算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)要滲透代數(shù)思維

尹力 郭修瑾

摘要：從算術(shù)到代數(shù)的過渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。對此，應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號化表征、推理、論證等思維過程。具體地，包括：在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識不確定的數(shù)；在等號含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系；在數(shù)學(xué)運算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)；在運算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)思維；算術(shù)內(nèi)容；一般化；數(shù)量關(guān)系

長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視算術(shù)內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)課程重視代數(shù)內(nèi)容。代數(shù)是算術(shù)的發(fā)展：一般化，基于字母表示數(shù)。因此，從算術(shù)到代數(shù)的過渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。從1978年開始，我國便在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中逐步滲透代數(shù)的內(nèi)容；21世紀(jì)新課程改革以來，“數(shù)與代數(shù)”更是成為我國義務(wù)教育（小學(xué)與初中）數(shù)學(xué)課程共同的一個學(xué)習(xí)領(lǐng)域。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)內(nèi)容一直有一些變化。比如，1978年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中設(shè)置了“簡易方程”，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將小學(xué)階段的方程內(nèi)容全部移到了初中階段。［1］

實際上，從算術(shù)到代數(shù)的過渡，更應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維。代數(shù)思維是一種區(qū)別于算術(shù)思維的思考數(shù)學(xué)問題的方式，其本質(zhì)在于對一般性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理或分析，并且在這個過程中通常出現(xiàn)不確定的量（包括未知量與變量）。［2］發(fā)展小學(xué)生的代數(shù)思維能促進(jìn)其抽象與推理能力的發(fā)展。教師可以在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號化表征、推理、論證等思維過程。

一、在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識不確定的數(shù)

（一）從靜態(tài)的數(shù)到動態(tài)的數(shù)

數(shù)是確定的，是對數(shù)量的抽象（數(shù)量是對事物屬性的定量刻畫），但其表征與蘊含的關(guān)系是多元的，可以根據(jù)需要合理表征。數(shù)的學(xué)習(xí)中，代數(shù)思維體現(xiàn)為不僅將數(shù)看作靜態(tài)結(jié)果，也把數(shù)看成不同關(guān)系的組合，從而建構(gòu)對數(shù)的多角度理解。

啟發(fā)學(xué)生用不同的方式表征數(shù)，是幫助學(xué)生對數(shù)建立動態(tài)理解的關(guān)鍵。比如，要求學(xué)生從5開始寫出三個連續(xù)的自然數(shù)，學(xué)生一般會寫出5、6、7。如果教學(xué)僅限于此，那么，學(xué)生對數(shù)的理解是單一的，數(shù)之間的關(guān)系被淡化了。教師可以組織學(xué)生探索其他表征方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生寫出5、5+1、5+2。以這種方式表征，不僅可以表示數(shù)5、6、7，也能促使學(xué)生關(guān)注這三個連續(xù)的自然數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生探索更多的方式來表征蘊含這樣關(guān)系的三個數(shù)，如7-2、7-1、7，還有6-1、6、6+1等。

像這樣表征數(shù)的方式，可以進(jìn)一步拓展到其他問題中。比如，隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍的擴(kuò)充，教師可以引導(dǎo)學(xué)生表征較大的整數(shù)以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)。隨著學(xué)生知識經(jīng)驗的豐富，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生表征連續(xù)的奇數(shù)或者偶數(shù)，甚至可以用來探索各種與數(shù)有關(guān)的規(guī)律。例如：在圖1中任意框出“十字架”形的5個數(shù)，說出其他4個數(shù)與中間的數(shù)有什么關(guān)系？［3］用13、17、18、19、23這樣的形式表達(dá)，其內(nèi)在的規(guī)律不易被發(fā)現(xiàn)。而用18-5、18-1、18、18+1、18+5的表征方式多列舉幾組，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)并概括其中蘊含的數(shù)的規(guī)律：用a表示中間的數(shù)，則a-5、a+5、a-1、a+1分別表示上下左右4個數(shù)。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生體會到數(shù)是動態(tài)的，可以進(jìn)行合理的分解，感悟數(shù)中蘊含著多元的關(guān)系。

（二）從具體的數(shù)到概括的數(shù)

代數(shù)思維的核心是“一般化”，即不斷提升數(shù)學(xué)對象的抽象水平。對數(shù)的再抽象便是從具體的數(shù)向概括的數(shù)發(fā)展。有的問題中，數(shù)是已知且確定的，學(xué)生能理解用某個具體的數(shù)表示。而有的問題中，數(shù)是不確定的，需要用多個甚至是無數(shù)個具體的數(shù)表示。這不利于實際應(yīng)用，所以需要轉(zhuǎn)變思維，用某個符號表征這些不確定的數(shù)，并理解符號所表征的數(shù)的含義與能夠參與運算的功能。

從具體的數(shù)到概括的數(shù)的認(rèn)識過程不是一蹴而就的。教師需要捕捉教學(xué)中的契機，引入適當(dāng)?shù)膯栴}情境，促使學(xué)生主動對具體的數(shù)進(jìn)行概括?！坝米帜副硎緮?shù)”是專門學(xué)習(xí)概括的數(shù)的內(nèi)容，教學(xué)中可出示問題：甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地，行了多少千米，還剩多少千米？對此，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生體會行駛的路程是不確定的，無法用具體的數(shù)表示，需要用其他符號表示；其次才是引導(dǎo)學(xué)生從多種表征方式向規(guī)范的字母表示發(fā)展。當(dāng)然，在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”之前，也有很多機會讓學(xué)生感知數(shù)的概括意義。比如上述探索數(shù)的規(guī)律的問題，在表征規(guī)律時，具體的數(shù)有局限性，用符號表征才能幫助學(xué)生理解規(guī)律的普遍適用性。

二、在等號含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系

等號具有兩重含義，即程序性意義與關(guān)系性意義。前者是算術(shù)思維的體現(xiàn)，后者是代數(shù)思維的體現(xiàn)?？ㄅ硖氐日J(rèn)為，由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的標(biāo)志之一是從等號的程序觀念到關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。實際上，學(xué)生剛認(rèn)識大于、小于和等于時，認(rèn)為三種符號就是用來表征關(guān)系的。后來，長時間的運算學(xué)習(xí)使得學(xué)生將等號看作執(zhí)行運算的指令，即等號的右邊要輸出運算的結(jié)果。因而，在算術(shù)教學(xué)中，應(yīng)該重建學(xué)生對等號的理解，強化學(xué)生對等號關(guān)系性質(zhì)的認(rèn)識，啟發(fā)學(xué)生將等號看作等價的標(biāo)志，即表示兩邊的數(shù)學(xué)對象大小相等。

（一）借助直觀模型，理解相等關(guān)系

天平是表征關(guān)系的直觀模型。借助天平，學(xué)生能從感性到理性逐步理解等號的關(guān)系性質(zhì)。比如，利用天平開展數(shù)學(xué)活動：如圖2，盤子里每個蘋果的重量都相等，從5個盤子里選出一些盤子里的蘋果（一個盤子里的蘋果不分開）放到天平的兩邊，使天平保持平衡，可以怎么放？引導(dǎo)學(xué)生找出多種方法，重點體會任意一種方法中天平左右兩邊蘋果交換后仍然可以保持平衡，為學(xué)生理解等號兩邊的數(shù)或式交換位置后相等關(guān)系仍然成立打下基礎(chǔ)。再啟發(fā)學(xué)生用算式表示天平兩邊蘋果的數(shù)量關(guān)系，主要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)天平模型寫出3=1+2、5=1+4、5=2+3一類算式。接著，組織學(xué)生觀察這類算式的特點，并與1+2=3、1+4=5、2+3=5這類算式比較，體會等號表示兩邊的數(shù)相等，等號兩邊的數(shù)即便交換位置，也不會改變它們的相等關(guān)系。

（二）建構(gòu)等式性質(zhì)，強化相等關(guān)系

等式性質(zhì)是對相等關(guān)系的拓展，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解等號的關(guān)系性質(zhì)，以代數(shù)思維分析與解決問題。等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)：兩邊同時乘一個數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時加上若干個相同的數(shù)；兩邊同時除以一個非0的數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時連續(xù)減去若干個相同的數(shù)。教學(xué)時，仍需借助天平這一直觀模型，幫助學(xué)生理解等號兩邊同時變化的過程，逐步抽象出等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2，形成意義理解。

在此基礎(chǔ)上，有意識地應(yīng)用等式的性質(zhì)判斷等式是否成立，是衡量學(xué)生是否具有代數(shù)思維的標(biāo)志。比如，通過問題

“已知m=n，在（）里填入合適的數(shù)或字母：m+4=n+（），m×p=n×（），m-（）=n-17，m÷（）=n÷q”［4］，測評學(xué)生對等式性質(zhì)的掌握水平。算術(shù)思維下，學(xué)生判斷等號左右兩邊是否相同，需要算出結(jié)果進(jìn)行比較。而該問題中，學(xué)生無法計算，只能依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行推理。在探索與應(yīng)用等式性質(zhì)的過程中，學(xué)生不僅能從新的角度理解等號的含義，也能接觸很多新穎的等式（以往都是等號右邊只有一個數(shù)的類型），從而為代數(shù)思維的發(fā)展打下基礎(chǔ)。

三、在數(shù)的運算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)

計算是算術(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。教師普遍重視學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，學(xué)生也基本能形成良好的運算技能，最顯著的表現(xiàn)是：遇到一步算式，便列豎式計算；遇到綜合算式，便按照運算順序一步步計算，熟練度與正確率都比較高，但這些都是程序化算術(shù)思維的體現(xiàn)。而運算能力不僅指正確計算，還包含根據(jù)運算律選擇合理簡潔的運算途徑。這其中蘊含了代數(shù)思維的培養(yǎng)契機。

早期代數(shù)研究者提出“準(zhǔn)變量”的概念，意指在一個或一組算式中，存在某些潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系，這些數(shù)學(xué)關(guān)系不會因為數(shù)字的改變而變化。數(shù)字是具體可變的，但其中蘊含的關(guān)系一般是不變的。學(xué)生可以具體數(shù)字為載體，探索應(yīng)用其中的一般關(guān)系。因而，“準(zhǔn)變量思維”被稱作溝通算術(shù)思維與代數(shù)思維的橋梁。計算教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換自動化的算術(shù)思維，應(yīng)用“準(zhǔn)變量思維”挖掘算式中隱藏的關(guān)系，通過恒等變形探索更合理簡潔的運算途徑。例如，計算103×25，學(xué)生的第一反應(yīng)是列豎式計算，這是程序化的算術(shù)思維。若不加引導(dǎo)，學(xué)生的算術(shù)思維會愈加自動化，關(guān)系性的代數(shù)思維會更難扎根發(fā)展。在學(xué)生掌握乘法分配律后，可以引導(dǎo)學(xué)生將103看作準(zhǔn)變量，進(jìn)行合理的分解：103×25＝（100+3）×25=100×25＋3×25。由此，學(xué)生不難通過口算得出結(jié)果。當(dāng)然，103的分解方法是多樣的，分解成100與3只是其中使得運算最合理簡潔的一種。對上述案例進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)運算中算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別：算術(shù)思維的著眼點在細(xì)節(jié)，弄清每一步做什么，然后按照計劃執(zhí)行；代數(shù)思維的著眼點在全局，先進(jìn)行整體上的分析，厘清關(guān)系后進(jìn)行恒等變形，找出更加合理的運算途徑后再計算。而這時候的計算要比算術(shù)思維下的計算簡潔很多。

實際上，在小學(xué)階段，學(xué)生會掌握很多運算律或運算性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律、分配律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律、除法性質(zhì)與減法性質(zhì)等。這些都是蘊含在具體算式中的一般關(guān)系，等待學(xué)生挖掘與應(yīng)用。也就是說，學(xué)生已經(jīng)具備了進(jìn)行代數(shù)思維的知識基礎(chǔ)，關(guān)鍵是教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，緩解算術(shù)思維的自動化程度，培養(yǎng)整體分析算式、進(jìn)行恒等變形的代數(shù)意識。

而且，應(yīng)用“準(zhǔn)變量”概念探尋算式結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生認(rèn)識到運算是一種制造對應(yīng)關(guān)系的法則，從而初步體會函數(shù)思想［5］——從本質(zhì)上看，各種運算都是對應(yīng)法則，都是函數(shù)。

四、在運算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證

算術(shù)思維關(guān)注的是具體的數(shù)或算式，代數(shù)思維關(guān)注的是一般的對象或關(guān)系。所以，代數(shù)思維的核心是一般化：將若干個具體的實例概括成統(tǒng)一的形式。算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會遇到很多運算規(guī)律，這些運算規(guī)律都是對算術(shù)中普遍性關(guān)系結(jié)構(gòu)的概括。在運算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納概括與推理論證的過程，有利于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。

（一）概括運算規(guī)律

歸納概括是從幾個具體的例子推出一般規(guī)律的思維過程，包括有序經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律、歸納規(guī)律、概括表征等學(xué)習(xí)活動，有助于學(xué)生逐步體驗運算規(guī)律的一般化，感知代數(shù)思維的一般化特征。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，一般先引導(dǎo)學(xué)生探索問題情境（如下頁圖3所示），得出具體的等式（6+4）×24=6×24+4×24；再讓學(xué)生觀察這樣的等式，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在學(xué)生獲得一定發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上提出問題：“其他的數(shù)的運算也符合這樣的規(guī)律嗎？寫幾道這樣的式子，并驗證等號兩邊的結(jié)果是否相等?！崩^續(xù)引導(dǎo)：“像這樣的等式還有嗎？你們能寫完嗎？”啟發(fā)學(xué)生理解，數(shù)可以任意變化，但其中蘊含的規(guī)律是不變的?！澳苡靡痪湓挶硎締?？能用更簡潔的方法表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生先用個性化的語言表征規(guī)律，將重點放在規(guī)律概括的正確性上。最后啟發(fā)學(xué)生用多樣、簡潔的方式表示，最終向規(guī)范化的字母表征發(fā)展。需要注意的是：教學(xué)的要點是對運算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括，即引導(dǎo)學(xué)生正確地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會用數(shù)字表征的局限性，感悟其他符號概括數(shù)的功能。至于是否用字母進(jìn)行表征，則是相對次要的。

（二）論證運算規(guī)律

對于所說的“一般化”，應(yīng)該有更加完整的理解，即不僅是指由特殊上升到一般，也包括結(jié)果的表述與論證。［6］運算規(guī)律的歸納概括主要是一種歸納推理，具有或然性，需要通過推理論證來說明必然性。經(jīng)歷推理論證過程，不僅能深化學(xué)生對運算規(guī)律的理解，也能促進(jìn)運算規(guī)律的應(yīng)用。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，從多個具體的等式中歸納出（a+b）×c＝a×c+b×c后，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考這一規(guī)律為何成立?？梢詥l(fā)學(xué)生從兩個角度理解規(guī)律。第一個角度，借助直觀模型理解。如圖4，有兩個小長方形，其面積和有兩種算法：可以先求出兩個小長方形的面積再相加，即a×c+b×c；也可以先把兩個小長方形合成一個大長方形，再算出面積，即（a+b）×c。這兩種算法結(jié)果相同，所以，（a+b）×c＝a×c+b×c。

第二個角度，借助乘法的意義理解。a×c表示a個c相加，b×c表示b個c相加，a×c+b×c表示（a+b）個c相加，即（a+b）×c。

有時，我們的教學(xué)過于重視運算規(guī)律的應(yīng)用，在歸納概括出規(guī)律后，便匆忙用其解決問題，忽視了對規(guī)律的理解與論證。這不僅導(dǎo)致機械學(xué)習(xí)、淺層理解與錯誤頻發(fā)，也使學(xué)生缺失了對相等關(guān)系的深度體悟。因此，運算規(guī)律的教學(xué)中，概括與論證不可或缺，共同促進(jìn)學(xué)生體會代數(shù)思維中的“一般化”。

參考文獻(xiàn)：

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