuò)，測(cè)量長(zhǎng)度用較短的線測(cè)量，測(cè)量面的大小可以用較小的面來(lái)測(cè)量。你們可以借助學(xué)具袋里的工具，也可以創(chuàng)造其他工具來(lái)測(cè)量面的大小。

（分組測(cè)量，匯報(bào)交流，達(dá)成共識(shí)）

師：我們用相同的小方片進(jìn)行測(cè)量，鋪滿了每個(gè)面，小方塊的個(gè)數(shù)就表示了這些面的大小，在數(shù)學(xué)上我們給它一個(gè)名稱——“面積”。

生：那么，①號(hào)圖形的面積是8個(gè)小方片，②號(hào)圖形的面積是9個(gè)小方片，③號(hào)圖形的面積是5個(gè)小方片。

師：這里還有一塊菜地是這樣圍的（如圖2），你能測(cè)量出它的面積嗎？

師：看來(lái)，像這樣不封閉的圖形無(wú)法確定它的面積。

【設(shè)計(jì)意圖：如何比較三個(gè)面的大??？為凸顯面積的實(shí)質(zhì)是一個(gè)帶單位的數(shù)，我們巧借“菜地不可移動(dòng)、分割”，引導(dǎo)學(xué)生從度量的本質(zhì)入手，把非正式的經(jīng)驗(yàn)發(fā)展為形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)，在辯證思考進(jìn)行測(cè)量工具選擇的過(guò)程中類比遷移，建立“用長(zhǎng)度測(cè)長(zhǎng)度，用面積測(cè)面積”的表象，借助測(cè)量數(shù)據(jù)間接比較得到了結(jié)果。與此同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生感知不封閉的圖形無(wú)法確定它的面積，進(jìn)一步豐富對(duì)面積概念的理解?！?/p>

活動(dòng)三：鞏固應(yīng)用，反饋與深化學(xué)生對(duì)面積概念的理解

師：咱們今天在種植園規(guī)劃問(wèn)題中得到了很多智慧，收獲了關(guān)于面積的知識(shí)。接下來(lái)，就讓我們運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)解決問(wèn)題吧！

1.鞏固反饋型作業(yè)：說(shuō)一說(shuō)它們的面積分別是多少。

2.深化理解型作業(yè)：這塊吐司的面積變化了嗎？

3.實(shí)際應(yīng)用型作業(yè)：說(shuō)說(shuō)下面問(wèn)題研究的是圖形的周長(zhǎng)還是面積。

（1）氣制作相框用了多少邊框？

（2）淘氣給相框配了多大的玻璃？

（3）媽媽給桌布四周鑲了多少花邊？

（4）奇思繞操場(chǎng)跑一圈，跑了多遠(yuǎn)？

（5）值日生擦的黑板有多大？

（6）工人師傅用油漆刷了多大一扇門？

4.回顧反思型作業(yè)：通過(guò)今天對(duì)面積的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

反思活動(dòng)

①關(guān)于面積，你有什么收獲？與你之前所了解的有什么不同？

②面積和周長(zhǎng)有什么區(qū)別與聯(lián)系？

【設(shè)計(jì)意圖：為了解學(xué)生對(duì)面積概念的建構(gòu)情況，促進(jìn)學(xué)生對(duì)面積概念的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，我們?cè)O(shè)置了多樣的作業(yè)。第1題，換角度感知面在哪里、積是多少，鞏固與反饋面積概念建構(gòu)的同時(shí)初步了解估測(cè)不規(guī)則物體面積的方法。第2題，通過(guò)數(shù)方格感受面積相同圖形可能不同，并在圖形的移動(dòng)變換中感悟面積的運(yùn)動(dòng)不變性和有限可加性，深化對(duì)面積概念的理解。第3題，結(jié)合生活實(shí)際精準(zhǔn)辨析周長(zhǎng)與面積，強(qiáng)化對(duì)周長(zhǎng)及面積概念的理解。第4題，貫通長(zhǎng)度、面積、體積乃至所有常見(jiàn)量度量本質(zhì)的一致性，建立起度量大單元知識(shí)結(jié)構(gòu)?！?/p>

李邦河指出，數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。[3]數(shù)學(xué)概念雖然抽象生澀，但只要用心進(jìn)行深度挖掘，就能找到一條貫穿整個(gè)主題的重要線索，進(jìn)而設(shè)計(jì)出符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生深化概念理解，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成學(xué)習(xí)策略，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬芯蘭，孫佳威.開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2021：10.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：64.

[3]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（08）：1-3+9.