解題教學(xué)的追求

吳奇進(jìn)

摘 要：“雙減”背景下，很多初中都有延時服務(wù)、晚自習(xí)作業(yè)輔導(dǎo)的習(xí)慣，這也使得作業(yè)講評成為教師更需面對的一個“現(xiàn)實課題”.在課題研究中，我們發(fā)現(xiàn)不少教師誤以為作業(yè)講評就是訂正結(jié)果、核對過程，這樣的解題教學(xué)往往只是讓學(xué)生學(xué)會了解一道題，若能在課前針對待講評的習(xí)題問題進(jìn)行變式改編、同類鏈接，則可以引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生從會解一道題邁上會解一類題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生知識遷移、舉一反三的高階思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提增教師解題教學(xué)效益.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；變式教學(xué)；成果擴(kuò)大；回顧小結(jié)

1 從一次作業(yè)講評的聽課說起

最近參與學(xué)校教導(dǎo)處組織的“推門聽課”活動，聽了一位“職初教師”（工作僅兩年）的作業(yè)講評課，其中該教師對一道習(xí)題的講評還有繼續(xù)優(yōu)化的必要.以下先給出教師的講評記錄，再圍繞該題給出教學(xué)再設(shè)計.

教師對學(xué)生的講解很滿意，追問其他同學(xué)“有沒有聽懂”，不少學(xué)生表示理解了之后，就繼續(xù)訂正下一道習(xí)題.但是筆者坐在教室后面，查閱了后面兩排的一些學(xué)生的聽課筆記，基本上還是空白，這些學(xué)生都沒來得及記錄上述過程，從他們的表情看得出仍然沒懂，他們只是“端坐”著認(rèn)真聽講，既沒來得及記錄一些關(guān)鍵步驟，也沒有在圖形上進(jìn)行必要的標(biāo)注.

聽課隨感：這種講評方式，只是一種“核對答案式”的講評，沒能促進(jìn)學(xué)生對這道題達(dá)到深刻理解的程度，可見教師本人在課前并沒有對這道習(xí)題的解法及變式問題進(jìn)行深入思考，所以在課堂上就沒有能做出必要的變式或深度講評.以下給出筆者對這道習(xí)題的解題教學(xué)微設(shè)計.

2 對“習(xí)題”教學(xué)的問題設(shè)計重構(gòu)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 習(xí)題講評

出示“習(xí)題”，安排學(xué)生講解思路之后（如上文聽課所見），教師安排另一個學(xué)生再次復(fù)述思路，讓更多的學(xué)生有足夠的時間理解或做必要的解題筆記.在此基礎(chǔ)上，將問題簡化為以下問題，讓學(xué)生對問題的結(jié)構(gòu)看得更清.

簡化問題：如圖2，AM是△ABC的中線，點(diǎn)N在△ABC內(nèi)部，且∠ABN＝∠ACB，MN∥AC.求證：∠BAN＝∠CAM.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生在“習(xí)題”思路的啟發(fā)之下，應(yīng)該容易想到延長BN交AC于E，如圖3，接下來證明思路就與上文一樣.通過“刪減”圓之后，讓學(xué)生在簡化圖形中看清問題結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對這道題的本質(zhì)有一個更深刻的認(rèn)識.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 變式呈現(xiàn)

變式問題：如圖2，AM是△ABC的中線，點(diǎn)N在△ABC內(nèi)部，∠BAN＝∠CAM，∠ABN＝∠ACB.求證：MN∥AC.

“成果擴(kuò)大”問題：如圖5，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，連接AE，BF交于點(diǎn)G，連接OG.若∠BAE＝∠CAD，∠ABF＝∠CBD.

（1） 判斷OG與AD的位置關(guān)系，并說明理由.

（2） 求證：AE，BF互相平分.

（3） 請再提出一個問題，并說說解題思路.

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是對原問題進(jìn)行的進(jìn)一步包裝、改編，以平行四邊形為背景呈現(xiàn)，O為BD中點(diǎn)，“兩組角相等”的題設(shè)與“變式問題”是一致的，提出的兩個問題也與之前的設(shè)問保持一致.最后安排學(xué)生再提出一個問題，可以促進(jìn)學(xué)生對這個圖形中的結(jié)論有深入的研究和分析，比如AF＝BE，又如連接EF，則四邊形ABEF是平行四邊形，再如AB²＝AF·AD，等等.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 回顧小結(jié)

小結(jié)問題1：學(xué)習(xí)上面的習(xí)題及變式題組之后，你覺得處理這類問題的關(guān)鍵是什么？你積累了哪些解題經(jīng)驗？先在小組內(nèi)交流，每個小組再選派一名代表到全班匯報展示.

小結(jié)問題2：本課從一道圓的習(xí)題出發(fā)，然后簡化為三角形問題，最后還包裝成平行四邊形，你覺得不變的是哪些關(guān)鍵步驟，它們之間有怎樣的聯(lián)系？

教學(xué)組織：預(yù)設(shè)以上兩個小結(jié)問題是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會回顧和反思，將問題的深層結(jié)構(gòu)、本質(zhì)特征、關(guān)鍵步驟看得更清，達(dá)到深刻理解的程度.這個小結(jié)的教學(xué)環(huán)節(jié)至少要安排5分鐘左右.

3 關(guān)于解題教學(xué)的問題設(shè)計進(jìn)一步思考

3.1 解題教學(xué)要重視同類鏈接、舉一反三

針對一些較難題的講評不宜只是“核對答案”，如果像上文聽課所見的“職初教師”這樣，只讓優(yōu)秀學(xué)生展示了自己的解法、過程，本質(zhì)上是“以學(xué)生講代替了教師的講”，很多情況下，往往還不如教師自己講.南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授關(guān)于解題教學(xué)的關(guān)鍵，曾強(qiáng)調(diào)要重視“問題的歸類與辨識”^［1］.筆者在解題教學(xué)中十分重視問題的歸類呈現(xiàn)、同類鏈接，引導(dǎo)學(xué)生在舉一反三中實現(xiàn)“解一題、會一類”的教學(xué)效益.當(dāng)然，這就需要教師本人在課前針對較難題要有深入的研究和同類習(xí)題的檢索與搜集，這些功夫更多的是平時對典型習(xí)題的研究和歸類收集.人們常說“書到用時方恨少”，解題教學(xué)的備課也是“題到用時難找齊.”

3.2 解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生識別“等價問題”

很多教師在開展解題教學(xué)都非常重視變式教學(xué)，特別是鏈接一些同類習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，這對于提高學(xué)生同類問題的解題能力當(dāng)然是有價值的.然而，通過變式教學(xué)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化、善于簡化并識別“等價問題”才是解題教學(xué)更值得重視的教學(xué)目標(biāo).

美國著名數(shù)學(xué)家、1986年菲爾茲獎得主M·弗里德曼所說“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題”^［2］.上文我們在“解題教學(xué)微設(shè)計”中，給出了簡化問題、變式問題以及“成果擴(kuò)大”問題，教學(xué)立意就是引導(dǎo)學(xué)生在這些系列題組的訓(xùn)練之后，學(xué)生能從這些“形異問題”識別“結(jié)構(gòu)相同或相近”的問題，從而實現(xiàn)從“學(xué)解一道題”到“會解一類題”再到“學(xué)會解題”的教學(xué)追求.

3.3 解題教學(xué)在回顧小結(jié)時追求深刻理解

解題教學(xué)要重視解后回顧與反思環(huán)節(jié)，教師在課前就要精心預(yù)設(shè)小結(jié)問題，小結(jié)問題要在貼近解題教學(xué)過程中的關(guān)鍵步驟、易錯點(diǎn)或解題經(jīng)驗進(jìn)行設(shè)計，不宜提一些“空”“大”“泛”的小結(jié)問題，比如“這節(jié)課你學(xué)到了什么”“這節(jié)課你感悟了什么思想方法”之類.小結(jié)問題除了課前的精心預(yù)設(shè)之外，還可圍繞課堂生成進(jìn)行“即時預(yù)設(shè)”，比如，課堂中學(xué)生想出了課前預(yù)設(shè)之外的優(yōu)秀解法或繁雜解法，小結(jié)時可以從這些課堂生成出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，在比較中學(xué)會優(yōu)化，“擇優(yōu)而從”.總之，解題教學(xué)的回顧小結(jié)環(huán)節(jié)，主要是促進(jìn)學(xué)生對問題有更加深入的理解，特別是從某道習(xí)題的解題步驟的掌握邁上對一類問題的解題方法或轉(zhuǎn)化策略的積累.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄭毓信.中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)之我見（續(xù)）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（11）：14.

［2］ M·弗里德曼.怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題［M］.陳淑敏，尹世超，譯.哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1981：79.