平面波與高斯函數(shù)或樣條函數(shù)復(fù)合基組*

張廣迪 毛力2)? 徐紅星2)3)4)?

1) (武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,武漢 430070)

2) (武漢量子技術(shù)研究院,武漢 430205)

3) (武漢大學(xué)微電子學(xué)院,武漢 430072)

4) (河南省科學(xué)院,鄭州 450046)

通過將平面波與高斯函數(shù)或者樣條函數(shù)結(jié)合到一起,本文構(gòu)建了一種新的復(fù)合基組.利用格拉姆-施密特正交化方法或者L?wdin 正交化方法,對復(fù)合基組進(jìn)行正交歸一化.通過選擇平面波函數(shù)中波矢的絕對值,選擇性地求解某個(gè)能量區(qū)間內(nèi)的本征態(tài),將大型哈密頓矩陣的計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)小型矩陣的計(jì)算,以及通過減少電子勢能平緩部分展開基矢數(shù)目,極大地加快了計(jì)算速度.以一維有限深勢阱為例,通過與嚴(yán)格計(jì)算方法的對比,驗(yàn)證了本文復(fù)合基組能夠在加速計(jì)算的情況下保證求解精度.同時(shí),本文還研究了不同的參數(shù)設(shè)置對計(jì)算精度的影響,包括復(fù)合基矢的疏密度、高斯函數(shù)的寬值,以及樣條函數(shù)不同區(qū)域占函數(shù)總寬度的比值等參數(shù).最后該復(fù)合基組可以直接應(yīng)用到對大尺寸納米金屬結(jié)構(gòu)的等離激元數(shù)值計(jì)算當(dāng)中.

1 引言

金屬微納結(jié)構(gòu)(納米金屬棒、顆?；虬?間的納米間隙具有很重要的性質(zhì),在物理、化學(xué)和生物等領(lǐng)域都有著廣泛的研究與應(yīng)用[1,2],比如在表面等離激元方面的應(yīng)用[3,4].表面等離激元是電磁場與固體中自由電子集體振蕩強(qiáng)耦合形成的一種元激發(fā),它可以將光場局域在突破衍射極限的亞波長范圍內(nèi).例如金屬顆粒之間的納米間隙[5-10],人們稱之為“熱點(diǎn)”.其中的電場強(qiáng)度被等離激元共振增強(qiáng),增強(qiáng)倍數(shù)甚至可以達(dá)到102,從而使得間隙內(nèi)部的分子拉曼散射信號極大增強(qiáng)(由于拉曼信號正比于電場的4 次方,所以最大可達(dá)108),這就是表面增強(qiáng)拉曼光譜[11-13].一般而言間隙間距越小電場增強(qiáng)越大,但是間隙小到納米尺度時(shí)量子效應(yīng)會起作用[14-17],以往僅利用經(jīng)典的電磁學(xué)方法計(jì)算電磁場[18-20]會失效.此時(shí)可以使用密度泛函理論進(jìn)行計(jì)算[21,22],以獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.

密度泛函理論(DFT)[23-26]以及含時(shí)密度泛函理論(TDDFT)[27,28]是研究多電子體系的重要方法,在物理和化學(xué)的很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.密度泛函理論基于Hohenberg-Kohn 定理: 給定一個(gè)在特定初始狀態(tài)下的電子系統(tǒng),外部的勢能和電子密度之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.相互作用電子系統(tǒng)的基態(tài)密度和勢場分布可以由對應(yīng)的無相互作用系統(tǒng)的Kohn-Sham 方程組的解確定.因此,密度泛函理論的關(guān)鍵在于快速準(zhǔn)確地求解Kohn-Sham 方程組[29,30].然而,在實(shí)際應(yīng)用中,很多器件總體尺寸在微米量級.如果使用密度泛函的方法,為了使計(jì)算結(jié)果足夠準(zhǔn)確,需要使用足夠多的波函數(shù)進(jìn)行展開,Kohn-Sham 方程組中的哈密頓量的矩陣維度將會非常大.以直徑10 nm 長1 μm 的金納米棒為例,電子數(shù)目將達(dá)到百萬級,由于需要計(jì)算哈密頓量的矩陣元,以及對矩陣進(jìn)行對角化,矩陣維度過大,此時(shí)計(jì)算量將會變得非常大(對角化矩陣的計(jì)算復(fù)雜度為O(N3) ,同時(shí)需要計(jì)算N2量級的勢能積分).這樣會給計(jì)算資源帶來很大壓力,甚至可能因?yàn)榫仃嚲S度過大而無法計(jì)算.如果直接減少波函數(shù)的數(shù)目來加快計(jì)算速度,將會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的誤差較大.因此,急需新的算法來加快大尺度密度泛函理論的計(jì)算速度.

減小矩陣的維度有不同的方法,例如Meng等[31,32]發(fā)展了混合量子力學(xué)和經(jīng)典電磁學(xué)(QM/EM)方法,將系統(tǒng)依據(jù)特征劃分為量子區(qū)間與經(jīng)典區(qū)間,在經(jīng)典區(qū)間用時(shí)域麥克斯韋方程組求解.在量子力學(xué)區(qū)間用量子非平衡格林函數(shù)求解,量子力學(xué)和經(jīng)典區(qū)間界面處的瞬態(tài)電勢分布和電流密度分別用作量子力學(xué)和電磁模擬的邊界條件.由于此時(shí)量子區(qū)間非常小,可以有效地減少矩陣維度.除此以外還可以通過基組的選取減小矩陣維度.在DFT的計(jì)算中,選取合適的基組,是一個(gè)非常重要的問題,合適的基組可以使得計(jì)算準(zhǔn)確與快速.很多研究都在關(guān)注基組的選取,例如何禹等[33]通過研究基函數(shù)效應(yīng),找到了DFT 理論中B972-PFD 方法的最具有性價(jià)比的基組.另外將不同的基矢復(fù)合到一起,作為新的基矢對研究的系統(tǒng)進(jìn)行展開,有時(shí)可以得到比單一基矢更好的結(jié)果.段宜武等[34]發(fā)展了少體物理中的簡諧振子展開方法,引入了低能態(tài)波函數(shù)并將其與簡諧振子波函數(shù)混合作為基矢,利用初步的近似波函數(shù),與一些沒有使用過的簡諧振子乘積波函數(shù)乘到一起,構(gòu)成新的復(fù)合基矢,從而減小基矢總數(shù).本文將使用復(fù)合基組的方法,將平面波與高斯函數(shù)或者樣條函數(shù)乘在一起來減小密度泛函理論中矩陣的維度.

在第一性原理計(jì)算中,平面波基組應(yīng)用非常廣泛(例如著名的VASP 軟件)[35],它在處理周期系統(tǒng)時(shí)非常有效.然而,在開放系統(tǒng)中,體系尺寸往往較大,有的地方需要精確的密集數(shù)據(jù),有些地方只需要少量的稀疏數(shù)據(jù)就可以得到較精確的結(jié)果.例如在求解銀納米棒的表面等離激元激發(fā)時(shí),銀納米棒的兩端以及表面電子勢能變化快,往往需要精確計(jì)算.而納米棒“棒芯”部分由于電子勢能平緩,原則上僅需少量信息就可以描述.因此并不需要花費(fèi)過多的計(jì)算資源在占比極大的中間部分.作為一種非局域基矢,平面波基組需要大量的平面波來對物理空間的所有部分進(jìn)行展開,包括對我們的問題不重要的中間區(qū)域.因此選擇線性復(fù)雜度的局域基組(例如高斯基組[36]),可以根據(jù)需要調(diào)整不同區(qū)域的基矢疏密度,減少所用的基矢總數(shù),從而加快計(jì)算.盡管如此,高斯基組間的間距也是原子尺度,在介觀尺度下需要的基組數(shù)目仍然非常龐大.本文基于這一點(diǎn),發(fā)展了一種新型的高斯函數(shù)或含有多項(xiàng)式的樣條函數(shù)與平面波復(fù)合的基組.這種基組同時(shí)利用高斯函數(shù)或者樣條函數(shù)的局域特性,通過選擇不同平面波波矢來控制求解能量區(qū)間,實(shí)現(xiàn)了對哈密頓矩陣的分區(qū)求解.在每一個(gè)小區(qū)間可以顯著地減少使用的基矢數(shù),在保持相應(yīng)精確度的情況下實(shí)現(xiàn)最終的加速計(jì)算.

2 計(jì)算方法

2.1 初始復(fù)合基組

本文使用高斯函數(shù)或樣條函數(shù)與平面波函數(shù)相乘,得到一組新基矢:

或樣條函數(shù),這里σ為高斯函數(shù)的寬值,xn為不同高斯函數(shù)或樣條函數(shù)中心的位置,樣條函數(shù)參數(shù)cij和u0由寬度參數(shù)al計(jì)算得到,高斯函數(shù)或樣條函數(shù)的疏密度可以方便地進(jìn)行調(diào)整.使用的高斯函數(shù)與樣條函數(shù)如圖1 所示.

圖1 用來復(fù)合的高斯函數(shù)與樣條函數(shù) (a)高斯函數(shù);(b)樣條函數(shù)Fig.1.Gaussian wave function and spline function for composition: (a) Gaussian wave function;(b) spline function.

可以通過將平面波函數(shù)與高斯函數(shù)或樣條函數(shù)簇相乘得到一系列未正交歸一化新基矢,即(1)式.由完備性考慮平面波波矢k應(yīng)該同時(shí)選取正負(fù)某個(gè)值,通過改變k的絕對值可以選擇求解的本征值區(qū)間.特定k值的平面波相當(dāng)于一個(gè)在勢能平緩區(qū)間的試探解,算法自動組合各局域高斯或樣條函數(shù)來匹配試探解與嚴(yán)格解之間的k值差距.

在量子力學(xué)的相關(guān)計(jì)算中,基組的選取與構(gòu)建需要遵循一定的原則.可以看出,本文的復(fù)合基組有以下特點(diǎn): 首先,由基矢的傅里葉變換可知,基組在動量空間中±k附近是近似完備的;其次,基組是正交歸一化的,2.2 節(jié)將進(jìn)行基組的正交歸一化處理;然后,基組中基矢的形式在數(shù)學(xué)上是便于積分的,高斯函數(shù)或樣條函數(shù),以及它們與平面波函數(shù)的乘積,均可以求出解析的積分結(jié)果;最后,由于復(fù)合基矢的形式中含有平面波,基矢的形式與系統(tǒng)波函數(shù)有一定的類似性.在滿足上述原則的情況下,本文的復(fù)合基組可以很好地應(yīng)用于具有電勢邊界變化劇烈而內(nèi)部平緩這一特征的物理體系.另外,由于復(fù)合基矢同時(shí)包含空間局域化函數(shù)(高斯函數(shù)或樣條函數(shù))與空間擴(kuò)展函數(shù)(平面波函數(shù)),便于通過改變高斯函數(shù)或樣條函數(shù)的空間分布疏密度,以及改變平面波波矢的選取這兩種途徑,來加速本征值的求解.

2.2 復(fù)合基組的正交歸一化

新基矢的數(shù)目需要根據(jù)系統(tǒng)的長度和精度要求進(jìn)行調(diào)整.在進(jìn)行計(jì)算前還需要對它們進(jìn)行正交歸一化.本文使用格拉姆-施密特正交化方法[37,38],或者L?wdin 的正交化方法[39],得到一系列新的正交歸一化基矢.

格拉姆-施密特正交化方法的基本流程是,選第一個(gè)原基矢作為第一個(gè)新基矢,不斷構(gòu)建新的基矢,使每個(gè)新基矢與前面所有的新基矢正交,并且對新基矢進(jìn)行歸一化.格拉姆-施密特正交化方法可以用如下公式表示:

其中ψn為正交歸一后的基矢,?n為原基矢,ψ1=?1,由表達(dá)式可知其是一個(gè)迭代方法,直接用(4)式一般不太穩(wěn)定,研究者們提出了許多改進(jìn)方法,格拉姆-施密特正交化本質(zhì)上等價(jià)于對矩陣做QR 分解,可以直接調(diào)用現(xiàn)在非常成熟的線性代數(shù)包求正交矩陣Q和系數(shù)矩陣R來計(jì)算.

L?wdin 正交化方法通過構(gòu)建一個(gè)變換矩陣來把原基矢進(jìn)行正交歸一化:

Si為(6)式中矩陣的第i個(gè)特征值,可以得到變換矩陣:

本文使用上述兩種正交化方法對復(fù)合基組進(jìn)行正交歸一化,并進(jìn)行比較,可以發(fā)現(xiàn),兩種方法均可以對復(fù)合基組進(jìn)行足夠精確的正交歸一化處理.然而由于格拉姆-施密特正交化方法需要不斷地迭代,當(dāng)兩個(gè)基矢相距較近時(shí),會使得分母接近于零從而導(dǎo)致誤差的積累,需要進(jìn)行更細(xì)致繁瑣的參數(shù)調(diào)整來進(jìn)行處理.因此本文使用L?wdin 正交化方法,或者調(diào)用科學(xué)計(jì)算庫中(例如GSL)的QR分解(以代替格拉姆-施密特正交化方法),來進(jìn)行正交歸一化處理.

3 結(jié)果與討論

3.1 一維有限深勢阱的能級分布

利用復(fù)合基矢計(jì)算時(shí),某些情況下有嚴(yán)格的解析結(jié)果,可以通過對比誤差來分析它的有效性.本文利用復(fù)合基矢計(jì)算一維有限深勢阱的能級分布與波函數(shù).一維有限深勢阱為

該系統(tǒng)有解析解[40].下面用前文得到的基矢對一維有限深勢阱進(jìn)行展開,求得能量值后與解析結(jié)果進(jìn)行對比.

系統(tǒng)的哈密頓量為

其中m為電子質(zhì)量,? 為約化普朗克常數(shù).用本文的復(fù)合基矢可以求得哈密頓矩陣的矩陣元為Hmn=〈ψm|H|ψn〉,將(2)式或(3)式中的函數(shù)代入其中并數(shù)值對角化即可求得能量本征值.這些計(jì)算值與理論值之間的相對誤差與系統(tǒng)的長度、使用的基矢的數(shù)目、基矢結(jié)構(gòu)參數(shù)均有關(guān)系.在圖2 中橫坐標(biāo)為不同的本征值,縱坐標(biāo)為計(jì)算值與理論值之間的相對誤差,我們僅使用少量基矢,發(fā)現(xiàn)即使在這種情況下面相對誤差也很小.但是圖2 可以說明本文方法精確度非常高.計(jì)算的相對誤差基本上都在10-5和 10-6的量級.可以看出,減小中間基矢的數(shù)目,從而減小總基矢的數(shù)目,仍然可以得到足夠精確的結(jié)果,同時(shí)又可以明顯加快計(jì)算速度.當(dāng)系統(tǒng)的物理尺寸較大,因而需要較多的基矢總數(shù)時(shí),3.3 節(jié)將通過調(diào)整基矢中平面波波矢的值來提高計(jì)算的效率.

圖2 僅使用少量基矢時(shí),計(jì)算值與理論值的相對誤差(x 軸為不同的本征態(tài),y 軸為計(jì)算值和理論值之間的相對誤差,后文相同)Fig.2.Relative error between calculated and theoretical values when only a small number of base vectors are used(x-axis,different eigenstates;y-axis,relative error between calculated and theoretical values;the following image is the same as the Fig.2).

3.2 不同的函數(shù)設(shè)定對精度的影響

由于高斯函數(shù)或樣條函數(shù)均與坐標(biāo)有關(guān),并且可以改變高斯函數(shù)的寬值,或者分段函數(shù)各段的長度,因此,本文研究了不同的參數(shù)對新的復(fù)合基矢精度的影響.以高斯函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合基矢為例.由于本節(jié)使用了較多的基矢,計(jì)算的相對誤差與2.1 節(jié)相比會有略微的不同.

首先考慮不同的疏密度比率對精度的影響.如圖3 所示,橫坐標(biāo)為不同的本征態(tài)計(jì)數(shù),縱坐標(biāo)為計(jì)算值與理論值之間的相對誤差,r為疏密度比率,疏密度比率是單位長度內(nèi)系統(tǒng)兩端(即電子勢能變化快速部分)使用的基矢數(shù)與系統(tǒng)中間部分(電子勢能平緩部分)使用的基矢數(shù)的比值.從圖3 可以看出,即使在疏密度比率等于1 時(shí),也就是系統(tǒng)兩端部分和中間部分的基矢密度相等時(shí),復(fù)合基矢仍然保持著較高的精度,所求的系統(tǒng)本征值與理論本征值之間的相對誤差的數(shù)量級在 10-4的位置.而隨著疏密度比率逐漸增大,相對誤差逐漸減小,直到 10-5的位置.由于系統(tǒng)中間部分需要最低數(shù)量的基矢來展開,因此隨著疏密度比率的增大,相對誤差不會無限減小,在本文對應(yīng)的程序里面可以根據(jù)不同的系統(tǒng)求出一個(gè)相對誤差接近最小的疏密度比率.綜上,通過調(diào)整基矢疏密度確實(shí)能夠提高精度,圖3 顯示大約可以提高一個(gè)量級.

圖3 不同的疏密度比率對精度的影響Fig.3.Effect of different degree of closing on precision.

接著討論不同的基矢寬度對精度的影響.圖4橫坐標(biāo)為不同的本征態(tài)計(jì)數(shù),縱坐標(biāo)為利用復(fù)合基矢求得的本征值與理論本征值之間的相對誤差,s為基矢寬度與基矢之間距離的比值,圖中疏密度比率為5.可以看出,整體的相對誤差數(shù)量級在10-5的位置.相對誤差隨著基矢寬度變寬先減小然后增大,在疏密度比率為5 的條件下,最優(yōu)基矢寬度大概為0.85 相鄰基矢間距.

圖4 不同的基矢寬度對精度的影響Fig.4.Effect of different basis sets width on precision.

對比圖3 和圖4 可以看出,基矢的不同疏密度比率對精度的影響,比不同的基矢寬度對精度的影響更大,疏密度比率是更具決定性的影響精度的因素.

3.1 與3.2 節(jié)僅計(jì)算了能量最低(平面波波矢k的取值為0,即不乘平面波只用局域基)的少量本征值.要想精確求解大量本征值,傳統(tǒng)方法需要加大展開基矢數(shù)目,但是這樣會顯著增加計(jì)算量.本文方法可以通過選取平面波波矢的絕對值來計(jì)算特定能量區(qū)間的本征態(tài).同時(shí)選擇樣條函數(shù)能夠進(jìn)一步提高計(jì)算精度.

3.3 基組中平面波波矢的值對計(jì)算效率的影響

以1 μm 厚度的銀納米板為例,勢阱深度大約10 eV,費(fèi)米能5.5 eV,銀納米板對應(yīng)在厚度方向大概3800 條能級被占據(jù),如果用以往方法大約需要數(shù)萬數(shù)量的基矢,才可得到比較精確的計(jì)算結(jié)果.利用本文方法可以極大減小這個(gè)數(shù)值.例如求解費(fèi)米面附近的電子時(shí),在勢阱里面的區(qū)域選擇201 個(gè)樣條函數(shù),勢阱外選擇60 個(gè),由于平面波基矢用到了正負(fù)的k,這樣總共的基矢空間為522(為了進(jìn)一步減小基矢空間,也可以在勢阱外不再乘以平面波,也就是只使用樣條函數(shù),此時(shí)基矢空間為462).通過對角化哈密頓矩陣,得到522 個(gè)能量本征值.由于選擇的基矢數(shù)目非常少,只有能量在 ?2k2/(2m) 附近非常有限的能量本征值準(zhǔn)確(能夠算準(zhǔn)的個(gè)數(shù)大約為1/10 中間樣條函數(shù)個(gè)數(shù)).在上述條件下總共需要約190 次這樣的計(jì)算.于是這種方法就相當(dāng)于把對大型矩陣的計(jì)算,轉(zhuǎn)變?yōu)閷υS多小型矩陣的計(jì)算,從而提高計(jì)算效率.通過計(jì)算能量在 ?2k2/(2m) 附近波函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),可以判斷出它們對應(yīng)于哪個(gè)嚴(yán)格解,并且通過對比它們的本征值與嚴(yán)格解,也確認(rèn)了該挑選方法是準(zhǔn)確的.

接下來計(jì)算這種方法的相對誤差,并分析不同的參數(shù)設(shè)置對相對誤差的影響.勢阱不同區(qū)域樣條函數(shù)疏密度的比值對精度有很大影響.由于勢阱中間部分勢能平緩,原則上講少數(shù)樣條函數(shù)足以描述;但是在勢阱壁勢能變化劇烈,需要使用較密集的函數(shù).在基矢總數(shù)保持不變的條件下,兩端邊緣部分與中間部分的樣條函數(shù)疏密度比率對精度影響很大.圖5 為疏密度比率對精度的影響,可以看出r為11.94 時(shí)計(jì)算精度最高.

圖5 不同的疏密度比率對精度的影響Fig.5.Effect of different degree of closing on precision.

樣條函數(shù)不同區(qū)域與整個(gè)函數(shù)的寬度比值對計(jì)算精度也有一定影響.如(3)式和圖1 所示,樣條函數(shù)包括兩邊的多項(xiàng)式區(qū)域和中間的直線區(qū)域,為了計(jì)算方便,可以令樣條函數(shù)的多項(xiàng)式區(qū)域,正好與兩個(gè)樣條函數(shù)相互交疊的區(qū)域完全重合.在圖6 中,s為某個(gè)樣條函數(shù)與下一個(gè)樣條函數(shù)相互交疊的部分,與該樣條函數(shù)間距的比值.可以看到每次計(jì)算也就對應(yīng)著每選取一個(gè)波矢,有少數(shù)能量本征值(例如圖5 中的綠線,大約有中間樣條函數(shù)個(gè)數(shù)除10,即20 個(gè))可以被準(zhǔn)確地計(jì)算.耦合部分與函數(shù)間距的比值對計(jì)算精度有明顯的影響,原則上選擇的交疊部分寬度應(yīng)該比(1)式中的平面波波矢所對應(yīng)的電子波長小一個(gè)量級.至于具體哪個(gè)值最優(yōu)可以通過試探、擬合的方式找到.

圖6 耦合部分與函數(shù)寬度的比值對精度的影響Fig.6.Effect of the ratio of coupling part to function width on precision.

對比圖5 和圖6 可以發(fā)現(xiàn),與3.2 節(jié)類似,與耦合部分占函數(shù)寬帶的比值相比,基矢的疏密度比率是更具決定性影響精度的因素.

最后估算該方法的計(jì)算效率相的提升.本文的等離激元數(shù)值計(jì)算中,最費(fèi)時(shí)的地方一般是哈密頓矩陣的矩陣元與對角化計(jì)算.對于矩陣元的計(jì)算,需要求解N2個(gè)積分.對于矩陣的對角化來說,其計(jì)算復(fù)雜度為O(N3) .因此基矢總數(shù)的減少對計(jì)算速度的影響非常大,如果使用通常的平面波基矢對上述系統(tǒng)進(jìn)行展開,大約需要數(shù)萬的基矢,則計(jì)算量達(dá)到了約 1013的量級.而使用本小節(jié)的方法矩陣對角化的計(jì)算量約為 190×5223,大約在 1010的量級,在保持較好的計(jì)算精度的同時(shí),計(jì)算效率大大提高.

4 結(jié)論

本文利用平面波函數(shù)與高斯函數(shù)或者樣條函數(shù)相乘,構(gòu)建了一種新的基組,并利用格拉姆-施密特正交化方法和L?wdin 正交化方法,對構(gòu)建的基矢進(jìn)行正交歸一化.通過選擇平面波函數(shù)中波矢的絕對值,選擇性地求解某個(gè)能量區(qū)間內(nèi)的本征態(tài),將大型哈密頓矩陣的計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)小型矩陣的計(jì)算,以及通過減少電子勢能平緩部分展開基矢數(shù)目,極大地加快計(jì)算速度.為了方便研究算法精度本文選擇一維有限深勢阱,發(fā)現(xiàn)新的復(fù)合基組在保持精度的前提下,可以顯著提高計(jì)算效率.同時(shí)研究了基矢寬度和疏密度比率對精確度的影響,探討了怎樣選擇最優(yōu)的參數(shù).

一維有限深勢阱勢能在邊界跳變,在其他地方為常數(shù),它和金屬電勢具有類似的變化規(guī)律.以納米金屬平板為例,電勢在一個(gè)費(fèi)米波矢內(nèi)從零變化到最小,而后在幾個(gè)費(fèi)米波矢內(nèi)邊振蕩邊衰減到平均值[41].上述計(jì)算方法在一維有限深勢阱效果很好,因此可以推論該方法能夠應(yīng)用到銀納米板或者其他金屬納米結(jié)構(gòu)等離激元DFT 計(jì)算中.給定一個(gè)合理的試探性的初始態(tài),利用DFT 理論,通過自洽求解,可以求解系統(tǒng)的基態(tài)電子密度分布,之后利用TDDFT 理論求解系統(tǒng)電磁場分布以及光學(xué)等性質(zhì).