借助“數(shù)學(xué)畫”作品 實(shí)施表現(xiàn)性評(píng)價(jià)
——以《雞兔同籠》為例

文 |陳昱（特級(jí)教師） 萬榮 欒靜

不同于知識(shí)技能的顯性易測(cè)，具有整體性、情境性與反思性的核心素養(yǎng)關(guān)乎人的“關(guān)鍵能力”和“必備品格”，需要實(shí)施表現(xiàn)性評(píng)價(jià)。“數(shù)學(xué)畫”是學(xué)生思維的表征，具有很強(qiáng)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)功能。借助“數(shù)學(xué)畫”作品可以實(shí)施表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，下面以“雞兔同籠”教學(xué)為例來具體談一談。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)的確立和具體化

實(shí)施表現(xiàn)性評(píng)價(jià)首先要確立學(xué)習(xí)目標(biāo)，而核心素養(yǎng)導(dǎo)向應(yīng)當(dāng)是確定學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí)必須把握的基本原則。參照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求，我們確定“雞兔同籠”學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)為：模型意識(shí)和問題解決能力的養(yǎng)成與提升。這樣的目標(biāo)要落實(shí)到課堂教學(xué)，還需要進(jìn)一步解析和具體化：

1.能夠自主整理“雞兔同籠”問題，提取信息，明確條件和問題。

2.能夠自主探究和解決“雞兔同籠”問題。

3.交流解決問題的方法，會(huì)利用圖示、語言等清晰表達(dá)自己的想法，傾聽和理解同伴的不同想法，體驗(yàn)方法的多樣性與趣味性。

4.比較不同方法，發(fā)現(xiàn)多樣方法背后“假設(shè)→驗(yàn)證→調(diào)整”的問題解決策略的共通性，初步建立“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型，并基于多樣比較和自我選擇實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化。

5.能夠應(yīng)用模型解決包括變式的雞兔同籠問題，能識(shí)別無關(guān)問題，反思并掌握問題解決的一般過程。

具體化的學(xué)習(xí)目標(biāo)是表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的依據(jù)，以上具有層級(jí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)也是評(píng)價(jià)目標(biāo)。

二、表現(xiàn)性任務(wù)的設(shè)計(jì)和思考

有了表現(xiàn)性目標(biāo)就可以設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)，表現(xiàn)性任務(wù)是表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的核心要素之一。圍繞核心學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們整體設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)任務(wù)（如表1）：分兩課時(shí)教學(xué)，第一課時(shí)對(duì)應(yīng)目標(biāo)1～4設(shè)計(jì)了三個(gè)任務(wù)；第二課時(shí)對(duì)應(yīng)目標(biāo)5也設(shè)計(jì)了三個(gè)任務(wù)。其中任務(wù)四同時(shí)也是第一課時(shí)的課后作業(yè)，在第二課時(shí)進(jìn)行作業(yè)展評(píng)與反饋；任務(wù)六作為綜合性和研究性單元作業(yè)延伸到課外。如評(píng)價(jià)目標(biāo)具有層次性一樣，六個(gè)任務(wù)也是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的，本文聚焦第一課時(shí)的三個(gè)任務(wù)（表中具體呈現(xiàn)）。

表1 “雞兔同籠”學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)表（人教版四年級(jí)下冊(cè)第九單元）

表現(xiàn)性任務(wù)傾向于創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，學(xué)生在問題解決過程中自然呈現(xiàn)處于不同理解水平的真實(shí)表現(xiàn)?！半u兔同籠”雖不是一般意義上的真實(shí)問題，卻是很經(jīng)典的古代數(shù)學(xué)趣題，其思考性、困惑性、可操作性、趣味性都具備，且是很好的建模及問題解決的教學(xué)素材。

三、表現(xiàn)性評(píng)價(jià)的實(shí)施和作用

依據(jù)評(píng)價(jià)目標(biāo)和學(xué)習(xí)前測(cè)，教師首先建立本問題的作品評(píng)價(jià)框架（如表2）。在教學(xué)實(shí)踐中，作品評(píng)價(jià)框架主要有兩方面用途：課堂上對(duì)學(xué)生作品迅速分層，及時(shí)展評(píng)；學(xué)習(xí)前測(cè)、課堂探究和學(xué)習(xí)后測(cè)三者或兩兩之間進(jìn)行對(duì)比分析。兩者都指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的診斷、改進(jìn)，下面重點(diǎn)分析任務(wù)二、三的課堂展評(píng)。

表2 “雞兔同籠”問題探究作品評(píng)價(jià)框架

1.水平1作品展評(píng)：讓思考更全面、更靈動(dòng)

【教學(xué)片斷1】

出示例題：

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭；從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

師：這里有兩幅作品（出示圖1、圖2），你能看懂嗎？

圖1

圖2

生：第一幅6只兔、2只雞錯(cuò)了，第二幅也不對(duì)。

師：6只雞、2只兔加起來正好8個(gè)頭，哪里錯(cuò)了？

生：雖然8個(gè)頭對(duì)了，但是腳數(shù)不對(duì)，一共有28只腳，實(shí)際是26只腳。

師：看來頭數(shù)、腳數(shù)都要滿足條件才行。看第二幅，你有什么想說的？

生：第二幅也不對(duì)，雖然她的腳數(shù)畫了26只，但是頭數(shù)不對(duì)，6只兔、1只雞，才7只。

師：那怎樣才能正確解決問題呢？讓我們?cè)賮砜匆环髌罚ǔ鍪緢D3），請(qǐng)小作者介紹一下。

圖3

生：雞兔一共是8個(gè)頭，我就把所有情況都列出來，一共有9種可能，然后再算出每一種情況的腳數(shù)。最后我發(fā)現(xiàn)當(dāng)兔5只、雞3只時(shí)腳數(shù)正好是26只，這就是我找到的答案。

師：觀察表格，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：他的方法特別有條理，按照順序一個(gè)一個(gè)算，讓我們看得很清楚。

生：我發(fā)現(xiàn)了表中的規(guī)律，兔的數(shù)量越來越少，雞的數(shù)量越來越多，腳數(shù)越來越少。

生：我發(fā)現(xiàn)每次腳數(shù)都會(huì)減少2只。

師：什么情況下腳數(shù)會(huì)減少2只呢？

生：每減少1只兔，增加1只雞，腳數(shù)就減少2只。

師：這是從上往下看的規(guī)律，如果從下往上看呢？

生：每增加1只兔，減少1只雞，腳數(shù)就增加2只。

師：非常棒！還有兩幅作品，對(duì)比一下（出示圖4、圖5），它們與圖3的方法相比有什么相同和不同？

圖4

圖5

組1：我們認(rèn)為這三種都是列舉法，只是圖3列舉了所有情況，另外兩個(gè)只列舉了一部分，因?yàn)橐呀?jīng)找到答案了，不需要都列舉。

組2：我們發(fā)現(xiàn)圖3是用表格，這兩個(gè)是畫圖，還有列式。

組3：圖5是我們組的作品，我們發(fā)現(xiàn)圖4雖然也有列算式，但是算式不一樣：我們是用除法和減法算的，而他們是用乘法和加法算的。

師：很細(xì)致的一個(gè)發(fā)現(xiàn)，算法不同背后往往是思路不一樣，比較一下，兩種思路有什么不同？

組4：圖4是我們組的作品，假設(shè)幾只兔子和雞，然后算腳數(shù)；而圖5是用腳數(shù)來算頭數(shù)。

師：誰聽懂了？

生：他們的意思是，圖4是用頭數(shù)算腳數(shù)，用乘法和加法；圖5是用腳數(shù)算頭數(shù)，用減法和除法，思路是相反的。

【教學(xué)思考】

以上展評(píng)分三個(gè)層次來推進(jìn)：（1）發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題需要兼顧兩個(gè)條件，只顧其一就會(huì)出錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生思考問題要全面；（2）發(fā)現(xiàn)有序列舉的所有情況，不但可以通過推算找到答案，還可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突出有序思考的優(yōu)勢(shì)；（3）對(duì)比發(fā)現(xiàn)有序列舉不用窮舉更簡(jiǎn)便，推算的思路可以不同，相應(yīng)的推算方法也不同，讓學(xué)生體會(huì)指向問題解決的思考方法的多樣性、靈活性。以上交流為后面更高水平作品的展評(píng)及更重要的思維進(jìn)階做好了鋪墊。

2.水平2作品展評(píng)：借圖說明和理解不同思路

【教學(xué)片斷2】

師：接下來再看幾位同學(xué)的想法（出示圖6），這個(gè)能看懂嗎？一開始小作者還畫了圖，看懂的同學(xué)能不能把圖畫完整？請(qǐng)一位同學(xué)說一說每道算式的意思，再請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)畫圖說明，爭(zhēng)取圖式對(duì)應(yīng)。

圖6

圖7

圖8

［教師指2×8=16（只）］

生1：假設(shè)8只都是雞，就有16只腳。

生2畫：［教師指26-16=10（只）］

生1：而實(shí)際上有26只腳，現(xiàn)在少了10只腳，對(duì)不上。

師：說明什么？

生1：說明假設(shè)有問題，肯定不能全是雞，其中有一些應(yīng)該是兔子。我們可以把一些雞改成兔子。

生2接著畫：

［教師指10÷2=5（只）］

生1：每添2只腳，就改出1只兔子，10只腳就能改出5只兔子，說明兔子有5只。

［教師指8-5=3（只）］

生1：一共8只去掉5只兔就是3只雞。

師：（出示圖9、10）有同學(xué)還畫了這種方法的圖，你能看懂嗎？

圖9

圖10

生3：假設(shè)全是兔子，就有8×4=32只腳，比實(shí)際26只腳多了6只腳，兔子假設(shè)多了，需要將一些兔改成雞，也就是去掉2只腳，多6只腳就需要改6÷2=3次，這樣就有3只雞，剩下8-3=5只兔子。

師：說得真好！很多同學(xué)都是用的假設(shè)全是雞或全是兔的方法。請(qǐng)思路不一樣的同學(xué)上臺(tái)展示你的方法！

生4：（出示圖11）我也是假設(shè)全是兔，但我的方法是———

師：我知道還有一些同學(xué)用的方法和思路也是這樣的，但是想著想著就亂了，沒有成功，有的換了別的方法，有的算錯(cuò)了，說明這種方法可能有一定難度。為了幫助同學(xué)們很快明白，我們也可以借助畫圖來說明。生4，你能邊畫圖邊解釋算式的意思嗎？

生4：假設(shè)都是兔子，那26只腳會(huì)有幾只兔子呢？就用26÷4=6（只）……2（只）。

師：這個(gè)可以怎么畫圖？（引導(dǎo)畫圖，漸成圖12）

圖12

生4：剩下2只腳不可能是兔子的，就是雞的。現(xiàn)在有6只兔子1只雞，一共是7只，不符合條件。說明兔子多了，我就把1只兔子改成2只雞。這樣，兔子5只，雞3只，正好8只。

師：你們聽懂了嗎？真好！下面請(qǐng)假設(shè)全是雞但是與剛才展示過的思路不一樣的同學(xué)來展示！

生5：（出示圖13）假設(shè)全是雞，26只腳就有13只雞，13-8=5（只），多了5只，不符合。那就把雞改成兔，2只雞才能改成1只兔（畫圖）。

圖13

圖14

師：大家注意看，這樣雞改成兔每改1次，減少幾只動(dòng)物？（1只）多了5只，需要改幾次？（5次）好，請(qǐng)繼續(xù)！

生5：我這樣改了5次，現(xiàn)在是3只雞、5只兔。

生6：我的算式跟他的一樣，但是我的思路不一樣。

師：你是什么思路？說慢點(diǎn)。

生6：我用的是抬腳法。假設(shè)每只兔子和雞都抬起一半的腳，地上就剩下26÷2=13只腳，再讓它們各抬起1只腳，這樣就剩下13-8=5只腳，這個(gè)時(shí)候雞在地上沒腳了，這5只腳肯定是兔子的，1只兔子地上剩1只腳，所以兔子是5只，雞就是3只。

師：大家覺得怎么樣？

生7：原來同樣的算式還有不一樣的意思??！

師：還有不一樣的方法和思路嗎？

生8：（出示圖15）我一開始假設(shè)4只雞、4只兔，對(duì)半分。算了一下，24只腳，說明兔子少算1只，所以就調(diào)整成3只雞、5只兔，再算一下，對(duì)了！

圖15

師：（出示圖16）這是誰的作品？好像沒有完成？說說你是怎么想的？

圖16

生9：我是這樣想的，既然雞兔同籠，那一定既有雞也有兔，干脆我把雞兔搭配，每組就是6只腳，26只腳里算一算，有4組雞兔，這里單位寫錯(cuò)了，應(yīng)該是“組”，還剩下2只腳，是雞的。

師：有沒有問題？

生10：想法很有意思，但得到的結(jié)果是5只雞、4只兔，超過8只啦！

師：他提供了一條不同的思路，能不能接著他的思路想下去？

生11：（出示圖17）我剛才用他的思路畫了圖，很容易就能解決。到他那里，4只雞、4只兔還剩2只腳，這2只腳絕對(duì)不可能是雞的，因?yàn)槟菢泳统^8只了！不能是雞的，那就是兔的，但是兔子有4只腳，就需要從雞里拿出2只腳，和剩余的2只腳組成1只兔，這時(shí)候是3只雞、5只兔，正好！

圖17

【教學(xué)思考】

（1）放手探究則方法多樣

教材中“雞兔同籠”的解法局限于“由頭數(shù)推算腳數(shù)”這一種思路，沒有顧及學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，甚至限制了學(xué)生的思維。事實(shí)證明，只要放手讓學(xué)生自主探究，自然就能出現(xiàn)各種不同的思路和方法，既有“由頭數(shù)推算腳數(shù)”，也有“由腳數(shù)推算頭數(shù)”；既有假設(shè)全是雞，也有假設(shè)全是兔，還有假設(shè)半雞半兔、雞兔配組等……有近四分之一的學(xué)生采用不同種方法解決問題，這些方法不是教師“教”給學(xué)生的，而是學(xué)生自己探究出來的，學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的主人。

（2）畫圖輔助則理解曉暢

畫圖在本課出現(xiàn)了很多次，大體可以分成兩種情況：一種是學(xué)生自覺使用的，比如畫圖整理信息，一部分學(xué)生解決問題時(shí)先畫圖探究等；還有一種是教師引導(dǎo)使用的，比如本環(huán)節(jié)畫圖輔助展評(píng)。之所以在展評(píng)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生畫圖，是考慮到“數(shù)學(xué)畫”的直觀性特點(diǎn)，圖式對(duì)應(yīng)能較好輔助學(xué)生理解別人的想法，也能幫助展示的學(xué)生說得更清楚，充分發(fā)揮了“數(shù)學(xué)畫”作為思維工具和表達(dá)工具的優(yōu)勢(shì)，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解和交流。

3.任務(wù)三的全班反饋：對(duì)比展評(píng)實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

【教學(xué)片斷3】

師：時(shí)間關(guān)系，第1、2問一起反饋，這些方法有什么異同點(diǎn)？你有什么發(fā)現(xiàn)？

組1：我們發(fā)現(xiàn)，這些方法各不相同，但都有一個(gè)共同點(diǎn)，都是先假設(shè)，再通過計(jì)算驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)有問題再調(diào)整，最后得出答案。

（板書：假設(shè)→驗(yàn)證→調(diào)整）

生：不是所有方法都是假設(shè)法，比如列表的方法就不是假設(shè)。

組1：列表也可以看成假設(shè)，圖3就是假設(shè)了9種不同情況，通過計(jì)算找到符合條件的答案。

組2：我們同意這些方法都用了假設(shè)。補(bǔ)充兩點(diǎn)，第一，我們發(fā)現(xiàn)有的假設(shè)全是雞，有的假設(shè)全是兔，還有的假設(shè)4只雞、4只兔，或者假設(shè)雞兔組團(tuán)，再計(jì)算調(diào)整，其實(shí)可以任意假設(shè)，就像列表那樣，先假設(shè)任意幾只雞、幾只兔，再調(diào)整，都行，關(guān)鍵是要滿足一共8頭和26只腳這兩個(gè)條件；第二，我們還發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橛蓄^數(shù)和腳數(shù)兩個(gè)條件，所以，假設(shè)之后，既可以由頭數(shù)推算腳數(shù)是不是符合，又可以由腳數(shù)推算頭數(shù)是不是符合。

組3：同意組2的發(fā)現(xiàn)，我們也發(fā)現(xiàn)了關(guān)鍵要同時(shí)符合頭數(shù)和腳數(shù)兩個(gè)條件，可以先假設(shè)，要么固定頭數(shù)推算腳數(shù)，要么固定腳數(shù)推算頭數(shù)，不符合就調(diào)整。

師：你們發(fā)現(xiàn)了不同方法背后都有著相同的解決策略和關(guān)鍵點(diǎn)。那你最喜歡哪一種方法？為什么？

生：我最喜歡圖9的方法，因?yàn)楹苋菀桌斫狻?/p>

生：我最喜歡圖13的方法，因?yàn)檫@個(gè)很簡(jiǎn)便。

生：先對(duì)半假設(shè)，再調(diào)整的方法很方便，我最喜歡圖15的方法。

生：我最喜歡抬腳法，簡(jiǎn)直太有趣了！

……

【教學(xué)思考】

從課堂作品看，學(xué)生原有思維水平多數(shù)處于水平2，少數(shù)處于水平1，個(gè)別處于水平0；通過作品展評(píng)和小組討論，大部分學(xué)生達(dá)到了水平3，實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階和課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)。

學(xué)生經(jīng)歷了三個(gè)重要過程：（1）建立關(guān)聯(lián)。比較并從不同解法中找到聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)相同的問題解決策略，即：假設(shè)→驗(yàn)證→調(diào)整；（2）見識(shí)多元。對(duì)比觀察，不僅感受到解法特別多樣，而且發(fā)現(xiàn)同樣是假設(shè)全是雞或全是兔，思路也可以截然不同，因?yàn)橛蓄^數(shù)和腳數(shù)兩個(gè)已知條件，所以既可以固定頭數(shù)推算腳數(shù)，也可以固定腳數(shù)推算頭數(shù)——這種現(xiàn)象雖然非常普遍，但是要發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律卻并不容易，早在任務(wù)一整理信息和水平1的反饋中就已鋪墊，至此處發(fā)現(xiàn)水到渠成；（3）經(jīng)歷優(yōu)化。有了自主探究和解決問題，又有了交流不一樣的解法和思路，在深入理解之后，學(xué)生再結(jié)合自己的喜好選擇最喜歡的方法，實(shí)現(xiàn)有條件的方法優(yōu)化。之所以說“有條件”是指，首先，這里的“最喜歡”是基于自身特點(diǎn)和廣泛借鑒后的一種個(gè)性化選擇；其次，這個(gè)“最喜歡”是基于例題情境的選擇，如果以后問題情境有變化，可能選擇也會(huì)改變。三個(gè)統(tǒng)一的過程共同指向：初步建立問題模型，促進(jìn)思維進(jìn)階，提升問題解決能力。

整節(jié)課中，任務(wù)一、二學(xué)生整理信息、探索解法屬于表層學(xué)習(xí)階段，重在理解；任務(wù)三學(xué)生比較討論則進(jìn)入深層學(xué)習(xí)階段，強(qiáng)調(diào)聯(lián)系；到下節(jié)課任務(wù)四、五模型及其變式的應(yīng)用反思是遷移學(xué)習(xí)階段，將有更高階的遷移發(fā)生。