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    直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯與不同程度的真

    2023-10-06 00:50:49程華清
    邏輯學(xué)研究 2023年1期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

    程華清

    1 引言

    對(duì)邱奇-費(fèi)奇悖論1邱奇-費(fèi)奇悖論指的是:在“任意命題的真都可能被知道”和“存在不知道的真命題”的前提下,通過(guò)經(jīng)典的模態(tài)和認(rèn)知邏輯推演會(huì)導(dǎo)致結(jié)論“任意命題的真都被知道”,這違背了我們的直覺(jué)。(Church-Fitch paradox)的解悖促進(jìn)了直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯的研究。直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯是基于直覺(jué)主義邏輯的認(rèn)知擴(kuò)充,直覺(jué)主義邏輯的構(gòu)建遵循Brouwer-Heyting-Kolmogrov 解釋2簡(jiǎn)稱BHK 解釋。BHK 解釋是從構(gòu)造性語(yǔ)境下對(duì)邏輯算子的解釋,關(guān)于BHK 解釋的詳細(xì)闡釋見(jiàn)本文第二節(jié)。,這意味著直覺(jué)主義邏輯包含認(rèn)知因素3直覺(jué)主義把數(shù)學(xué)理解為心智的構(gòu)造性活動(dòng),這可被視作一種認(rèn)知活動(dòng),直覺(jué)主義邏輯是直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的衍生品,更多闡釋詳見(jiàn)文中第二節(jié)內(nèi)容。,但其形式語(yǔ)言中不含認(rèn)知算子,而直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯的形式語(yǔ)言能夠表達(dá)含有認(rèn)知算子K的公式KA,對(duì)認(rèn)知算子的不同理解形成了不同的直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯。

    直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯的研究當(dāng)前可分為兩條進(jìn)路:

    (1) 接納知識(shí)的事實(shí)性(factivity of knowledge)原則KA →A,它也被稱為反射(reflection)原則。這方面的代表是[9]中所構(gòu)建的系統(tǒng)IKT*,構(gòu)建IKT*不依賴于BHK 解釋,而是基于以下觀點(diǎn):

    真在于證實(shí)(verification)的可能性,其中“證實(shí)”被理解為實(shí)時(shí)(real time)呈現(xiàn)給一個(gè)真實(shí)主體(real subject)的事物,但真僅僅需要這樣事物的可能性而不是其實(shí)際的出現(xiàn)。([9],第63 頁(yè))

    (2) 接納真的構(gòu)造性(constructivity of truth)原則A →KA,它也被稱為余反射(coreflection)原則。這方面的代表是[1]中所構(gòu)建的系統(tǒng)IEL,對(duì)IEL 的構(gòu)建旨在遵循BHK 解釋,并持有觀點(diǎn):

    直覺(jué)主義認(rèn)知狀態(tài)(信念或知識(shí))是證實(shí)的結(jié)果,其中“證實(shí)”指的是足以達(dá)到實(shí)際目的而給出的確鑿的(conclusive)證據(jù)(evidence)。4這種對(duì)“證實(shí)”的理解與[9]中所理解的“證實(shí)”稍有不同,參見(jiàn)[1]中第288 頁(yè)的注釋30。([1],第269 頁(yè))

    由此可見(jiàn),[1]試圖從直覺(jué)主義原初立場(chǎng)出發(fā)來(lái)建立關(guān)于直覺(jué)主義知識(shí)的邏輯,這是[9]未考慮的。如[1]中所述:

    因此威廉姆森(Williamson)的直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯沒(méi)有表達(dá)基于BHK的知識(shí)(BHK-based knowledge)的含義(而這是我們的目標(biāo)),與此同時(shí)它也把經(jīng)典的認(rèn)知假設(shè)引入到直覺(jué)主義的語(yǔ)境中來(lái)。([1],第288 頁(yè))

    S.Artemov 將命題KA解讀為“A是直覺(jué)主義知識(shí)”,并借助“證實(shí)”的概念給出認(rèn)知算子K 的預(yù)期理解。([1])IEL 接受直覺(jué)主義反射(intuitionistic reflection)原則KA →??A,它被視作直覺(jué)主義知識(shí)的真值條件(truth condition)。

    Artemov 的工作具有啟發(fā)性,它為回到直覺(jué)主義本身來(lái)發(fā)展(模態(tài))認(rèn)知邏輯提供了基本思路(比如[7]對(duì)IEL 做了一般化的研究,證明了IEL 能夠嵌入到其S5 類型系統(tǒng)中),進(jìn)而促進(jìn)了直覺(jué)主義認(rèn)識(shí)論(intuitionistic epistemology)的研究。遺憾的是,IEL 的預(yù)期解釋并未嚴(yán)格遵循BHK 解釋,導(dǎo)致IEL 的構(gòu)建未達(dá)到預(yù)期目標(biāo),本文第二節(jié)會(huì)對(duì)此作詳細(xì)的論證。第三節(jié)簡(jiǎn)要回顧IEL 的形式化工作,并在第二節(jié)討論基礎(chǔ)上重新理解IEL。第四節(jié)提出了KA的新解讀,并由此引出直覺(jué)主義真和經(jīng)典真之間不同程度的真,在此基礎(chǔ)上重新理解IEL 系統(tǒng)的一些重要內(nèi)定理。最后在第五節(jié)提出IEL 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)問(wèn)題的一個(gè)猜測(cè)。

    2 IEL 的預(yù)期解釋與BHK 解釋的偏離

    IEL 的構(gòu)建試圖遵循BHK 解釋,但這種嘗試有一定局限性,本節(jié)從直覺(jué)主義視角下邏輯和數(shù)學(xué)的關(guān)系出發(fā)來(lái)論證:IEL 的預(yù)期解釋偏離了BHK 解釋,進(jìn)而IEL 并未達(dá)到預(yù)期構(gòu)建目標(biāo)。

    BHK 解釋是直覺(jué)主義對(duì)基本邏輯聯(lián)結(jié)詞和量詞的標(biāo)準(zhǔn)解釋,它經(jīng)由布勞威爾(L.E.J.Brouwer)、海廷(A.Heyting)和柯?tīng)柲缏宸颍ˋ.Kolmogorov)發(fā)展而來(lái)。基本邏輯聯(lián)結(jié)詞的BHK 解釋如下所述([8],第9 頁(yè)):

    (H1)A ∧B的一個(gè)證明(proof)通過(guò)呈現(xiàn)A的一個(gè)證明和B的一個(gè)證明而得到。

    (H2)A ∨B的一個(gè)證明通過(guò)呈現(xiàn)A的一個(gè)證明或B的一個(gè)證明而得到,此外規(guī)定:所呈現(xiàn)的證明就作為A ∨B的證明。

    (H3)A →B的一個(gè)證明是一個(gè)構(gòu)造(construction),這個(gè)構(gòu)造使得我們能夠從A的任意證明轉(zhuǎn)換為B的一個(gè)證明。

    (H4) 荒謬(absurdity)⊥(矛盾)沒(méi)有證明。?A的一個(gè)證明是一個(gè)構(gòu)造,這個(gè)構(gòu)造將A的任意假設(shè)的證明轉(zhuǎn)換為矛盾的一個(gè)證明。

    不難發(fā)現(xiàn),BHK 解釋規(guī)定了一個(gè)復(fù)合命題的證明是以何種方式從它的子命題的證明而獲得,不過(guò)其核心在于對(duì)證明和構(gòu)造的理解,如[8]中所言:

    BHK 解釋自身沒(méi)有解釋力(explanatory power):一個(gè)有效的經(jīng)典邏輯模式被視作構(gòu)造地不可接受的,這完全取決于對(duì)“構(gòu)造”“函數(shù)”“運(yùn)算”的解釋。([8],第33 頁(yè))

    在BHK 解釋中,證明和構(gòu)造指的都是心智的構(gòu)造5可稱其為構(gòu)造性證明,它可被理解為直觀的能行(effective)方法。(mental constructions,[6],第87 頁(yè))。這種對(duì)證明和構(gòu)造的理解基于直覺(jué)主義對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)和邏輯關(guān)系的獨(dú)特理解:

    (一)直覺(jué)主義把數(shù)學(xué)理解為心智的構(gòu)造性活動(dòng),這意味著直覺(jué)主義只接受心智可構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象和心智可構(gòu)造的數(shù)學(xué)證明,即:數(shù)學(xué)對(duì)象能夠通過(guò)直觀能行的方法得到,數(shù)學(xué)命題所表達(dá)的內(nèi)容能夠通過(guò)直觀能行的方法直接驗(yàn)證。數(shù)學(xué)定理表達(dá)的是純粹經(jīng)驗(yàn)的事實(shí),數(shù)學(xué)不能建立在公理化基礎(chǔ)之上,直覺(jué)(intuition)就是數(shù)學(xué)可靠性的基礎(chǔ)。直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的代表是選擇序列(choice sequences)理論,利用選擇序列能夠遵循直覺(jué)主義思想構(gòu)造連續(xù)統(tǒng)(continuum),形象地說(shuō),可以利用選擇序列把連續(xù)統(tǒng)“算術(shù)化”,進(jìn)而發(fā)展直覺(jué)主義分析學(xué)。

    (二)數(shù)學(xué)不依賴于語(yǔ)言,語(yǔ)言僅僅是記錄數(shù)學(xué)構(gòu)造的工具,邏輯是利用語(yǔ)言記錄數(shù)學(xué)構(gòu)造所產(chǎn)生的形式規(guī)律,它的有效性自然依賴于數(shù)學(xué)的構(gòu)造性。邏輯可以看作是數(shù)學(xué)的應(yīng)用,如[6]所述:

    邏輯可被視作語(yǔ)言學(xué)的一部分或者關(guān)于世界的哲學(xué)理論,在這兩種理解下它都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。僅僅第三種解釋處于純數(shù)學(xué)討論范圍內(nèi)。邏輯定理是數(shù)學(xué)定理。邏輯不是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),恰恰相反,在概念上它是數(shù)學(xué)的復(fù)雜而精細(xì)的部分。([6],第86-87 頁(yè))

    綜上所述,對(duì)構(gòu)造性證明的要求是BHK 解釋的核心,這是由直覺(jué)主義邏輯依賴于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)所決定的。

    由于對(duì)數(shù)學(xué)的理解不同,導(dǎo)致直覺(jué)主義意義上的“真”有別于經(jīng)典意義上的“真”。經(jīng)典意義下,一個(gè)命題的真獨(dú)立于對(duì)它的證明;但是在直覺(jué)主義看來(lái),一個(gè)數(shù)學(xué)命題被判定為直覺(jué)主義真就意味著這個(gè)命題獲得構(gòu)造性證明。

    例1.簡(jiǎn)單命題“1+12”被判定為直覺(jué)主義真,其構(gòu)造性證明為:我們的心智先構(gòu)造出一個(gè)自然數(shù)1,接著再構(gòu)造出一個(gè)自然數(shù)1,之后把這整個(gè)過(guò)程與對(duì)自然數(shù)2 的構(gòu)造作比較,能夠得出兩者是一樣的。

    例2.蘊(yùn)涵命題“如果π的十進(jìn)制展開(kāi)中出現(xiàn)連續(xù)20 個(gè)7,那么π的十進(jìn)制展開(kāi)中會(huì)出現(xiàn)連續(xù)19 個(gè)7”被判定為直覺(jué)主義真,其構(gòu)造性證明為:假設(shè)a是“π的十進(jìn)制展開(kāi)中出現(xiàn)連續(xù)20 個(gè)7”的任意構(gòu)造性證明,顯然能夠給出一個(gè)構(gòu)造使得從a得到“π的十進(jìn)制展開(kāi)中出現(xiàn)連續(xù)19 個(gè)7”的構(gòu)造性證明。([5],第225 頁(yè))

    基于“直覺(jué)主義知識(shí)是證實(shí)的結(jié)果”和基本邏輯聯(lián)結(jié)詞的BHK 解釋,[1]在構(gòu)建IEL 時(shí)通過(guò)“證實(shí)”概念定義了“命題KA的證明”:KA的一個(gè)證明指的是證實(shí)“A有證明”的確鑿證據(jù),其中對(duì)“A有證明”的證實(shí)無(wú)需包含A的證明。6比如基于零知識(shí)協(xié)議的證實(shí)便是這類證實(shí):零知識(shí)協(xié)議是一類密碼協(xié)議,通常是概率性的,證明者利用這種協(xié)議能夠使得驗(yàn)證者確信一個(gè)給定命題為真,而無(wú)需提供任何額外有用的信息。在此基礎(chǔ)上,反射原則KA →A不被IEL 接受。([1],第273-274 頁(yè))([1],第270 頁(yè))這個(gè)定義是有缺陷的:根據(jù)前面的闡釋,對(duì)構(gòu)造性證明的要求是BHK 解釋的核心,而命題KA的證明并沒(méi)有對(duì)構(gòu)造性證明的要求,這偏離了BHK解釋的初衷。從另一角度來(lái)說(shuō),直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)象都是從自然數(shù)出發(fā)而構(gòu)造性得到的([10],第47-48 頁(yè)),直覺(jué)主義數(shù)學(xué)命題是關(guān)于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)對(duì)象的命題,直覺(jué)主義邏輯依賴于直覺(jué)主義數(shù)學(xué),上述對(duì)“命題KA的證明”的定義超出了直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的考慮范圍,無(wú)法嚴(yán)格遵循BHK 解釋。盡管[1]中對(duì)此作了一定辯護(hù):

    反對(duì)的要點(diǎn)在于BHK 解釋不能容納非數(shù)學(xué)命題。然而這很清楚是錯(cuò)誤的,因?yàn)樵贐HK 解釋的表述中沒(méi)有特別數(shù)學(xué)化的東西,它并未提到數(shù)、函數(shù)、集合、范疇、類型等等。([1],第290 頁(yè))

    但這段辯護(hù)并不成立,因?yàn)樗袯HK 解釋獨(dú)立于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)來(lái)看待,并未抓住“直覺(jué)主義邏輯依賴于直覺(jué)主義數(shù)學(xué)”這點(diǎn)。

    Artemov 在構(gòu)建IEL 時(shí)主張“直覺(jué)主義真蘊(yùn)涵直覺(jué)主義知識(shí)”:從BHK 解釋出發(fā),命題A是直覺(jué)主義真意味著A獲得證明,證明是一種證實(shí),由于直覺(jué)主義知識(shí)是證實(shí)的結(jié)果,因此直覺(jué)主義真蘊(yùn)涵直覺(jué)主義知識(shí),進(jìn)而余反射原則A →KA被IEL 接受。([1],第266-267 頁(yè))但是IEL 所接受的余反射原則A →KA僅僅適用于A是數(shù)學(xué)命題的情況:當(dāng)A是數(shù)學(xué)命題時(shí),A中不含認(rèn)知算子K,對(duì)于任意假設(shè)的A的證明p,由于證明是最嚴(yán)格意義上的證實(shí),因此p可以作為確鑿的證據(jù)證實(shí)“A有證明”,進(jìn)而KA獲得證明;([1],第271 頁(yè))當(dāng)A中包含認(rèn)知算子K時(shí)(不妨令A(yù)為KB),A的真僅僅意味著對(duì)A的證實(shí),并未體現(xiàn)對(duì)構(gòu)造性證明的要求(構(gòu)造性證明一定是證實(shí),而證實(shí)不一定是構(gòu)造性證明),這時(shí)“命題A為真”要弱于“A是直覺(jué)主義真”。同樣的道理,對(duì)于IEL 所接受的直覺(jué)主義反射原則KA →??A來(lái)說(shuō),它也僅僅適用于A是數(shù)學(xué)命題的情況。

    當(dāng)A是不含認(rèn)知算子K的公式時(shí),余反射原則和直覺(jué)主義反射原則可以分別解讀為“直覺(jué)主義真蘊(yùn)涵直覺(jué)主義知識(shí)”以及“直覺(jué)主義知識(shí)蘊(yùn)涵經(jīng)典真”,可合并簡(jiǎn)記為“直覺(jué)主義真直覺(jué)主義知識(shí)經(jīng)典真”。([1],第268 頁(yè))此時(shí)可以對(duì)A作BHK 解釋,但是BHK 解釋無(wú)法擴(kuò)展到含有認(rèn)知算子K的公式上,因?yàn)橐坏┌袯HK 解釋擴(kuò)展到認(rèn)知算子K上,那么就沒(méi)辦法保證對(duì)構(gòu)造性證明的要求。

    綜上所述,IEL 的預(yù)期解釋偏離了BHK 解釋,進(jìn)而構(gòu)建IEL 的預(yù)期目標(biāo)并未達(dá)到。

    3 IEL 的形式化工作

    本節(jié)簡(jiǎn)要回顧IEL 的形式化工作,并在第二節(jié)的討論基礎(chǔ)上重新理解IEL。

    令LK為IEL 的形式語(yǔ)言,LK的初始符號(hào)由以下部分構(gòu)成:

    ? 命題變?cè)簆1,p2,p3,...;

    ? 邏輯聯(lián)結(jié)詞:否定詞?、合取詞∧、析取詞∨和蘊(yùn)含詞→;

    ? 認(rèn)知算子K;

    ? 左、右括號(hào):(和)。

    初始符號(hào)中的四個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞是相互獨(dú)立的,公式的遞歸定義遵循認(rèn)知邏輯的一般定義方式,在公式省略括號(hào)時(shí),邏輯聯(lián)結(jié)詞以及認(rèn)知算子的聯(lián)結(jié)強(qiáng)度遵循認(rèn)知邏輯通常的約定。

    對(duì)IEL 的構(gòu)建可采用[2]中使用的直覺(jué)主義命題邏輯公理系統(tǒng)(記為IPC)為基礎(chǔ)([2],第219-220 頁(yè)),在LK語(yǔ)言下對(duì)IPC 做認(rèn)知擴(kuò)充。在LK語(yǔ)言下,IEL通過(guò)在IPC 基礎(chǔ)上添加如下三條認(rèn)知公理模式而得到([1],第276 頁(yè)):

    ? 分配(distribution)公理模式:K(A →B)→(KA →KB)

    ? 余反射公理模式:A →KA

    ? 直覺(jué)主義反射公理模式:KA →??A

    值得一提的是,[2]對(duì)正規(guī)(normal)直覺(jué)主義模態(tài)邏輯的模型論研究為直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯的模型論研究奠定了技術(shù)性基礎(chǔ)。[2]對(duì)含有模態(tài)算子□的正規(guī)直覺(jué)主義模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)HK□做了研究,給出了相應(yīng)的克里普克語(yǔ)義,并保持了直覺(jué)主義命題邏輯的基本模型論性質(zhì)。

    在HK□的克里普克語(yǔ)義中([2],第222 頁(yè)),H□框架(frame)是三元有序組〈W,RI,RM〉,其中W是非空集合,RI是W上滿足自反性和傳遞性的二元關(guān)系,RM是W上的另一個(gè)二元關(guān)系,RM和RI要滿足條件:RIRM ?RMRI(RIRM表示集合{〈x,y〉 |存在z,使得xRIz并且zRMy,x,y,z ∈W},集合RMRI的定義類同)。

    單調(diào)性(monotonicity)作為直覺(jué)主義邏輯的重要模型論性質(zhì),不僅在H□框架下的模型依舊保持著,而且[2]中證明了:RM和RI滿足條件RIRM ?RMRI是H□框架下的模型滿足單調(diào)性的充分必要條件([2],第223 頁(yè)),這個(gè)結(jié)論為構(gòu)造不同的直覺(jué)主義認(rèn)知邏輯形式系統(tǒng)的克里普克語(yǔ)義提供了幫助。

    Artemov 中構(gòu)造了IEL 的克里普克語(yǔ)義并給出了IEL 模型的認(rèn)識(shí)論解釋([1],第279-280 頁(yè)):

    (一)首先,IEL 模型指的是四元有序組〈W,R,E,V〉,其中〈W,R,V〉是IPC的克里普克模型,即:〈W,R〉是非空偏序(partial order),W被稱為結(jié)點(diǎn)集,其中的元素被稱為結(jié)點(diǎn),W上的二元關(guān)系R被稱為W 上的“認(rèn)知”關(guān)系,?是命題變?cè)赪上的滿足單調(diào)性的賦值(evaluation)7對(duì)于任意結(jié)點(diǎn)w 和任意命題變?cè)猵 來(lái)說(shuō),w ?p 也被稱為“w 力迫(forces)p”。。其次,W上的二元關(guān)系E被稱為W上的“知識(shí)”關(guān)系,E滿足:(1)對(duì)于任意的結(jié)點(diǎn)u,E(u)?R(u)成立8E(x)表示{x | wEx,x ∈W},R(x)表示{x | wRx,x ∈W}。;(2) 如果結(jié)點(diǎn)u和v滿足關(guān)系uRv,那么E(v)?E(u) 成立;(3) 對(duì)任意的結(jié)點(diǎn)u,E(u)。最后,將賦值?從命題變?cè)ㄒ赃f歸定義的方式)擴(kuò)展到合取式A ∧B、析取式A ∨B、蘊(yùn)涵式A →B、否定式?A和認(rèn)知公式KA上,其中對(duì)KA的擴(kuò)展定義為:令u是任意的結(jié)點(diǎn),u?A當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的v ∈E(u)都有v?A成立。

    在直覺(jué)主義命題邏輯克里普克模型的認(rèn)識(shí)論解釋9直覺(jué)主義命題邏輯克里普克模型的認(rèn)識(shí)論解釋參見(jiàn)[10]中第69-70 頁(yè)?;A(chǔ)上,IEL 模型的認(rèn)識(shí)論解釋為:W和R分別被理解為時(shí)間點(diǎn)組成的集合以及時(shí)間點(diǎn)的先后關(guān)系,對(duì)任意時(shí)間點(diǎn)w和v,wRv意為v不先于w。對(duì)任意時(shí)間點(diǎn)u,E(u)被理解為u 的“檢查”(audit)集(其中的元素可被稱為“檢查點(diǎn)”):在“檢查”集的每個(gè)檢查點(diǎn)對(duì)命題A的證實(shí)都可能發(fā)生。E滿足的條件(1)被理解為:每個(gè)時(shí)間點(diǎn)u的檢查點(diǎn)v都不先于u,這意味著每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的檢查點(diǎn)都只能是該時(shí)間點(diǎn)或該時(shí)間點(diǎn)之后的時(shí)間點(diǎn)。E滿足的條件(2)被理解為:對(duì)每個(gè)不先于時(shí)間點(diǎn)u的時(shí)間點(diǎn)v來(lái)說(shuō),v的檢查點(diǎn)都是u的檢查點(diǎn),這意味著隨著時(shí)間的流逝,每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的檢查點(diǎn)數(shù)是不會(huì)增加的。E滿足的條件(3)被理解為:每個(gè)時(shí)間點(diǎn)u都有檢查點(diǎn)。最后,KA的賦值擴(kuò)展定義被理解為:在時(shí)間點(diǎn)u確認(rèn)KA為真(確認(rèn)A是直覺(jué)主義知識(shí))當(dāng)且僅當(dāng)在u的“檢查”集中的每個(gè)檢查點(diǎn)都確認(rèn)命題A為真。

    (二)“IEL 有效”的概念被定義為:令A(yù)是任意的LK公式,對(duì)任意的IEL模型M來(lái)說(shuō),如果對(duì)于任意的結(jié)點(diǎn)w,都有w?A,那么稱A是模型M有效的;如果對(duì)任意的IEL 模型M都有:A是模型M有效的,那么稱A是IEL 有效的。

    由于R是偏序關(guān)系,因此它自然滿足自反性和傳遞性,以下證明:E和R滿足條件RE ?ER,進(jìn)而可知:若將IEL 模型中的K替換為□,并將R、E分別替換為RI、RM,就成了一個(gè)H□模型。

    E和R滿足條件RE ?ER的證明:對(duì)任意的結(jié)點(diǎn)w和v,假設(shè)wREv成立,那么存在結(jié)點(diǎn)t使得wRt并且tEv。根據(jù)E滿足的條件(2)可知:由wRt成立和tEv成立可得wEv成立。再根據(jù)R的自反性可知vRv成立,進(jìn)而wERv成立。

    在IEL 的克里普克語(yǔ)義基礎(chǔ)上,直覺(jué)主義命題邏輯的基本模型論性質(zhì)單調(diào)性、可靠性、完全性和析取性質(zhì)(disjunction property)在IEL 中依然保持著。([1],第280-281、283 頁(yè))

    IEL 有如下一些重要內(nèi)定理,其中A是任意的LK公式,比如([1],第276-277、第282 頁(yè)):

    ? 定理一“知識(shí)的真值條件”?K(A ∧?A)

    ? 定理二“知識(shí)的真值條件”?(KA ∧?A)

    ? 定理三“知識(shí)的真值條件”?A →?KA

    ? 定理四K?A →?A

    另外,利用IEL 模型能夠證明:K(A ∨B)→(KA ∨KB)和KA →A都不是IEL 的內(nèi)定理。([1],第281-282 頁(yè))

    根據(jù)第二節(jié)的討論,在BHK 解釋基礎(chǔ)上,IEL 預(yù)期解釋中的“命題KA的證明”定義需要修改為:當(dāng)A是數(shù)學(xué)命題時(shí),KA的一個(gè)“證明”指的是證實(shí)“A有構(gòu)造性證明”的確鑿證據(jù),其中對(duì)“A有構(gòu)造性證明”的證實(shí)無(wú)需包含A的構(gòu)造性證明,進(jìn)而KA被判定為真意味著“A是直覺(jué)主義真”獲得證實(shí)。盡管IEL預(yù)期解釋借助了BHK 解釋的框架,由于KA的“證明”沒(méi)有對(duì)構(gòu)造性證明的要求,因此只有不含認(rèn)知算子K的IEL 公式才能在直觀上遵循BHK 解釋;此外有些IEL 公式也無(wú)法遵循IEL 的預(yù)期解釋,比如KKp1→KKKp1。把IEL 系統(tǒng)三個(gè)公理模式以及定理一到定理四中的公式A和B都限定在不含認(rèn)知算子K的情況時(shí),它們?cè)贗EL 的預(yù)期解釋下普遍成立。IEL 系統(tǒng)形式語(yǔ)義的建立能夠幫助證明一些公式不是IEL 系統(tǒng)的內(nèi)定理,比如K(A ∨B)→(KA ∨KB)和KA →A;當(dāng)其中的A和B不含認(rèn)知算子K時(shí),它們?cè)贗EL 的預(yù)期解釋下不是普遍成立的。

    4 KA 的新解讀及不同程度的真

    在IEL 的預(yù)期解釋中,當(dāng)A是不含認(rèn)知算子K的數(shù)學(xué)命題時(shí),除了可以把KA解讀為“A是直覺(jué)主義知識(shí)”或“直覺(jué)主義知識(shí)A獲得證實(shí)”以外,還可以將其理解為“知道‘A是直覺(jué)主義真(A獲得構(gòu)造性證明)或A是經(jīng)典真’”,其中聯(lián)結(jié)“A是直覺(jué)主義真”和“A是經(jīng)典真”的析取詞“或”是經(jīng)典意義下的析取10這個(gè)析取是元語(yǔ)言,而非IEL 的形式語(yǔ)言。。值得注意的是,這種新解讀已經(jīng)不再堅(jiān)持直覺(jué)主義立場(chǎng)了。

    在這樣的解讀下,“KA為真”(即“‘知道A’為真”)也是一種介于直覺(jué)主義真和經(jīng)典真之間的真,并且聯(lián)系了直覺(jué)主義真和經(jīng)典真,即滿足如下關(guān)系:

    A是直覺(jué)主義真知道“A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真”(后面對(duì)KA的這種解讀中,引號(hào)將省略)。A是經(jīng)典真。

    詳細(xì)來(lái)說(shuō),如果A是直覺(jué)主義真,那么意味著A獲得了構(gòu)造性證明,由A的構(gòu)造性證明可以知道A是直覺(jué)主義真,進(jìn)而知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真;如果知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么一定知道A是經(jīng)典真(A是直覺(jué)主義真A是經(jīng)典真),因此A是經(jīng)典真(如果A為假,那么就不可能知道A為真)。上述關(guān)系進(jìn)一步可以擴(kuò)展為:

    A是直覺(jué)主義真知道A是直覺(jué)主義真知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真知道A是經(jīng)典真A是經(jīng)典真。

    再反過(guò)來(lái)考慮上述關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn),如果A是經(jīng)典真,那么不一定知道A是經(jīng)典真;如果知道A是經(jīng)典真,那么一定知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真;如果知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么不一定知道A是直覺(jué)主義真;如果知道A是直覺(jué)主義真,那么A是直覺(jué)主義真。最后產(chǎn)生如下關(guān)系:

    A是直覺(jué)主義真??知道A是直覺(jué)主義真知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真??知道A是經(jīng)典真A是經(jīng)典真。從上述關(guān)系可知,在經(jīng)典視角下,直覺(jué)主義真和經(jīng)典真之間產(chǎn)生了三種不同程度的真:

    強(qiáng)“A是直覺(jué)主義真”“知道A是直覺(jué)主義真”

    中“知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真”“知道A是經(jīng)典真”

    弱“A是經(jīng)典真”

    當(dāng)KA被解讀為“知道A是直覺(jué)主義真”時(shí),根據(jù)上述關(guān)系,直覺(jué)主義知識(shí)坍塌為直覺(jué)主義真。以下我們僅考慮在KA被解讀為“知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真”和“知道A是經(jīng)典真”時(shí),如何重新理解IEL 系統(tǒng)的一些重要內(nèi)定理。需要注意的是,以下公式A和B都不含認(rèn)知算子,它們被理解為任意的數(shù)學(xué)命題,并遵循BHK 解釋。

    4.1 KA 被解讀為“知道A 是直覺(jué)主義真或A 是經(jīng)典真”的情況

    “余反射公理模式”A →KA被解讀為:如果A是直覺(jué)主義真,那么知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)A和KA的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。根據(jù)不同程度真的關(guān)系,A →KA在這種解讀下是普遍成立的。

    “直覺(jué)主義反射公理模式”KA →??A被解讀為:如果知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么A不可能沒(méi)有構(gòu)造性證明。其中聯(lián)結(jié)KA和??A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。KA →??A在這種解讀下是普遍成立的:假設(shè)知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么A是經(jīng)典真,進(jìn)而A可能有構(gòu)造性證明,A沒(méi)有構(gòu)造性證明就是不可能的。

    “分配公理模式”K(A →B)→(KA →KB)被解讀為:如果知道A →B是直覺(jué)主義真或A →B是經(jīng)典真,那么若知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,則知道B是直覺(jué)主義真或B是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A →B)和(KA →KB)的蘊(yùn)涵詞以及聯(lián)結(jié)KA和KB的蘊(yùn)含詞都是經(jīng)典蘊(yùn)涵。K(A →B)→(KA →KB)在這種解讀下是普遍成立的:假設(shè)知道A →B是直覺(jué)主義真或A →B是經(jīng)典真,那么知道A →B是經(jīng)典真;再假設(shè)知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,同理得到知道A是經(jīng)典真,進(jìn)而知道B是經(jīng)典真,因此知道B是直覺(jué)主義真或B是經(jīng)典真。

    “知識(shí)的真值條件”?K(A ∧?A)被解讀為:不知道矛盾是直覺(jué)主義真或矛盾是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A∧?A)的否定詞是經(jīng)典否定。在這種解讀下?K(A∧?A)是普遍成立的:假設(shè)知道矛盾是直覺(jué)主義或矛盾是經(jīng)典真,那么矛盾就是經(jīng)典真,而矛盾恒假,所以假設(shè)不成立。

    “知識(shí)的真值條件”?(KA ∧?A)被解讀為:并非不僅知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,而且?A是直覺(jué)主義真。其中聯(lián)結(jié)(KA ∧?A)的否定詞是經(jīng)典否定,聯(lián)結(jié)KA和?A的合取詞是經(jīng)典合取。在這種解讀下?(KA ∧?A)是普遍成立的:假設(shè)知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,而且?A是直覺(jué)主義真,那么A是經(jīng)典真,進(jìn)而A可能有構(gòu)造性證明,同時(shí)A沒(méi)有構(gòu)造性證明,所以假設(shè)不成立。

    “知識(shí)的真值條件”?A →?KA被解讀為:如果A沒(méi)有構(gòu)造性證明,那么不知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)?A和?KA的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵,聯(lián)結(jié)KA的否定詞是經(jīng)典否定。在這種解讀下?A →?KA是普遍成立的:假設(shè)A沒(méi)有構(gòu)造性證明,如果知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么A就是經(jīng)典真,進(jìn)而A可能有構(gòu)造性證明,因此不知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真。

    定理四K?A →?A被解讀為:如果知道?A是直覺(jué)主義真或?A是經(jīng)典真,那么A沒(méi)有構(gòu)造性證明。其中聯(lián)結(jié)K?A和?A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。在這種解讀下K?A →?A是普遍成立的:假設(shè)知道?A是直覺(jué)主義真或?A是經(jīng)典真,那么A沒(méi)有構(gòu)造性證明或A為假,進(jìn)而A沒(méi)有構(gòu)造性證明。

    最后考察對(duì)K(A ∨B)→(KA ∨KB)和KA →A的理解。

    K(A ∨B)→(KA ∨KB)被解讀為:如果知道A ∨B是直覺(jué)主義真或A ∨B是經(jīng)典真,那么要么知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,要么知道B是直覺(jué)主義真或B是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A ∨B)和(KA ∨KB)的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵,聯(lián)結(jié)KA和KB的析取詞是經(jīng)典析取。在這種解讀下K(A ∨B)→(KA ∨KB)不是普遍成立的:令A(yù)是黎曼猜想(Riemann hypothesis),B為?A,即可得到反例。

    KA →A被解讀為:如果知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,那么A就是直覺(jué)主義真。其中聯(lián)結(jié)KA和A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。在這種解讀下KA →A不是普遍成立的:令A(yù)是關(guān)于正整數(shù)的命題“如果m和n是任意正整數(shù),那么存在正整數(shù)k使得k×m ≥n”11這個(gè)命題也被稱為正整數(shù)的阿基米德性質(zhì)(Archimedean property)。,使用正整數(shù)的最小自然數(shù)原理,通過(guò)反證法可以證明A成立(A是經(jīng)典真),進(jìn)而知道A是經(jīng)典真,因此也知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真,但是并未給出A的構(gòu)造性證明。

    4.2 KA 被解讀為“知道A 是經(jīng)典真”的情況

    “余反射公理模式”A →KA被解讀為:如果A是直覺(jué)主義真,那么知道A是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)A和KA的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。根據(jù)不同程度真的關(guān)系,A →KA在這種解讀下是普遍成立的。

    “直覺(jué)主義反射公理模式”KA →??A被解讀為:如果知道A是經(jīng)典真,那么A不可能沒(méi)有構(gòu)造性證明。其中聯(lián)結(jié)KA和??A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。KA →??A在這種解讀下是普遍成立的:假設(shè)知道A是經(jīng)典真,那么A是經(jīng)典真,進(jìn)而A可能有構(gòu)造性證明,A沒(méi)有構(gòu)造性證明就是不可能的。

    “分配公理模式”K(A →B)→(KA →KB)被解讀為:如果知道A →B是經(jīng)典真,那么若知道A是經(jīng)典真,則知道B是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A →B)和(KA →KB)的蘊(yùn)涵詞以及聯(lián)結(jié)KA和KB的蘊(yùn)含詞都是經(jīng)典蘊(yùn)涵。容易證明K(A →B)→(KA →KB)在這種解讀下是普遍成立的。

    “知識(shí)的真值條件”?K(A ∧?A)被解讀為:不知道矛盾是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A ∧?A)的否定詞是經(jīng)典否定。容易證明在這種解讀下?K(A ∧?A)是普遍成立的。

    “知識(shí)的真值條件”?(KA ∧?A)被解讀為:并非不僅知道A是經(jīng)典真,而且?A是直覺(jué)主義真。其中聯(lián)結(jié)(KA ∧?A)的否定詞是經(jīng)典否定,聯(lián)結(jié)KA和?A的合取詞是經(jīng)典合取。在這種解讀下?(KA ∧?A)是普遍成立的:假設(shè)知道A是經(jīng)典真,而且?A是直覺(jué)主義真,那么A可能有構(gòu)造性證明,同時(shí)A沒(méi)有構(gòu)造性證明,所以假設(shè)不成立。

    “知識(shí)的真值條件”?A →?KA被解讀為:如果A沒(méi)有構(gòu)造性證明,那么不知道A是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)?A和?KA的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵,聯(lián)結(jié)KA的否定詞是經(jīng)典否定。在這種解讀下?A →?KA是普遍成立的:假設(shè)A沒(méi)有構(gòu)造性證明,如果知道A是經(jīng)典真,那么A就是經(jīng)典真,進(jìn)而A可能有構(gòu)造性證明,因此不知道A是經(jīng)典真。

    定理四K?A →?A被解讀為:如果知道?A是經(jīng)典真,那么A沒(méi)有構(gòu)造性證明。其中聯(lián)結(jié)K?A和?A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。在這種解讀下K?A →?A是普遍成立的:假設(shè)知道?A是經(jīng)典真,那么A為假,進(jìn)而A沒(méi)有構(gòu)造性證明。

    最后考察對(duì)K(A ∨B)→(KA ∨KB)和KA →A的理解。

    K(A∨B)→(KA∨KB)被解讀為:如果知道A∨B是經(jīng)典真,那么要么知道A是經(jīng)典真,要么知道B是經(jīng)典真。其中聯(lián)結(jié)K(A ∨B)和(KA ∨KB)的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵,聯(lián)結(jié)KA和KB的析取詞是經(jīng)典析取。在這種解讀下K(A ∨B)→(KA ∨KB)不是普遍成立的:參考KA被解讀為“知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真”的情況即可。

    KA →A被解讀為:如果知道A是經(jīng)典真,那么A就是直覺(jué)主義真。其中聯(lián)結(jié)KA和A的蘊(yùn)涵詞是經(jīng)典蘊(yùn)涵。在這種解讀下KA →A不是普遍成立的:參考KA被解讀為“知道A是直覺(jué)主義真或A是經(jīng)典真”的情況即可。

    5 結(jié)語(yǔ)

    本文論證了IEL 的預(yù)期解釋與BHK 解釋的偏離在于缺失了對(duì)構(gòu)造性證明的要求,IEL 是對(duì)直覺(jué)主義命題邏輯的認(rèn)知擴(kuò)充,對(duì)于含有認(rèn)知算子K的公式來(lái)說(shuō),無(wú)法再?gòu)闹庇^上遵循直覺(jué)主義邏輯的BHK 解釋。相比而言,如果對(duì)直覺(jué)主義邏輯做一定限制(比如直覺(jué)主義相干邏輯),那么所得到的直覺(jué)主義邏輯的子系統(tǒng)自然遵循著直覺(jué)主義邏輯的BHK 解釋。對(duì)IEL 預(yù)期解釋的修正還能夠?yàn)镮EL 系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題帶來(lái)啟示。首先,IPC 的內(nèi)定理刻畫(huà)了直覺(jué)主義真的命題邏輯規(guī)律;作為IPC 的擴(kuò)充系統(tǒng),IEL 還刻畫(huà)了兼容直覺(jué)主義真和直覺(jué)主義知識(shí)的命題邏輯規(guī)律。再考慮中間邏輯12中間邏輯也被稱作超直覺(jué)主義邏輯(superintuitionistic logics)。(intermediate logics)系統(tǒng),中間邏輯系統(tǒng)為數(shù)眾多,存在2?0(?0表示最小無(wú)窮基數(shù))個(gè)中間邏輯([4],第59 頁(yè)),這些中間邏輯系統(tǒng)都是對(duì)直覺(jué)主義命題邏輯公理系統(tǒng)的擴(kuò)充,并且是經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)的子系統(tǒng)。最后,將上述兩種關(guān)系作類比可以提出猜測(cè):IEL 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于某個(gè)中間邏輯系統(tǒng)。哥德?tīng)枺↘.G?del)曾給出直覺(jué)主義命題邏輯系統(tǒng)IPC 和經(jīng)典模態(tài)邏輯系統(tǒng)S4 的對(duì)應(yīng)關(guān)系([3],第130 頁(yè)):先根據(jù)一定規(guī)則(以遞歸定義的方式)把IPC的公式轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的S4 的公式:

    在此基礎(chǔ)上,A是IPC 系統(tǒng)的內(nèi)定理當(dāng)且僅當(dāng)At是S4 系統(tǒng)的內(nèi)定理。對(duì)這個(gè)結(jié)論做擴(kuò)展可以得到中間邏輯系統(tǒng)KC、LC 與S4 的擴(kuò)充系統(tǒng)S4.2、S4.3 的對(duì)應(yīng)如下([3],第136 頁(yè)):

    ?A是KC 系統(tǒng)的內(nèi)定理當(dāng)且僅當(dāng)At是S4.2 系統(tǒng)的內(nèi)定理。

    ?A是LC 系統(tǒng)的內(nèi)定理當(dāng)且僅當(dāng)At是S4.3 系統(tǒng)的內(nèi)定理。

    與之類似,上述猜測(cè)可以表述如下:

    先根據(jù)一定的規(guī)則R把IPC 的公式轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的IEL 的公式,令Γ 是某個(gè)中間邏輯系統(tǒng),那么A是Γ 系統(tǒng)的內(nèi)定理當(dāng)且僅當(dāng)Att是IEL 的內(nèi)定理,其中Att是通過(guò)R從Γ 公式A轉(zhuǎn)換所得的IEL 公式。

    上述猜測(cè)是否正確留給進(jìn)一步的研究。

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