淺談?wù)w觀下圖形變化的層級(jí)探究

崔麗楠

摘要：初中階段，圖形的變化主要為折疊（軸對(duì)稱）、旋轉(zhuǎn)、平移這三類基本的圖形運(yùn)動(dòng)?！皥D形的變化”強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究圖形，理解圖形在軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)的變化規(guī)律和變化中的不變量。圖形折疊的相關(guān)知識(shí)、解題方法等在不同年級(jí)和章節(jié)比較零散，不夠系統(tǒng)全面。大單元教學(xué)的核心目標(biāo)就是將零散的知識(shí)進(jìn)行整合，將知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)。[1]

關(guān)鍵詞：整體結(jié)構(gòu) 圖形的變化 折疊

在目前的學(xué)校教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為必然趨勢(shì)。 核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。《新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)（2022年版）》更加強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的整體性和連貫性，到了初中階段，學(xué)生對(duì)圖形的理解上升到對(duì)圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化規(guī)律的理解，因此要培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象能力、理性思維、幾何直觀和空間想象力，能在實(shí)際情境中，識(shí)別出生活中的軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，并能直觀感受平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的特征。[2]圖形的折疊（軸對(duì)稱）是幾何圖形三種圖形變換中的一種。北師大版教材呈現(xiàn)的知識(shí)結(jié)構(gòu)與各時(shí)段的課標(biāo)要求不同。而九年級(jí)時(shí)，圖形折疊問題綜合性比較強(qiáng)，解題思路比較廣，解題方法靈活。所以，對(duì)圖形的變化在不同學(xué)段進(jìn)行不同的滲透是非常有意義的。在學(xué)習(xí)了角平分線和平行線之后，筆者以折疊中探究平行線性質(zhì)與判定為例，淺談大單元教學(xué)引導(dǎo)下，在七年級(jí)如何滲透圖形的變化。

一、教學(xué)過程

（一）一次操作，初步感知

學(xué)生動(dòng)手操作，折疊一張矩形紙片。 觀察折疊后相等的角。展示學(xué)生的折疊作品如下：

問題1：找出圖中相等的角。

問題2：圖2中，∠AC′D′的度數(shù)是多少？

問題3：圖3中，三角形EBD的形狀？

問題4：圖4中，圖中有幾組平行線？若∠EFC=40°，則∠GED′的度數(shù)？

功能分析：折紙活動(dòng)對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生來說是件有意義的事情，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。在操作過程中，通過大家不同的折紙方式，首先可以通過操作感受數(shù)學(xué)中的分類思想。其次，通過觀察，直觀感受折疊的軸對(duì)稱作用，從而找到相等的角，利用問題串，將探究的問題一步步加深。問題1通過找相等的角感受折痕的角平分線的作用。問題2感受折疊前后的全等，邊相等、角相等。問題3將角平分線與平行線結(jié)合，利用平行線的性質(zhì)，得到∠EBD=∠EDB。

問題4發(fā)現(xiàn)存在兩組平行線，兩組平行線的結(jié)合，兩組角平分線的結(jié)合進(jìn)行求解。本次操作活動(dòng)，既發(fā)展了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，又提升了學(xué)生的歸納總結(jié)能力。

例1：如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、D'，若∠2=35°，則∠1的度數(shù)為（）?

例2：如圖，在三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，點(diǎn)D在AB邊上（不與A、B重合），連接CD，將△ACD沿CD所在直線折疊得到△A′CD，A′C交AB于點(diǎn)E.如圖，若A′D∥BC，則∠ACD的度數(shù)為? ? ?；

設(shè)計(jì)意圖：小試牛刀，例1將折疊與矩形結(jié)合，既加深折痕是角平分線的作用，又結(jié)合平行線的性質(zhì)來求解。例2通過折疊三角形，鞏固折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，折痕是角平分線的作用。對(duì)學(xué)生通過操作觀察得到的結(jié)論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐探究，發(fā)展理性思維能力。

（二）二次操作，總結(jié)歸納

例3：如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD 上，連接EF，將∠BEF對(duì)折，點(diǎn)B落在直線EF上的B′處，得折痕EM；將∠AEF對(duì)折，點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)A′處，得折痕EN，則∠MEN的度數(shù)為_________。

功能分析：在活動(dòng)一中圖1的基礎(chǔ)之上繼續(xù)進(jìn)行操作，通過二次折疊，繼續(xù)感知折痕是角平分線的作用。 通過實(shí)際操作，學(xué)生可觀察出七年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)角平分線時(shí)涉及到的雙角平分線模型，此過程學(xué)生由實(shí)踐操作再次進(jìn)行提煉、歸納總結(jié)。

例4：如圖，長方形紙片ABCD，將∠ADC和∠ABC分別沿著DD′、BB′對(duì)折，使得點(diǎn)A落在邊CD上，點(diǎn)C落在邊AB上，請(qǐng)問兩條折痕DD′、BB′的位置關(guān)系如何？為什么？

功能分析：在活動(dòng)一的圖2基礎(chǔ)之上繼續(xù)進(jìn)行操作，結(jié)合七年級(jí)所學(xué)的平行線知識(shí)，將角平分線和平行線相結(jié)合。教師在引導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，領(lǐng)著學(xué)生進(jìn)行分析結(jié)論，分析條件。學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想，驗(yàn)證推理的過程。

變式練習(xí)：（2023春·太原期中變式）綜合與實(shí)踐

問題情境：

數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以“長方形紙帶的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，已知長方形紙帶的邊AD∥BC，將紙片沿折痕EF折疊，點(diǎn)A，B分別為點(diǎn)A'，B'，線段B′F與DE交于點(diǎn)G。（說明：折疊后紙帶的邊A′E∥B′F始終成立）

操作探究：

（1）如圖1，若B′F⊥AD，則∠EFG的度數(shù)為_________°；

（2）如圖2，改變折痕EF的位置，其余條件不變，小彬發(fā)現(xiàn)圖中∠1=∠2始終成立，請(qǐng)說明理由；

（3）改變折痕EF的位置，使點(diǎn) B'恰好落在線段AD上，然后繼續(xù)沿折痕MN折疊紙帶，點(diǎn)M，N分別在線段FC和B′D上.如圖3，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′，D′，點(diǎn)C′，D′均在AD上方，若∠BFE=α，∠CMN=β，當(dāng)FB′∥MC′時(shí)，直接寫出α與β之間的數(shù)量關(guān)系。

例5：如圖，把長方形ABCD的兩角折疊，折痕分別為EF、HG，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B'、D'，并且使HD'與B'F在同一直線上，已知長方形的兩組對(duì)邊分別平行，試找出圖中相互平行的直線。

功能分析：難度升級(jí)，問題具有開放性。學(xué)生自己找出平行線段，首先需要經(jīng)歷直觀觀察，猜想再進(jìn)行證明。 此題綜合性較強(qiáng)，但還是需要抓住其本質(zhì)，在折疊過程中，哪些量是不變量，比如∠EB'F=90°，∠HD'G=90°，從而得到EB'∥D'G。 另一方面，折疊過程中，抓住折痕相當(dāng)于角平分線這一特征，如∠GHD'=1/2∠DHF，∠EFB'=1/2∠BFH。又∠DHF=∠BFH，從而得到EF∥GH。 本節(jié)課的探究方式對(duì)于后續(xù)圖形的變化的學(xué)習(xí)具有方法上的點(diǎn)撥。

變式練習(xí)：如圖所示，一張長方形紙片ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），先將紙片沿EF折疊，再將折疊后的紙片沿GH折疊，使得GD′與A′B′重合，展開紙片后若∠BFE=62°，則∠DGH=_________°。

二、教學(xué)思考

（一）整體結(jié)構(gòu)性有助于眼中有木，心中有林

圖形的運(yùn)動(dòng)，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱對(duì)于九年級(jí)的學(xué)生來說，是至關(guān)重要的，并且難度也比較大。 將本節(jié)課內(nèi)容放到整個(gè)幾何知識(shí)板塊中，只是一小部分而已。當(dāng)然，在學(xué)習(xí)了三角形之后，將折疊與三角形相結(jié)合。 學(xué)習(xí)軸對(duì)稱之后，折痕還具有中垂線的作用，但是通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在后續(xù)的探究中，就會(huì)學(xué)會(huì)從什么角度入手來進(jìn)行探究。 在初一階段，將折疊的求角度問題滲透，在八年級(jí)學(xué)習(xí)了勾股定理，將折疊與求邊長相結(jié)合。 學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，再將圖形折疊放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究。九年級(jí)學(xué)生在進(jìn)行探究與思考時(shí)，對(duì)于此類型題目就會(huì)游刃有余。 但我們?cè)诒倦A段教學(xué)時(shí)一直在強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞“角平分線”，并且一直在關(guān)注不變量，抓住本質(zhì)所在。

（二）即時(shí)歸納提煉有助于整體知識(shí)建構(gòu)

我們一直想讓學(xué)生積極參與課堂，努力做到不僅課堂高效，而且學(xué)生樂學(xué)。本節(jié)課重在學(xué)生動(dòng)手操作，獨(dú)立思考，教師引導(dǎo)。設(shè)計(jì)體現(xiàn)了操作的本質(zhì)和特征。重點(diǎn)研究操作前后對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的變與不變。強(qiáng)調(diào)由操作得到的圖形之間特殊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。此外，教學(xué)設(shè)計(jì)不止于操作，還把操作活動(dòng)上升到思維層面，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。將本質(zhì)的、共同的、核心的要素進(jìn)行即時(shí)性的歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行直觀猜測(cè)、數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維等。這種研究圖形變化的思想在七年級(jí)進(jìn)行滲透，有助于遷移到今后的學(xué)習(xí)探究中。

參考文獻(xiàn)：

[1]張存敬.第1講操作性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（3）：51-54.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022）版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.