多醫(yī)生場景下面向不守時患者的預約分配與調(diào)度優(yōu)化

姜博文,孫鑫源

(大連海事大學 航運經(jīng)濟與管理學院,遼寧 大連 116026)

我國醫(yī)院門診患者需求量大,患者掛號排隊時間長、候診時間長、就診時間短等現(xiàn)象仍然突出[1]。候診區(qū)域的“峰堵”和長期的等待容易增加患者焦急情緒,加劇醫(yī)患雙方矛盾,尤其在當前醫(yī)院的嚴格防控背景下,長時間聚集意味著疾病傳播風險的增加[2]。更為合理的預約時間和準確的服務順序能夠使患者合理安排交通出行規(guī)劃,減少患者在醫(yī)院門診的候診時間和患者間的聚集風險。

然而,患者往往無法嚴格地按照預約時間準時到達,可能早于或晚于預約時間到達門診。患者實際到達時間與預約時間的偏差會造成排隊序列順序的改變,與原有的預約順序不再一致,產(chǎn)生亂序問題,干擾假設患者準時到達情況下醫(yī)院決策的預約順序和服務計劃。如果醫(yī)生嚴格按照預約順序服務,可能會出現(xiàn)后序患者已提早到達進入隊列等待,而醫(yī)生處于空閑狀態(tài)下仍等待前序遲到患者的情形,造成醫(yī)生工作效率下降和患者等待時間增長;如果醫(yī)生按照患者的實際到達順序服務,那么,預約系統(tǒng)會失去原有意義,患者越早到達越可能被優(yōu)先服務,造成患者在候診區(qū)域的不必要聚集。這些問題在涉及多服務臺、多隊列的多醫(yī)生場景下更為突出。面向不守時患者,原有的預約調(diào)度方案不能達到最優(yōu)性能,因此,有必要在決策時預先考慮不守時因素對排隊服務規(guī)則的影響,優(yōu)化患者面向多醫(yī)生的分配和預約調(diào)度方案。

本文以不守時因素作為主要研究對象,同時考慮門診預約系統(tǒng)的取消預約、服務時間不確定等隨機因素。對于取消預約患者和超時患者,門診都不會為他們提供診療服務,但不同之處在于,對于取消預約患者,門診在開診前即知曉信息,門診可以直接假定該患者的到達時間為正無窮,患者不進入等待隊列。而對于超時患者,門診則需要等到患者被允許的最晚遲到時刻,在這之前還需要考慮其潛在的到達可能,判斷是否交換其與相鄰患者的服務順序。取消預約患者和超時患者在患者間服務順序規(guī)則和系統(tǒng)性能遞推建模上存在較大差異。

關于不守時到達因素的研究可以分為兩個方面:①患者不守時行為特征的刻畫。Srinivas[3]對4種訓練機制不同的機器學習算法(Logistic回歸、隨機森林、梯度推進機和人工神經(jīng)網(wǎng)絡)進行比較分析,據(jù)此預測門診中心患者的不守時行為。②針對不守時因素進行優(yōu)化。Shehadeh等[4]研究考慮患者不守時的單服務臺預約調(diào)度問題,分別建立不依賴和依賴場景的兩階段模型并給出問題的上下界。Wu等[5]將該模型推廣至多服務臺環(huán)境,并提出了有效的求解方法。Jiang等[6]通過隨機規(guī)劃方法優(yōu)化面向不守時患者的門診預約系統(tǒng),建立了相鄰患者在不守時時間窗內(nèi)到達的統(tǒng)一遞推模型。本文研究屬于第2個方面,與已有文獻相比,本文綜合考慮多醫(yī)生和取消預約等多種因素,側重研究不守時因素對排隊序列的影響以及基于情景根據(jù)排隊服務規(guī)則如何優(yōu)化門診預約時間。

在多醫(yī)生和取消預約等方面已有學者分別開展研究。Zhang等[7]研究多手術室排程問題,提出一種基于無偏梯度估計的隨機近似算法,并證明了該算法的全局收斂性,研究發(fā)現(xiàn),多手術室下預約時間表為“Z”形,即最佳預約間隔交替地向下和向上變化,與單手術室的穹頂形特征不同。Harris等[8]研究取消預約因素對出診醫(yī)生數(shù)量的影響,給出了醫(yī)生數(shù)量基于取消預約率的調(diào)整轉換點公式并進行了數(shù)值評估。

本文在多醫(yī)生場景下,面向不守時患者建立靜態(tài)混合0-1隨機規(guī)劃模型。在模型方面,本文綜合考慮患者到達不確定性中的不守時和取消預約因素,基于抽樣情景對兩種不確定性因素進行建模,提出允許相鄰預約序列兩位患者根據(jù)實際到達時間交換順序的服務規(guī)則,決策患者預約時間和患者對應多醫(yī)生的分配方案。在算法方面,基于模型和服務規(guī)則特征,在Castaing等[9]提出的Fix-Unfix算法基礎上進行推廣,將原模型分解為兩個子問題,在第1個子問題中假設預約時間已知,基于情景和服務規(guī)則決策分配問題;將得到的患者分配方案作為第2個子問題的輸入,求解線性規(guī)劃模型,決策最優(yōu)預約時間,再返回作為下一迭代中第1個子問題的輸入,不斷迭代直至到達終止條件。

1 面向不守時患者的隨機規(guī)劃模型建立

1.1 假設與符號說明

針對醫(yī)院門診某科室標準半日(上午或下午)工作周期T,醫(yī)院門診開放科室內(nèi)m位出診醫(yī)生的全部號源,開診周期內(nèi)能夠預約的總患者數(shù)量n已知,由于我國門診需求量較高,且預約提前期一般為半個月左右,相對較為充分,可以認為全部號源均能夠約滿。假設所有預約患者均為獨立同分布,不守時時間在假設1中描述,服務時間和取消預約在假設2中描述。門診面向不守時患者,考慮診療過程中上述不確定因素,決策n位患者對m位醫(yī)生的分配方案xik和患者的預約時間Ai。其中:xik為0-1變量,若患者i被分配給醫(yī)生k,則取值為1,否則為0;Ai為連續(xù)變量。ρ表示患者在候診隊列的優(yōu)先度標記,如假設3所示,醫(yī)生會從隊列中選擇當前ρ標記值更小的患者進行診療服務。

假設1每位患者到達時間與預約時間之差定義為患者不守時的時長(u),每位患者不守時時長的概率密度函數(shù)符合獨立同分布,u>0表示患者遲到,u<0表示患者早到,u=0表示患者準時到達,u≤U,其中U表示醫(yī)院規(guī)定的患者遲到容忍限度。

假設2每位患者的服務時長的概率密度函數(shù)符合獨立同分布;每位患者的取消預約率相同,記為d。

假設3患者排隊順序策略按照ρ進行,ρ小的患者在排序時優(yōu)先度高。

關于排隊順序ρ的制定,在靜態(tài)系統(tǒng)中,一方面需要盡量維持預約調(diào)度系統(tǒng)的穩(wěn)定,此時首選“先預約先服務”策略(AO);另一方面,希望盡量實現(xiàn)醫(yī)生連續(xù)工作以減少加班,此時首選“先到達先服務”策略(FCFS)。Deceuninck 等[10]研究發(fā)現(xiàn),最優(yōu)的患者服務策略范圍在AO 與AOWC 策略之間,其中AOWC 策略是指“選擇等候的患者中預約時間最小的患者開始服務”,這意味著當前序患者遲到時,允許部分患者的服務順序早于其預約順序。在此基礎上,本文提出了介于AO 與AOWC 策略之間的患者排隊服務規(guī)則,以“先預約先服務”策略為基礎,僅允許相鄰預約時間的患者服務順序更改,兼顧易操作性和醫(yī)生工作的連續(xù)性。

1.2 基于SAA的混合0-1規(guī)劃模型

對于門診預約系統(tǒng)而言,患者的不守時到達時間、接受服務時間和是否取消預約都是隨機因素,可以服從任意的一般分布。SAA 方法可以有效基于情景對上述隨機變量進行建模,并進一步建立預約系統(tǒng)中醫(yī)生和患者各性能指標的遞推模型與服務隊列的混合0-1規(guī)劃模型。本文以最小化系統(tǒng)總成本為目標,其中:總成本為加權的患者平均等待時間和醫(yī)生加班時間;決策變量為患者預約時間Ai,需要在不確定性因素基于情景抽樣實現(xiàn)之前對其進行優(yōu)化;患者和醫(yī)生之間的分配方案xik,基于情景抽樣和服務規(guī)則進行決策。建立多醫(yī)生場景下考慮患者不守時到達的混合0-1規(guī)劃模型(UP),即:

模型中:Ω為情景集合;ω表示情景索引,分別為在情景ω下患者i的等待成本系數(shù)、服務時長、不守時時長、服務開始時間、等待時間和醫(yī)生k的加班時間;α為醫(yī)生加班成本系數(shù)。式(2)是為保證在每個情景中每位患者只分配給一名醫(yī)生,且所有患者都有其分配的醫(yī)生,對于取消預約和超時的患者也進行分配。式(3)、(4)是為了確定患者服務開始時間。約束式(3)是在每個情景中患者開始接受服務的時間大于或等于患者到達的時間。當患者到達時,有醫(yī)生處于空閑狀態(tài),且此患者的前序患者已經(jīng)分配完畢,出現(xiàn)約束兩邊相等的情況。當患者到達時,沒有醫(yī)生空閑或即使空閑但此患者前序患者也并未分配醫(yī)生,出現(xiàn)服務開始時間大于到達時間的情況。式(4)中引入大M和二元變量將if-then邏輯轉化為標準的線性規(guī)劃,從而可能利用標準求解器求解。由于∈{0,1},當患者i、j分配給同一名醫(yī)生k時,原約束可寫為

即分配給同一名醫(yī)生的任意兩位患者,ρ大的患者服務開始時間大于或等于ρ小的患者服務完成時間。當兩名患者在此醫(yī)生服務的患者隊列中是相鄰的,且前序患者服務完成之后后序患者已經(jīng)到達時,則式(9)兩邊相等。當兩名患者雖由同一名醫(yī)生服務但兩者之間有其他患者,或在前序患者服務完成之后后序患者并未到達時,導致此醫(yī)生陷入空閑狀態(tài),則會出現(xiàn)式(9)患者j開始服務時間大于患者i服務結束時間的情況。

當患者i、j未分配給同一名醫(yī)生時,原約束可寫為

即未分配給同一名醫(yī)生的兩位患者服務開始時間由于大M的存在可能被松弛。

式(5)保證除前m名患者外,患者i在患者i-1之后開始服務。在式(4)中未分配給同一名醫(yī)生的兩位患者服務開始時間是松弛的,式(5)是對患者服務順序的補充約束。對任意兩位患者,ρ較大的患者服務開始時間應當晚于ρ較小患者的服務開始時間,只需要對ρ大小相鄰的兩位患者服務開始時間進行約束。多醫(yī)生場景下,前m位患者只要到達便有空閑的醫(yī)生對其服務。

式(6)中,(x)+在x>0時返回x,在x<0時返回0。1(x)在x>0時返回1,在x<0時返回0。根據(jù)已有研究[11],對于早到患者在預約時間之前的等待時間,由于與預約系統(tǒng)決策無關,這部分的等待時間不應計入。對于遲到患者,等待時間從其到達之后計入。

式(7)表示在多醫(yī)生條件下,每名醫(yī)生的工作時間可定義為此醫(yī)生服務的最后一位患者的服務完成時間,加班時長為服務完成時間與標準工作時長之間的差值。由于患者分配方案是決策變量,所以醫(yī)生工作時間大于等于其服務的任意一位患者的服務完成時間。

對于取消預約的建模,在情景中取消預約患者的服務時間為0,到達時間為相應的預約時間,等待成本系數(shù)為0。

2 優(yōu)化算法設計

2.1 UP-FU 算法流程

針對UP的0-1和連續(xù)決策變量的求解特征,本文提出面向UP混合0-1規(guī)劃模型優(yōu)化求解的UPFU 算法。UP-FU 算法將模型分解為兩個子問題進行迭代求解。在第1個子問題(記為FCA 子問題)中,患者預約時間已知,可以針對情景獨立求解,基于服務交換規(guī)則在已知患者預約時間的情況下將患者分配給醫(yī)生。在第2個子問題(記為LP子問題)中,患者的分配情況由FCA 子問題求解得到,作為已知輸入,因此,原模型簡化為簡單的線性規(guī)劃問題[9]。UP模型是混合0-1規(guī)劃模型,且基于情景抽樣后模型規(guī)模擴大,不易求解模型的最優(yōu)解。UP-FU 算法的優(yōu)勢在于分解后的兩個子問題都比較容易求解,算法運行速度快,同時也可以兼顧解的質(zhì)量。

FCA 子問題,依賴給定的患者預約時間序列,輸出在情景抽樣下的最優(yōu)分配方案。分配原則是:以患者預約時間順序分配,每次分配給最早空閑的醫(yī)生,允許相鄰患者服務順序交換。子問題的輸入是患者預約時間Ai,輸出是患者到醫(yī)生分配情況。

LP子問題,在UP 模型中患者-醫(yī)生的分配情況并非變量而是已知的。子問題的輸入是患者到醫(yī)生的分配情況,輸出是患者預約時間Ai。

UP-FU 算法流程如圖1所示。

圖1 UP-FU 算法流程Fig.1 UP-FU algorithm process

在初始化部分,首先將所有患者的預約時間A0設置為0,即患者都在一天開始時到達,上標t表示當前的迭代次數(shù),得到第1個預約時間后,通過求解第1個子問題FCA(A0)來構造第1個可用的患者到醫(yī)生的分配矩陣X0。

算法的終止條件為:當前迭代中得到的分配情況與前一次迭代中的分配情況相同。滿足上述條件可以終止算法并返回當前狀態(tài)(Ak,Xk),因為只存在有限數(shù)量的分配情況,所以算法總是終止的。

性質(zhì)總成本目標函數(shù)在迭代過程中只會減少或保持不變。

證明考慮在迭代t時,在LP子問題中優(yōu)化預約時間,使得狀態(tài)(At+1,Xt)的目標值總是小于或等于狀態(tài)(At,Xt)的目標值。在迭代t+1下的FCA子問題中,得到關于預約時間At+1的最優(yōu)患者-醫(yī)生分配情況Xt+1,故狀態(tài)(At+1,Xt+1)具有比狀態(tài)(At+1,Xt)更低(或相等)的目標值。因此,根據(jù)傳遞性,狀態(tài)(At+1,Xt+1)小于等于狀態(tài)(At,Xt)。

2.2 UP-FU 算法子問題的設計與實現(xiàn)

2.2.1 FCA 子問題 對情景集中的每一個情景,初始化患者-醫(yī)生分配矩陣Xt。具體方法為:首先針對患者隊列,按預約時間順序?qū)颊咧鸫畏峙?尋找最早空閑的醫(yī)生,即在患者Pi的預約時刻Ai下服務結束時間最小的醫(yī)生。然后檢查Pi是否到達,若患者Pi已經(jīng)到達,則將此醫(yī)生的服務結束時間更新為分配前醫(yī)生的服務結束時間加Pi的服務時長;若患者Pi未到達,則按預約序列檢查下一位患者Pi+1。若Pi+1已經(jīng)到達,則將此醫(yī)生的工作時間更新為分配前醫(yī)生的工作時長加Pi+1的服務時長;若Pi+1未到達,則醫(yī)生陷入等待直至Pi到達。

下面舉例說明,假設有4位患者,2名醫(yī)生,其預約時間順序為A1

(1) 若4 位患者均提早到達,且R1

圖2 按預約時間排序的服務路線示例Fig.2 Example of service routes sorted by appointment time

(2) 若患者3 遲到、其余患者早到,且R1

圖3 相鄰患者服務順序互換的服務路線示例Fig.3 Example of service routes for adjacent patient service sequence exchange

在上述服務規(guī)則下,醫(yī)生并非嚴格按照患者預約順序進行服務,在一定條件下允許預約時間相鄰患者的服務順序交換。相鄰患者服務順序進行交換能夠增大醫(yī)生連續(xù)工作的可能,從而減少醫(yī)生加班。但該規(guī)則只允許相鄰患者間的服務順序交換,而并非允許任意預約序列下患者的服務順序交換,否則服務策略會變?yōu)椤跋鹊较确铡辈呗?FCFS),助長患者任意不守時到達。

2.2.2 LP子問題 以FCA 子問題得到的患者-醫(yī)生分配矩陣作為輸入,UP模型的0-1變量作為已知常量被相應化簡,UP模型由混合0-1規(guī)劃模型轉化為線性規(guī)劃模型,可以使用標準優(yōu)化求解器進行優(yōu)化決策,輸出患者預約時間向量。需要注意的是,在FCA 子問題中可能執(zhí)行了順序相鄰患者的服務順序交換,在LP 子問題的模型求解中需要將模型中索引從預約順序更新為服務順序。

對于算法的時間復雜度,可分為單位計算復雜度和迭代次數(shù)復雜度進行考慮。單位計算復雜度包括FCA 子問題和LP子問題兩項:FCA 子問題是在每個情景中對每名患者逐一分配,若記ω為情景數(shù)量,m為患者數(shù)量,n為醫(yī)生數(shù)量,則循環(huán)結構的復雜度為O(ωm),最小化成本目標的復雜度為O(n)。按照設計的策略,算法中存在著患者順序的更改情況,FCA 子問題有兩個分支,總時間復雜度為O(ωm(m+n))。LP子問題是僅包含連續(xù)變量的線性規(guī)劃問題,可以在多項式時間內(nèi)完成決策。對于迭代次數(shù)復雜度,模型的可行域內(nèi)只存在有限數(shù)量的醫(yī)生-患者分配方案。

對于空間復雜度,每增加1個情景,算例占用內(nèi)存以O(m+n)的數(shù)量級增長。在FCA 子問題中空間復雜度為O(1),LP 子問題中每增加1 個情景,約束數(shù)量和決策變量數(shù)量按照患者與醫(yī)生數(shù)量線性增加。而在算法迭代過程中只保存當前算例狀態(tài)和上次計算后的狀態(tài),空間復雜度和算例本身占用的內(nèi)存量級相當,也為O(m+n)。

3 數(shù)值實驗結果分析

本文的實驗設計分為兩大部分:首先設計基本實驗,通過數(shù)值結果分析不守時因素對門診預約系統(tǒng)的影響,面向不守時患者最優(yōu)預約時間和患者對于醫(yī)生分配的特征;接著,測試患者分配與預約調(diào)度方案在不同環(huán)境因素參數(shù)下的變化趨勢,其中環(huán)境因素包括患者不守時時間的均值、方差,取消預約概率和患者、醫(yī)生數(shù)量。通過分析上述實驗結果,本文歸納相應的門診預約系統(tǒng)管理運作規(guī)律,總結并提出適應實踐的管理建議與啟示。

3.1 基本實驗

考慮工作周期的取值T=8[13],某科室2名醫(yī)生出診、服務20位患者的工作場景,m=2,n=20。在SAA 方法下,取情景數(shù)量為500。對于不確定因素:假設患者不守時時間服從正態(tài)分布[6],不同患者的不守時行為可能具有較大差異,但總體上傾向于準時到達,因為患者需要提前報到登記,所以取均值略早于預約時間來描述患者準時進入候診隊列,取標準差σu=4,均值μu=-0.5;患者的服務時間往往具有長尾性,故假設患者服務時長服從對數(shù)正態(tài)分布[12],取標準差σs=0.5,均值μs=1。為了以不守時因素作為主要研究對象,避免其他不確定性對結果分析帶來的影響,在基本實驗中不考慮患者的取消預約行為,即取消預約率d=0。醫(yī)生加班成本相對患者等待成本的系數(shù)α=1.2。

表1 所示為優(yōu)化后的患者預約時間及分配方案。由表1可見,9位患者被分配給醫(yī)生1,11位患者被分配給醫(yī)生2,工作量相對平均。總體上看,患者按預約順序交錯分配在兩名醫(yī)生之間,在工作周期的中后段會出現(xiàn)預約順序相鄰的兩個患者分配給同一名醫(yī)生的情況,總體合理。

表1 患者預約時間表及分配情況Tab.1 Patient appointment schedule and allocation

在預約時間方面,為更加清晰地觀察預約時間的變化,本文繪制了預約時間的間隔變化情況,如圖4所示。其中,橫軸表示第i個間隔,縱軸表示間隔時長xi。在預約時間間隔圖中,圓形表示連續(xù)兩位患者被分配給相同醫(yī)生,叉形表示連續(xù)兩位患者被分配給不同醫(yī)生。

圖4 最優(yōu)預約時間間隔Fig.4 Optimal appointment time interval

由圖4可以看出,預約時間間隔仍遵循“兩端較小、中間平穩(wěn)”的穹頂形,這表示面向不守時到達患者,門診依然在開始和末尾階段對患者的調(diào)度更為集中,在中間階段調(diào)度較為分散。但預約時間間隔存在類似“Z”形的波動,即預約間隔交替增大或減小。Zhang等[7]研究兩個手術的調(diào)度問題,手術室的調(diào)度呈現(xiàn)“Z”形波動,且波動以手術室的數(shù)量為一個周期。Pan等[13]對于不守時患者的調(diào)度優(yōu)化方案出現(xiàn)了“Z”形波動,但初始區(qū)塊覆蓋范圍較大,初始區(qū)塊中預約間隔較小,即對較多的前序患者預約相對集中,初始區(qū)塊后預約間隔出現(xiàn)突升,且“Z”形波動幅度較小。而本文結果中,預約間隔逐步上升,且其后的波動幅度較大。這是因為FCA 算法在先預約先服務的基礎上允許相鄰患者交換服務順序,預約間隔波動較大更易于避免相鄰患者交錯順序到達的情況,發(fā)生服務順序交換的可能性更低,系統(tǒng)中不確定性的影響更小。

表2對比了本文提出的“相鄰患者服務順序互換”(記為NPSA)規(guī)則與AO 規(guī)則下的系統(tǒng)性能表現(xiàn),測試指標包括預約系統(tǒng)總成本、患者總等待時間、第2位和末位患者等待時間以及每名醫(yī)生的加班時間。由表2 可見,在患者不守時到達場景下,允許交換相鄰患者服務順序規(guī)則可以有效降低門診的總成本。盡管對于AO 的“先到先服務”規(guī)則,開始階段患者的等待時間較短,但由于不守時行為造成不確定性的逐漸積累,在工作周期末段,最后一位患者的等待時間與NPSA 規(guī)則相比明顯地更長,門診基于相鄰患者預約和到達順序?qū)颊叻找?guī)則有序管理,可以較為顯著地減少患者的總等待時間,優(yōu)于完全按照到達順序的“先到先服務”規(guī)則,兩名醫(yī)生的加班時間也相應減少,工作周期內(nèi)效率更高。

表2 NPSA策略與AO策略下的性能Tab.2 Performance under NPSA and AO strategies

實驗結果的穩(wěn)定性和實驗的求解效率與抽取的情景數(shù)量直接相關,因此,本文進一步測試了情景數(shù)量和運行時間、預約時間間隔方差值之間的關系。圖5所示為情景數(shù)量與運行時間的關系,建立了回歸模型并繪制回歸線,回歸模型顯示,情景數(shù)量與運行時間符合線性關系。結合數(shù)值實驗測試發(fā)現(xiàn),情景數(shù)量每增加50個,運行時間大致增長1 s。

圖5 情景數(shù)量與運行時間的關系Fig.5 The relationship between the number of scenarios and the running time

本文進一步繪制了預約時間間隔的方差與情景數(shù)量的關系圖,測試模型最優(yōu)解的穩(wěn)定性。圖6顯示,情景數(shù)量增加至100組時,最優(yōu)解的方差數(shù)值迅速下降,穩(wěn)定性快速提升。隨著樣本數(shù)量的增大,方差進一步減小,當樣本數(shù)量到達500組后,最優(yōu)解的方差數(shù)值逐漸趨近于0,并且隨著樣本數(shù)量的增加也幾乎不再變化。但如圖5所示,運行時間則是隨情景數(shù)量線性增加,情景數(shù)量取值越大,越接近現(xiàn)實情況,結果更穩(wěn)定,但求解時間也在上升。因此,綜合考量計算結果的穩(wěn)定性和運算時間,選取情景數(shù)量為500。

圖6 預約時間間隔的方差與情景數(shù)量的關系Fig.6 The relationship between the variance of appointment time interval and the number of scenarios

3.2 環(huán)境因素變化對預約分配和調(diào)度方案的影響

本節(jié)數(shù)值實驗采用控制變量法,當某一項環(huán)境因素參數(shù)變化時,其他環(huán)境因素參數(shù)設置保持與基本實驗中相同。

3.2.1 不守時時間的均值、標準差 患者不守時時間的均值反映患者不守時行為的總體習慣,標準差反映不同患者不守時到達時間的差異程度,由于患者不守時行為可能受季節(jié)或門診地點的影響而具有較大差異[6],所以有必要對不同不守時行為參數(shù)下的門診預約系統(tǒng)性能進行測試。對于患者不守時行為的總體習慣,在一般情況下,患者更趨向于早到[10]。實驗設計4 種場景,取不守時分布的均值μu=-4,-2,-0.5,3,分別表示患者總體習慣于特別早到、一般早到、準時和遲到場景,患者預約分配和調(diào)度結果如圖7所示。其中,橫軸表示第i個預約間隔,縱軸表示間隔時長xi。

圖7 患者不守時均值對預約分配和調(diào)度的影響Fig.7 The impact of mean of patient unpunctuality on appointment allocation and scheduling

由圖7可以看出,預約時間間隔總體仍呈現(xiàn)穹頂形和“Z”形波動。4組場景相比較,最為明顯變化是隨著μu的增大,安排在起始預約的患者數(shù)量逐漸增多,患者的預約調(diào)度規(guī)則[14]從“單批量/可變間隔”變?yōu)椤捌鹗紩r段多批量/其他單批量/可變間隔”。這主要是因為當患者傾向于晚到時,門診希望通過將預約時間盡量提前來減少醫(yī)生的不必要空閑,從而減少加班時間;而如果患者習慣于特別早到,在μu=-4時首個預約間隔約為0.3,門診延遲預約時間換取更少的患者等待時間。同時,隨著μu的增大,預約時間間隔整體在減小,即患者安排得更加集中,可以理解為患者的遲到不僅容易打亂服務順序,而且會造成更多的醫(yī)生空閑,為減少加班可能,對預約時間間隔進行收緊。對此,在日常管理實踐中,對于患者遲到傾向嚴重的科室或醫(yī)院門診,管理者應該將預約時間在初始階段安排得更加緊密,也可進一步根據(jù)患者到達習慣劃分患者類別,對早到、遲到患者進行分類管理。

對于不守時時間標準差,本文設計4種場景,取不守時分布σu=1,3,4,6,分別表示患者不守時行為波動小、一般、高和強場景,患者預約分配和調(diào)度結果如圖8所示。其中,橫軸表示第i個預約間隔,縱軸表示間隔時長xi。

圖8 患者不守時標準差對預約分配和調(diào)度的影響Fig.8 The impact of standard deviation of patient unpunctuality on appointment allocation and scheduling

圖8顯示,患者不守時標準差變化未影響預約時間間隔的穹頂形和“Z”形波動特征,預約調(diào)度規(guī)則“起始時段多批量/其他單批量/可變間隔”。總體而言,標準差越大,預約間隔的“Z”形波動越明顯,在患者不守時行為波動小的場景下(σu=1),相鄰患者間的預約時間間隔相對固定,且相鄰患者交替分配給不同醫(yī)生;而在患者不守時行為波動強的場景下(σu=6),預約間隔長度的變化劇烈,且多為將患者連續(xù)分配給同一名醫(yī)生。這主要是由于隨著標準差的增大,患者到達的分散程度提升,需要統(tǒng)一分配連續(xù)多個患者,通過實際排隊過程中相鄰患者服務順序互換來減少醫(yī)生空閑,降低到達不確定性的負面影響。隨著標準差的增大,患者被安排得相對更加集中,但預約時間的壓縮調(diào)整幅度未受不守時均值的影響明顯。也就是說,與患者不守時到達差異性程度變化相比,門診更應該在面向患者不守時傾向性變化時,調(diào)整患者預約時間的緊密程度;而當患者不守時到達行為差異性程度變化時,門診更應該調(diào)整患者對于醫(yī)生的分配方案。

3.2.2 取消預約概率 在實際生活中,患者取消預約的情況受多種因素影響,如預約平臺、星期、提前期等,通?；颊呷∠A約率約為27.78%[14]。本文假設取消預約概率在預約調(diào)度優(yōu)化前是已知的,可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。實驗測試取消預約率取值為0%、10%、50%和90%,數(shù)值結果如圖9所示。其中,橫軸表示第i個預約時間間隔,縱軸表示預約時間時長xi。

圖9 患者取消預約率對預約分配和調(diào)度的影響Fig.9 The impact of patient cancellation rate on appointment allocation and scheduling

由圖9可以看出,隨著取消預約率的上升,穹頂形預約時間特征變得愈加不明顯,但“Z”形波動的峰值數(shù)量在減少。取消預約率的升高帶來預約時間間隔整體的減小,安排在初始階段的患者數(shù)量增多。這是由于在初始化時,對取消預約患者的處理方式是將服務時間設為0,但考慮其參與服務分配,為減少醫(yī)生空閑,優(yōu)化調(diào)度方案會將后一位患者與取消預約的患者分配給同一名醫(yī)生,進而使得預約時間更加相近,多位患者連續(xù)分配給同一名醫(yī)生的情況也在增加。當取消預約率超過50%,與不守時因素相比,取消預約因素已成為主要不確定因素。對此,管理者應當在運用實踐中及時檢測取消預約患者數(shù)量和概率變化趨勢,根據(jù)取消預約率的變化,適當增減醫(yī)生數(shù)量。

3.2.3 工作周期長度 在現(xiàn)實中,由于門診級別、醫(yī)生資質(zhì)的不同,可能對應著不同的出診時間和工作周期長度T。在模型中,T與醫(yī)生的空閑和加班時間直接相關,也間接地影響了最優(yōu)預約時間間隔的決策,改變了不守時患者間服務順序的判斷,進而影響排隊順序ρ的制定。本文設計實驗測試T分別為6、8、10和12,表示門診的工作周期由短至長,由基本實驗中75%的開診時長變化至150%的開診時長。數(shù)值結果如圖10所示。其中,橫軸表示第i個預約時間間隔,縱軸表示預約時間時長xi。

圖10 工作周期長度對預約分配和調(diào)度的影響Fig.10 The impact of work session length on appointment allocation and scheduling

由圖10可見,T的變化對于預約時間間隔的形狀和分配并沒有明顯影響,預約時間間隔總體呈穹頂形和“Z”形波動。若患者交替分配給不同醫(yī)生,則預約間隔在0.8～1.5之間較為規(guī)律波動;若連續(xù)將患者分配給同一名醫(yī)生,則預約時間間隔相對更長,與基本實驗一致。預約時間間隔不隨T的變化呈明顯變化,這一結果說明,“相鄰患者服務順序互換”規(guī)則可以較好地處理患者不守時因素帶來的負面影響,具有一定的緩沖性,不需要較大幅度調(diào)節(jié)預約時間間隔便可以穩(wěn)定地應對T的變化,很好地平衡了患者的等待時間,不會造成由于患者不守時行為而導致患者過于堆積、醫(yī)生過于空閑,使得醫(yī)生的工作強度較為平穩(wěn)。對于現(xiàn)實存在患者不守時行為的門診預約系統(tǒng),T的變化不會加重不守時因素對系統(tǒng)的負面影響,管理者可以較為從容地面對工作周期長度變化。

3.2.4 醫(yī)生、患者數(shù)量 實際生活中常見的是多醫(yī)生環(huán)境,多醫(yī)生之間共享一個患者隊列,如康復門診等,本文調(diào)節(jié)醫(yī)生數(shù)量m=1,3來觀察預約分配和調(diào)度方案的變化情況。為確保醫(yī)生-患者工作量之間的合理比較,患者數(shù)量相應隨醫(yī)生數(shù)量取值而變化,比例為1名醫(yī)生對應10位患者。

隨著患者和醫(yī)生數(shù)量的增加,程序的運行求解時間逐漸增長,但對于3 名醫(yī)生場景仍可以在1 min內(nèi)解出優(yōu)化方案。由圖11 可以看出,有3名醫(yī)生時,門診安排前3 位患者在初始時刻,恰好符合UP模型約束3,即在初始時刻為每個服務臺調(diào)度1位患者。3 名醫(yī)生場景下預約間隔仍呈現(xiàn)“Z”形波動特征,由于每名醫(yī)生的平均工作量沒有改變,每名醫(yī)生被分配的患者數(shù)目同樣大致相等,最優(yōu)預約時間間隔的平均值和基本實驗中20位患者、2 名醫(yī)生場景的數(shù)值基本一致。對于單醫(yī)生場景,預約間隔幾乎沒有“Z”形波動,只呈現(xiàn)穹頂形狀特征,由于允許不守時患者間進行服務順序交換,故在中間序列(第4 和第5 名患者)的預約間隔出現(xiàn)小幅下降,在服務周期中部通過服務順序交換規(guī)則,平衡前后兩部分工作量作為緩沖,以減少由于過長預約間隔出現(xiàn)的醫(yī)生空閑,即面向不守時患者考慮服務交換規(guī)則場景下,預約間隔呈“雙穹頂”形特征。

圖11 醫(yī)生患者數(shù)量對預約分配和調(diào)度的影響Fig.11 Thei mpact oft he number of doctors and patients on appointment allocation and scheduling

4 結語

本文以不守時因素作為研究對象,在多醫(yī)生場景下優(yōu)化患者的預約分配與調(diào)度方案。針對不守時患者實際到達順序與預約順序不一致造成的多服務臺候診隊列患者服務的亂序問題,為兼顧AO 策略的系統(tǒng)穩(wěn)定性和AOWC 策略的醫(yī)生工作連續(xù)性,提出了介于AO 與AOWC 策略之間的患者排隊服務規(guī)則,以“先預約先服務”策略為基礎,允許相鄰預約時間的兩位患者服務順序互換的服務策略。本文建立了基于SAA 的混合0-1規(guī)劃模型UP,針對情景抽樣后模型規(guī)模擴大、不易求解的難點,設計了UP-FU 算法,將模型分解為FCA 和UP 兩個子問題進行迭代求解,有效提升了模型求解效率。對于FCA 子問題,在已知患者預約時間的情況下,基于情景和服務順序交換規(guī)則,決策患者-醫(yī)生分配方案。對于LP子問題,由FCA 子問題得到的患者分配方案作為已知輸入,原模型簡化為簡單的線性規(guī)劃問題,優(yōu)化患者預約調(diào)度時間。在此基礎上,本文證明了算法的收斂性和成本目標在迭代過程中的遞減性。

本文設計了一系列實驗分析患者預約分配與調(diào)度方案受不同環(huán)境因素變化的影響。結果發(fā)現(xiàn),對于面向不守時患者的多醫(yī)生預約調(diào)度系統(tǒng),最優(yōu)預約時間間隔仍呈現(xiàn)穹頂形和“Z”形波動等特征,但預約間隔波動更大。隨著患者不守時均值(傾向于遲到)和標準差的增大(到達差異性增大)以及取消預約概率的增加,預約間隔的波動性更強、預約時間總體更緊密,門診將連續(xù)多位患者分配給同一名醫(yī)生而不是交替分配給不同醫(yī)生。當患者整體傾向于遲到時,預約調(diào)度規(guī)則從“單批量/可變間隔”變?yōu)椤捌鹗紩r段多批量/其他單批量/可變間隔”。由于患者不守時出現(xiàn)的服務順序交換,對于單醫(yī)生預約系統(tǒng)的預約間隔呈現(xiàn)“雙穹頂”形特征。研究成果顯示,有必要在預約優(yōu)化時考慮患者的不守時因素,預約分配與調(diào)度方案在面向不同的患者不守時特征下,需要對預約規(guī)則和預約時間等方面有較大的針對性調(diào)整。在門診的管理實踐中,需要注意收集、統(tǒng)計并分析不同科室、患病類型及醫(yī)生團隊的患者不守時到達時間的均值、方差和概率分布等,基于不守時時間對患者進行相應的分類管理,及時調(diào)整和優(yōu)化不守時患者的預約分配與調(diào)度方案。

本文為多醫(yī)生場景下面向不守時患者的預約分配與調(diào)度優(yōu)化提供了理論支撐,為門診管理者的日常運營實踐給出了決策建議,對于門診科學預約管理有一定的幫助效果。