高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)“三讀兩?！痹O(shè)計(jì)的課堂實(shí)踐

摘 要：結(jié)合省級(jí)公開課應(yīng)用題教學(xué)設(shè)計(jì)過程的心得體會(huì)，淺談高中應(yīng)用題教學(xué)“三讀兩?！痹O(shè)計(jì)的具體做法，對(duì)解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的瓶頸問題加以感悟，從三個(gè)“注重”予以反思，期待讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力有所提升.

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題；“三讀”；“兩模”；實(shí)踐思考

如何用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中存在的問題，一直是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查要求.近年來，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模經(jīng)常被提及，在高中已成為廣泛應(yīng)用的趨勢.不僅在普通高中新教材（人教A版2019）必修一《建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題》（P162166）中增加了數(shù)學(xué)建模案例，而且2022年高考數(shù)學(xué)試卷（全國甲卷理科、全國乙卷理科、全國新高考Ⅰ卷、全國新高考Ⅱ卷）中每套都有3道應(yīng)用題^［1］，加大了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模的考查力度，有力推進(jìn)了新課標(biāo)、新課程實(shí)施，鮮明地引導(dǎo)著高中數(shù)學(xué)教學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中的師生行為分析

目前，在國內(nèi)外文獻(xiàn)中，很難找到一種能提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題能力的有效教學(xué)策略，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力，新課標(biāo)提出了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，新教材也增加了數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的案例，擬將該活動(dòng)在課內(nèi)、課外有機(jī)結(jié)合起來.但在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)用題卻幾乎是所有學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點(diǎn).因此，策略實(shí)施起來也比較困難.

從學(xué)生的角度上看，目前很多學(xué)生因?yàn)閼?yīng)用題文字?jǐn)⑹龆?、?shí)際背景陌生等，對(duì)其存在恐懼心理.首先，這類學(xué)生缺乏耐心和信心，不能專心讀題審題；其次，學(xué)生生活閱歷不夠，生產(chǎn)勞動(dòng)經(jīng)驗(yàn)缺失，無法理解題意，如無法理解核酸檢測、冷鏈?zhǔn)称返缺尘埃坏谌?，閱讀能力偏差，無法抓住題中關(guān)鍵詞，不明題意.

從教師的角度上看，首先，教師對(duì)應(yīng)用題重視不夠，往往為趕進(jìn)度，蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過，沒有真正提供較充足的時(shí)間讓學(xué)生讀題——審題——建?！饽?，常常只做講解，核對(duì)答案；其次，教師對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)方法陳舊，沒有借助多媒體、圖形等進(jìn)行過程性引導(dǎo)，教師往往只做自我講解，學(xué)生常常一知半解；再次，教材編寫的應(yīng)用題，一段時(shí)間后，未能貼近實(shí)際和關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，落后于時(shí)代，學(xué)生覺得應(yīng)用題學(xué)習(xí)枯燥無味；最后，新應(yīng)用題（考題）常常伴隨新背景，教師自身也未必理解到位，所以也囫圇吞棗，留下爛尾工程.這是多年來困擾高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難題之一，也是使很多考生高考失分多的原因之一.

2 應(yīng)用題教學(xué)“三讀兩?！痹O(shè)計(jì)的思路

2.1 習(xí)題教學(xué)要注重“三讀”能力培養(yǎng)

在應(yīng)用題課堂教學(xué)中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，要求至少讀三遍.第一遍泛讀，大概了解題意；第二遍細(xì)讀，排除沒用、干擾的信息，劃出關(guān)鍵詞，從而明白題意；第三遍精讀，實(shí)現(xiàn)建模，找到題意與所學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，為解題找到突破口^［2］.以上筆者把它簡稱為“三讀”.

教學(xué)實(shí)踐證明，這種“三讀”的能力培養(yǎng)最好在課堂上或測試中，另外甚至要精選題目很長的應(yīng)用題.通過學(xué)生“三讀”和教師點(diǎn)評(píng)，慢慢地把學(xué)生審題耐心和審題能力培養(yǎng)起來.我們反對(duì)按題型分類訓(xùn)練，也反對(duì)機(jī)械刷題，提倡用一定時(shí)間訓(xùn)練“三讀”能力培養(yǎng).

2.2 課堂互動(dòng)要注重“兩模”能力培養(yǎng)

在應(yīng)用題課堂教學(xué)中，教師要重視建模能力和解模能力的培養(yǎng).通過“三讀”讀懂題意，我們才能把相關(guān)數(shù)量與大腦中已有的模型（知識(shí)）掛鉤，從而用所學(xué)的高中知識(shí)進(jìn)行解題.另外，在建模后，必然涉及計(jì)算，這就是解模的過程.而且正確計(jì)算后，還要檢驗(yàn)答案是否滿足題意和實(shí)際生活情況^［3］.我把上面這兩項(xiàng)過程簡稱為“兩模”.

在建模過程中，教師一定要讓學(xué)生自主思考、分析、實(shí)踐，產(chǎn)生模型意識(shí)和反射弧，不能為趕時(shí)間，直接提供幫助.要學(xué)會(huì)放手，讓學(xué)生動(dòng)手，教師最多適時(shí)點(diǎn)撥^［4］.同時(shí)，計(jì)算也是學(xué)生的軟肋，要求學(xué)生親力親為，不能包辦，只有這樣，才能提高解模（計(jì)算）能力.

3 應(yīng)用題教學(xué)“三讀兩?！痹O(shè)計(jì)的案例呈現(xiàn)

本案例是筆者在一節(jié)省級(jí)公開課《怎樣解數(shù)學(xué)應(yīng)用題——以空間中的測量為例》的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)以“三讀兩模”設(shè)計(jì)的課堂路線圖.以此為例，可以窺探應(yīng)用題教學(xué)中的課堂實(shí)踐思考.

3.1 內(nèi)容解析

空間中的測量問題（距離、高度、角度、三角形的計(jì)算），主要是引導(dǎo)學(xué)生建立三角形模型，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)以及正弦定理、余弦定理等來解決實(shí)際問題，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，以此增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析和解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)^［5］.

3.2 教學(xué)設(shè)計(jì)

Ⅰ課前熱身

目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖1，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對(duì)面山頂上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50 m，該同學(xué)眼高1.5 m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰角為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.

（1） 求出山高BE.

（2） 如圖2，當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置M處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離MD=x m，且記在M處觀測基站底部B的仰角為α，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測基站的視角∠AMB最大？

參考數(shù)據(jù)：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8.

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生現(xiàn)場讀題建模，使同學(xué)們回憶起解三角形的基本流程.第一個(gè)問題，提問學(xué)生1，他從解Rt△BDC入手，設(shè)BD=x，在Rt△ADC中，DC=AD=50+x，然后在Rt△BDC中，利用tan 37°=BD/DC求出x，進(jìn)而求得山高BE；接著追問，大家還有其它解法嗎？學(xué)生2，他從解△ABC入手，利用正弦定理求得BC，再利用Rt△BDC求得BD，進(jìn)而求得山高BE.兩種解法展示，達(dá)到復(fù)習(xí)初高中解三角形基礎(chǔ)知識(shí)的目的.第二個(gè)問題，求∠AMB最大，一開始，大部分學(xué)生沒思路，通過教者啟發(fā)求最值通常怎么辦？進(jìn)而聯(lián)想到基本不等式，由∠AMB=β-α，加上兩個(gè)直角三角形，一部分學(xué)生能聯(lián)想到正切，通過tan （β-α）和基本不等式公式的運(yùn)用進(jìn)行解決.最后，教者讓學(xué)生3小結(jié)，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟是什么？

Ⅱ回眸經(jīng)典

如圖3，樹頂A離地面a m，樹上另一點(diǎn)B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠(yuǎn)時(shí)看A，B的視角最大？（詳見2004人教A版必修五P₁₀₁B2）

設(shè)計(jì)意圖：首先要讓學(xué)生明白，剛才的問題實(shí)際上是來自于課本，所以，一輪復(fù)習(xí)要重視回歸課本.然后教師介紹這是幾何史上著名的米勒問題.米勒，德國數(shù)學(xué)家，1471年，他向諾德爾教授提出了如下有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？此問題載入世界數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名極值問題.通過此數(shù)學(xué)史的介紹，提高學(xué)生解應(yīng)用題的興趣.

Ⅲ范例解析

某游樂場過山車軌道在同一豎直鋼架平面內(nèi)，如圖4所示，矩形PQRS的長PS為130米，寬RS為120米，圓弧形軌道所在圓的圓心為O，圓O與PS，SR，QR分別相切于點(diǎn)A，D，C，且T為PQ的中點(diǎn).現(xiàn)欲設(shè)計(jì)過山車軌道，軌道由五段連接而成：出發(fā)點(diǎn)N在線段PT上（不含端點(diǎn)，游客從點(diǎn)Q處乘升降電梯至點(diǎn)N），軌道第一段NM與圓O相切于點(diǎn)M，再沿著圓孤軌道MA到達(dá)最高點(diǎn)A，然后在點(diǎn)A處沿垂直軌道急速下降至點(diǎn)O處，接著沿直線軌道OG滑行至地面點(diǎn)G處（設(shè)計(jì)要求M，O，G三點(diǎn)共線），最后通過制動(dòng)裝置減速沿水平軌道GR滑行到達(dá)終點(diǎn)R.記∠MOT為α，軌道總長度為l米.

（1） 試將l表示為α的函數(shù)l（α），并寫出α的取值范圍.

（2） 求l最小時(shí)cos α的值.

設(shè)計(jì)意圖：通過泛讀——細(xì)讀——精讀，排除干擾，把握關(guān)鍵.

（1） 利用多媒體展示圖形，明確有關(guān)量：PS=130，PA=70，PQ=120，R=60，CR=60，∠MOT=∠NMF=∠CGO=α.

（2） 問：軌道由哪五段連接成的？

（3） 追問1：哪一段最難求？（NM怎么求？）

（4） 追問2：α的取值范圍怎么求？

在課堂上通過教者引導(dǎo)，學(xué)生參與思考，自己動(dòng)手計(jì)算，充分展示應(yīng)用題解決的全過程，做到水到渠成.

Ⅳ歸納小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：給予學(xué)生一些時(shí)間，讓他們充分回顧剛才應(yīng)用題中的解題一般步驟“審題——建?！饽！?yàn)證”要訣以及解決過程中要注意的若干問題.

Ⅴ課堂檢測

（2021年全國甲卷理8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8 848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖5是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（ ?）.（√^—3≈1.732）

A. 346

B. 373

C. 446

D. 473

設(shè)計(jì)意圖：追求現(xiàn)場解決應(yīng)用題的效果，讓學(xué)生有一定的緊張感、壓迫感和儀式感，使其再次經(jīng)歷應(yīng)用題的解題全過程，達(dá)到訓(xùn)練的目的^［6］.

4 應(yīng)用題教學(xué)“三讀兩?！痹O(shè)計(jì)的實(shí)踐感悟

4.1 注重消除學(xué)生心理障礙和語言障礙

在應(yīng)用題教學(xué)中，教師一定要有耐心，選題求質(zhì)不求量，通過師生不斷溝通，化解題意不懂和錯(cuò)誤理解的障礙，引導(dǎo)學(xué)生積極參與理解，積極聯(lián)想構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，正確運(yùn)算，不斷獲得成功喜悅感，從而逐步消除學(xué)生心理障礙.

【例1】 （2022年全國新高考Ⅰ卷T20）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

（1） 能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

第一個(gè)問題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，學(xué)生非常熟悉，解決起來沒有困難.第二個(gè)問題涉及條件概率，學(xué)生剛看題目背景很新穎，又是不經(jīng)常考大題的條件概率，心里有點(diǎn)怵.通過“三讀”，學(xué)生能很快按圖（已建模）索驥，按照條件概率計(jì)算公式找到解決問題的辦法.

4.2 注重生活化應(yīng)用題的訓(xùn)練

高中數(shù)學(xué)的教材，編寫一版往往會(huì)用好多年，久而久之，應(yīng)用題背景往往落后于時(shí)代.這與現(xiàn)在應(yīng)用題（尤其考題）貼近生活實(shí)際，關(guān)注社會(huì)時(shí)政熱點(diǎn)有悖，而且學(xué)生對(duì)老掉牙的應(yīng)用題也不感興趣.復(fù)習(xí)教學(xué)中，教者要精選一些背景新穎的應(yīng)用題，把學(xué)生興趣、知識(shí)面、能力等培養(yǎng)起來.

【例2】 （2021年北京高考T18）為加快新冠病毒檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中兩人感染病毒.

（1） ① 若采用“10合1檢測法”，且兩名感染患者在同一組，求總檢測次數(shù).

② 已知10人分成一組，兩名感染患者在同一組的概率為1/11，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

（2） 若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)Y的期望為E（Y），試比較E（X）和E（Y）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.

學(xué)生通過“三讀”以及自身參加核酸檢測的體會(huì)，可能在一定時(shí)間內(nèi)，能把題意讀懂.“10合1檢測法”，現(xiàn)有100人，檢驗(yàn)一遍就得10次；若兩名感染患者在同一組就得檢驗(yàn)20次；若兩名感染患者不在同一組就得檢驗(yàn)30次.只要理解有一點(diǎn)偏差，下面做出的答案都是錯(cuò)誤的.所以，提供生活化應(yīng)用題，一方面能提高學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的興趣，另一方面，也與當(dāng)前高考的方向一致，提高學(xué)生在真實(shí)情境中解決問題的能力.

4.3 注重發(fā)揮圖形的輔助作用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分老師和學(xué)生對(duì)應(yīng)用題很感冒，在心理上表現(xiàn)出非常不喜歡，而且覺得解題很費(fèi)時(shí)間，得分率也不高，心理陰影面積很大，這也是我們長期解決不好應(yīng)用題的主要因素之一.因此，在應(yīng)用題課堂教學(xué)中，教師從讀題審題到建立模型過程中，往往需要輔助手段，而圖形就能起到一定的輔助作用，它能幫助學(xué)生正確理解題意，找到解決問題的方法.

【例3】 （2017全國卷Ⅰ理科T16）如圖6，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.且D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm³）的最大值為___________.

通過圖形，把有關(guān)量標(biāo)在圖上，聯(lián)想已知與所求問題的關(guān)系，能更快找到解題思路.在課堂教學(xué)中，宜在多媒體上提供較大的圖形、彩筆等，讓學(xué)生展開想象的翅膀，也許解決問題的路徑馬上出來了.

5 實(shí)踐總結(jié)

要做好高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題有效教學(xué)，教師既要反對(duì)反復(fù)操練、機(jī)械訓(xùn)練某類應(yīng)用題，也要反對(duì)解題方法模式化、套路化^［7］.提倡教師給學(xué)生一定時(shí)間訓(xùn)練解題，強(qiáng)調(diào)在“三讀兩?！钡膶?shí)踐，讓學(xué)生們讀懂并正確理解題意，抓住其考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想、方法，利用其所學(xué)的知識(shí)建模解模，從而解決學(xué)生害怕應(yīng)用題這一痛點(diǎn)問題.

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