關(guān)于心靈、機(jī)器與真理的模態(tài)論證

薄謀

哥德?tīng)枺℅.G?del）認(rèn)為從他的不完全性定理出發(fā)，人們可以推斷或者“心靈不能被機(jī)械化”成立，或者“存在不可判定的數(shù)學(xué)命題”成立。（[7]）霍斯滕（L.Hosten）等人把該結(jié)果稱(chēng)為“哥德?tīng)栁鋈∈健薄＃╗9]）彭羅斯（R.Penrose）認(rèn)為從哥德?tīng)柌煌耆远ɡ沓霭l(fā)，人們可以推斷“心靈不能被機(jī)械化”成立。（[18,19]）科爾納（P.Koellner）認(rèn)為不管是“心靈不能被機(jī)械化”還是“存在不可判定的數(shù)學(xué)命題”都是不可判定的。（[10,12,13]）斯特恩（J.Stern）選擇支持彭羅斯，但他要接受科爾納的挑戰(zhàn)。我們把斯特恩的論證分為第一次論證和第二次論證。（[28,29]）不管是第一次論證還是第二次論證，斯特恩的結(jié)論都支持彭羅斯的論斷?？茽柤{表明斯特恩第一次論證不成立。（[11]）在科爾納的啟發(fā)下，我們表明斯特恩第二次論證不成立。反思科爾納和斯特恩兩人的論證，我們的結(jié)論是在無(wú)法建立起意識(shí)科學(xué)的情況下，人們無(wú)法捕捉到絕對(duì)可證明性的真正含義。

1 斯特恩第一次論證反機(jī)械主義論題

斯特恩既支持哥德?tīng)柕挠^點(diǎn)，又支持彭羅斯等人的觀點(diǎn)。他采取的策略如下：首先，形式化機(jī)械主義；其次，解決語(yǔ)義和內(nèi)涵悖論。在此基礎(chǔ)上，斯特恩嘗試表明心靈不是機(jī)器的論題。斯特恩把哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}轉(zhuǎn)化為條件句：如果心靈是機(jī)器，那么存在人類(lèi)心靈既不能證明為真又不能證明為假的語(yǔ)句。換句話說(shuō)，如果人類(lèi)心靈是機(jī)器，那么存在絕對(duì)不可判定的語(yǔ)句?？茽柤{表明從哥德?tīng)柌煌耆远ɡ沓霭l(fā)，人們確實(shí)能得到哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}，但無(wú)論如何得不到第一個(gè)析取支。彭羅斯特別重視絕對(duì)可證明性概念?？茽柤{把可證明性分為相對(duì)可證明性與絕對(duì)可證明性。絕對(duì)可證明性表達(dá)的正是人類(lèi)心靈產(chǎn)生數(shù)學(xué)定理的過(guò)程。

由此，斯特恩把心靈是否是機(jī)器的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為絕對(duì)可證明語(yǔ)句能否由能行算法生成的問(wèn)題。彭羅斯的新論證似乎找到代表絕對(duì)可證明性的可行性假設(shè)，不過(guò)科爾納表明這些假設(shè)是聯(lián)合不協(xié)調(diào)的（jointly inconsistent），它們會(huì)導(dǎo)致內(nèi)涵悖論。斯特恩的內(nèi)涵悖論解決方案的特點(diǎn)在于，首先把內(nèi)涵悖論同語(yǔ)義悖論聯(lián)系起來(lái)，其次假設(shè)真悖論是所有這些悖論的來(lái)源。由此，斯特恩認(rèn)為選擇哪種真理論至關(guān)重要。他選擇的真理論是克里普克-費(fèi)弗曼（Kripke-Feferman）真理論，也被稱(chēng)為費(fèi)弗曼-莫德林（Feferman-Maudlin）真理論。（[3,15]）斯特恩認(rèn)為，如果克里普克-費(fèi)弗曼真理論是真悖論的解決方案，那么在形式化心靈不是機(jī)器的論題的前提下，人們就能證明該論題成立。（[29]）

根據(jù)麥希爾（J.Myhill）和蒙塔古（R.Montague）的結(jié)果，如果人們把模態(tài)概念和內(nèi)涵概念當(dāng)作謂詞處理，那么就會(huì)出現(xiàn)悖論。（[16,17]）如果人們把絕對(duì)可證明性概念當(dāng)作謂詞處理，那么也會(huì)出現(xiàn)悖論。如果人們用語(yǔ)句謂詞K形式化絕對(duì)可證明性的兩個(gè)構(gòu)成性原則，那么它們是聯(lián)合不協(xié)調(diào)的。它們分別是隱真原則和必然原則。前者說(shuō)的是如果，那么φ。后者說(shuō)的是如果φ是定理，那么是定理。導(dǎo)致悖論的原因在于兩條原則隱性地假設(shè)素樸真謂詞。為解決悖論人們需要顯性地引入真謂詞。人們需要用非素樸真謂詞替換素樸真謂詞，以便φ和不再互換。1真原則說(shuō)的就是，如果某個(gè)哥德?tīng)栒Z(yǔ)句是絕對(duì)可證明的，那么它是真的。

對(duì)兩條原則改造的結(jié)果就是兩條新原則：首先是顯真原則，說(shuō)的是對(duì)所有語(yǔ)句而言，如果某個(gè)語(yǔ)句是絕對(duì)可證明的，那么它是真的；其次是真必然原則，說(shuō)的是如果是定理，那么也是定理。悖論是否出現(xiàn)僅僅取決于人們采用何種真理論。斯特恩認(rèn)為，如果人們采用的真理論是協(xié)調(diào)的，那么絕對(duì)證真理論也是協(xié)調(diào)的，不會(huì)再出現(xiàn)內(nèi)涵悖論。我們把由此產(chǎn)生的策略稱(chēng)為內(nèi)涵真策略：第一種策略是科爾納策略；第二種策略是斯特恩策略。他們的共同點(diǎn)在于通過(guò)把內(nèi)涵概念與非素樸真概念聯(lián)系起來(lái)，從而解決內(nèi)涵悖論。

科爾納把真理論分為類(lèi)型化（typed）真理論與免類(lèi)型（type-free）真理論，與之對(duì)應(yīng)的是，斯特恩把真理論分為素樸真理論與非素樸真理論。科爾納使用內(nèi)涵真策略有兩個(gè)目的：首先解決內(nèi)涵悖論；其次判定反機(jī)械主義論題是否有效?？茽柤{表明，如果人們采用費(fèi)弗曼的確定真理論，那么反機(jī)械主義論題將不會(huì)取得成功。這是因?yàn)闄C(jī)械主義論題與確定真理論是協(xié)調(diào)的?？茽柤{實(shí)際上表明機(jī)械主義論題是獨(dú)立的，說(shuō)的是人們既不能證明它為真，又不能證明它為假。

在科爾納的啟發(fā)下，斯特恩使用克里普克-費(fèi)弗曼真理論替代費(fèi)弗曼的確定真理論，以檢驗(yàn)反機(jī)械主義論題是否成立。斯特恩采用克里普克-費(fèi)弗曼真理論中的兩條原則：首先是真謂詞析取分配原則；其次是真消除原則。斯特恩把通過(guò)顯真原則、真謂詞析取分配原則和真消除原則擴(kuò)張皮亞諾算術(shù)的理論，稱(chēng)為絕對(duì)證真理論。2我們把斯特恩的“真與絕對(duì)可證明性理論”簡(jiǎn)稱(chēng)為“絕對(duì)證真理論”，其他人的理論繼續(xù)稱(chēng)為“真與絕對(duì)可證明性理論”。也就是說(shuō)，絕對(duì)證真理論是由皮亞諾算術(shù)、顯真原則、真謂詞析取分配原則和真消除原則構(gòu)成的。絕對(duì)證真理論的優(yōu)勢(shì)在于它是協(xié)調(diào)的。人們能從克里普克-費(fèi)弗曼真理論的協(xié)調(diào)性，推出絕對(duì)證真理論的協(xié)調(diào)性。（[29]，第84 頁(yè)）

我們來(lái)看機(jī)械主義論題經(jīng)歷的演變。首先，在盧卡斯-彭羅斯論證框架下，機(jī)械主義論題說(shuō)的是，理想化人類(lèi)心靈能證明的數(shù)學(xué)定理是由能行程序生成的。其次，如果人們用“圖靈機(jī)”替換“機(jī)器”，那么機(jī)械主義論題說(shuō)的是，理想化人類(lèi)心靈能產(chǎn)生的定理是圖靈機(jī)的輸出。再次，如果人們啟用絕對(duì)可證明性概念，機(jī)械主義論題說(shuō)的是人們能遞歸枚舉絕對(duì)可證明語(yǔ)句集。換句話說(shuō)，存在能證明所有絕對(duì)可證明語(yǔ)句的顯性公理與規(guī)則系統(tǒng)。反機(jī)械主義論題說(shuō)的是，不存在能證明所有絕對(duì)可證明語(yǔ)句的顯性公理與規(guī)則系統(tǒng)。

最后，系統(tǒng)是由邏輯定律的地位決定的。斯特恩把自己的立場(chǎng)稱(chēng)為正統(tǒng)邏輯，說(shuō)的是如果人們采用經(jīng)典邏輯，那么所有經(jīng)典邏輯真在選定系統(tǒng)中都是可證明的，不管它是何種系統(tǒng)。斯特恩把科爾納的立場(chǎng)稱(chēng)為非正統(tǒng)邏輯，說(shuō)的是邏輯沒(méi)有特殊地位，人們不能假設(shè)某一門(mén)特殊邏輯的邏輯真在每個(gè)形式系統(tǒng)中是可證明的。（[29]，第84-85 頁(yè)）斯特恩選用正統(tǒng)立場(chǎng)且把經(jīng)典邏輯當(dāng)作他的邏輯。由此，機(jī)械主義論題說(shuō)的是，人們能在經(jīng)典邏輯中從遞歸語(yǔ)句集出發(fā)證明絕對(duì)可證明語(yǔ)句。

我們來(lái)看斯特恩的句法規(guī)定。他使用K表示絕對(duì)可證明性，并且使用Σ 表示理論T的遞歸公理集，同時(shí)使用σ表示Σ 的自然表示，而且使用Prσ表示T的自然可證明性謂詞。斯特恩把機(jī)械主義論題表示為?σ?x(Kx ?Prσ(x))，說(shuō)的是所有絕對(duì)可證明語(yǔ)句都是遞歸可枚舉的。他把反機(jī)械主義論題表示為??σ?x(Kx ?Prσ(x))，說(shuō)的是并非所有絕對(duì)可證明語(yǔ)句都是遞歸可枚舉的。

斯特恩使用歸謬法證明反機(jī)械主義論題。他首先假設(shè)?x(Kx ?Prσ(x))，其次從假設(shè)出發(fā)推出矛盾。3證明：使用反證法。假設(shè)?x(Kx ?P rσ(x))。根據(jù)顯真原則，人們有?y(P rσ(x) →T(y))。根據(jù)全稱(chēng)例化，人們有P rσ(λ ∨?λ) →T(λ ∨?λ)。由于λ ∨?λ 是重言式，人們有P rσ(λ ∨?λ)。使用假言推理，人們有T(λ ∨?λ)。根據(jù)真謂詞析取分配原則，人們有Tλ∨T?λ。根據(jù)說(shuō)謊者語(yǔ)句，左析取支等價(jià)于?λ。根據(jù)真消除原則，右析取支也等價(jià)于?λ。根據(jù)說(shuō)謊者語(yǔ)句，人們有Tλ。根據(jù)真消除原則人們有λ。與?λ 矛盾！然而，在絕對(duì)證真理論中，人們不能表明機(jī)械主義論題是假的，也就是說(shuō)，人們無(wú)法表明反機(jī)械主義論題是真的。根據(jù)克里普克，機(jī)械主義論題是無(wú)根語(yǔ)句（an ungrounded sentence，[14]）。既非機(jī)械主義論題，又非反機(jī)械主義論題，在絕對(duì)證真理論中能被證明為真。這種情況表明，在克里普克-費(fèi)弗曼真理論中，可證明性與真兩者相分離，實(shí)際上可證明性遠(yuǎn)超真。

2 科爾納表明斯特恩第一次論證無(wú)效

科爾納認(rèn)為斯特恩的論證無(wú)效。他的基本判斷是，從哥德?tīng)査伎挤礄C(jī)械主義論題開(kāi)始，歷經(jīng)長(zhǎng)時(shí)期的發(fā)展，人們不可能如此輕易地證出難度如此大的問(wèn)題。事實(shí)上科爾納對(duì)斯特恩的反駁有效?？茽柤{也承認(rèn)斯特恩對(duì)能否解決該問(wèn)題持謹(jǐn)慎態(tài)度?？茽柤{曾經(jīng)證明在費(fèi)弗曼的確定真理論下彭羅斯的新論證無(wú)效。（[10,13]）換句話說(shuō)，在確定真理論下，機(jī)械主義論題有效，而反機(jī)械主義論題無(wú)效?？茽柤{對(duì)反機(jī)械主義者提出的挑戰(zhàn)在于，為人們能證明反機(jī)械主義論題，找到可行的真與絕對(duì)可證明免類(lèi)型理論。（[11]）斯特恩持反機(jī)械主義立場(chǎng)，他接受了科爾納的挑戰(zhàn)。斯特恩論證是盧卡斯-彭羅斯論證的延續(xù)，我們可以稱(chēng)之為盧卡斯-彭羅斯-斯特恩論證。

為了得到同科爾納相反的結(jié)論，斯特恩需要對(duì)科爾納論證進(jìn)行改造。他的改造分兩步進(jìn)行：首先，他用克里普克-費(fèi)弗曼真理論取代確定真理論；其次，他用新反機(jī)械主義論題取代科爾納的舊反機(jī)械主義論題?？茽柤{認(rèn)為斯特恩的形式論證是正確的。問(wèn)題可能出在兩個(gè)地方。科爾納的分析如下：首先，他認(rèn)為用一種免類(lèi)型真理論取代另一種免類(lèi)型真理論，不會(huì)引起麻煩；其次，他認(rèn)為斯特恩的問(wèn)題出在用新反機(jī)械主義論題取代舊反機(jī)械主義論題。（[11]）

關(guān)于第一點(diǎn)，科爾納和斯特恩都注意到人們不能有K(λ ∨?λ)，因?yàn)橛纱巳藗儠?huì)推出T(λ ∨?λ)，這說(shuō)的是不確定語(yǔ)句是真的，會(huì)導(dǎo)致矛盾。兩人的解決辦法都是修改原系統(tǒng)使得K僅僅對(duì)確定語(yǔ)句成立。反機(jī)械主義論題，不管在科爾納系統(tǒng)，還是在斯特恩系統(tǒng)都是可證明的。這從而說(shuō)明，反機(jī)械主義論題從一個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)系統(tǒng)保持不變。關(guān)于第二點(diǎn)，他們得到的結(jié)果不同?？茽柤{得到的結(jié)果是，舊反機(jī)械主義論題是獨(dú)立的，而斯特恩得到的結(jié)果是，新反機(jī)械主義論題是可證明的?？茽柤{和斯特恩達(dá)成的共識(shí)是絕對(duì)可證明性僅僅對(duì)確定語(yǔ)句成立，而對(duì)不確定語(yǔ)句不成立。問(wèn)題出在斯特恩的新機(jī)械主義論題上，因?yàn)樗鼉H僅考慮能輸出所有一階經(jīng)典有效式的系統(tǒng)，而不確定語(yǔ)句就屬于它們。包含不確定語(yǔ)句在內(nèi)的系統(tǒng)，當(dāng)然無(wú)法模仿絕對(duì)可證明性，因?yàn)榻^對(duì)可證明性對(duì)任意的不確定命題都無(wú)效。

科爾納對(duì)斯特恩的最終判定有兩點(diǎn)：首先，在用克里普克-費(fèi)弗曼真理論替代確定真理論的前提下，且用新機(jī)械主義論題替代舊機(jī)械主義論題的前提下，斯特恩得到心靈不是機(jī)器的結(jié)論，實(shí)際上這個(gè)結(jié)果很弱；其次，由于斯特恩的新機(jī)械主義論題包含不確定語(yǔ)句，最終導(dǎo)致他的結(jié)論無(wú)效。因此，科爾納認(rèn)為，人們需要繼續(xù)尋找能證明反機(jī)械主義論題的可行免類(lèi)型絕對(duì)證真理論。（[11]）

3 斯特恩第二次論證反機(jī)械主義論題

斯特恩關(guān)注彭羅斯的新論證（Penrose’s New Argument），而且研究人們?cè)谑褂谜媾c絕對(duì)可證明性理論的情況下，能否以可靠的和連貫的方式形式化彭羅斯的新論證的問(wèn)題。斯特恩分兩步展開(kāi)他的論證。首先他表明不存在形式化彭羅斯的新論證的協(xié)調(diào)理論。4科爾納認(rèn)為哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}在絕對(duì)可證明性確定真理論下是可形式化的且可證明的。其次他考慮彭羅斯的整體策略且提供合理的絕對(duì)證真理論，以表明彭羅斯的新論證是可靠的論證。然而，由于彭羅斯的新論證依賴?yán)碚摰牟B(tài)（pathological）特征，他的論證在直觀上無(wú)法實(shí)現(xiàn)。5科爾納認(rèn)為彭羅斯的新論證在絕對(duì)可證明性確定真理論下無(wú)效。斯特恩把哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}重述為：或者絕對(duì)可證明語(yǔ)句集不是遞歸可枚舉的，或者存在并非絕對(duì)可證明的真數(shù)學(xué)語(yǔ)句。盧卡斯和彭羅斯認(rèn)為，人們可以從哥德?tīng)柌煌耆远ɡ沓霭l(fā)，推斷哥德?tīng)栁鋈∈降牡谝粋€(gè)析取支成立，也就是說(shuō)，絕對(duì)可證明語(yǔ)句集不是遞歸可枚舉的。

斯特恩把盧卡斯的論證稱(chēng)為第一個(gè)論證，而把彭羅斯的新論證稱(chēng)為第二個(gè)論證。6科爾納把盧卡斯和彭羅斯（[18]）的論證稱(chēng)為第一代論證，把彭羅斯（[19,20]）的新論證稱(chēng)為第二代論證。盧卡斯論證如下：如果任意遞歸可枚舉系統(tǒng)F從未能證明它的哥德?tīng)栒Z(yǔ)句，那么人類(lèi)心靈常常能察覺(jué)到哥德?tīng)栒Z(yǔ)句為真。也就是說(shuō)，哥德?tīng)栒Z(yǔ)句對(duì)F來(lái)說(shuō)是絕對(duì)可證明的，但在F中不是可證明的。據(jù)此，盧卡斯得出的結(jié)論是人類(lèi)心靈遠(yuǎn)超每個(gè)遞歸可公理化數(shù)學(xué)理論證明概念。然而，為得到該結(jié)論，盧卡斯需要假設(shè)，人類(lèi)心靈能察覺(jué)到F是協(xié)調(diào)的，也就是說(shuō)，F(xiàn)是協(xié)調(diào)的，是絕對(duì)可證明的。這個(gè)假設(shè)是不可行的，因?yàn)槿祟?lèi)心靈難以察覺(jué)每個(gè)遞歸可公理化數(shù)學(xué)理論的協(xié)調(diào)性。

彭羅斯看到，既然問(wèn)題與絕對(duì)可證明性概念有關(guān)，那么他要找出有關(guān)絕對(duì)可證明性概念的基本假設(shè)。斯特恩的做法是：在假設(shè)彭羅斯的絕對(duì)可證明性假設(shè)成立的情況下，探尋彭羅斯的新論證是否是支持第一個(gè)析取支的連貫論證。據(jù)我們所知，彭羅斯曾經(jīng)在兩個(gè)地方詳細(xì)呈現(xiàn)過(guò)他的論證過(guò)程。（[20,21]）斯特恩把彭羅斯的新論證分為六步：第一步，如果我是系統(tǒng)F，那么系統(tǒng)F是可靠的；第二步，在F的基礎(chǔ)上，加上語(yǔ)句“我是F”，F(xiàn)＇仍然是可靠的；第三步，我察覺(jué)到，從我是F的假設(shè)出發(fā)，能推斷哥德?tīng)栒Z(yǔ)句G(F＇)為真；第四步，我察覺(jué)到G(F＇)不是F＇的后承；第五步，我剛剛察覺(jué)到“如果我碰巧是F，那么G(F＇)為真”；第六步，由于我是F，我推斷我畢竟不是F。7證明：1.根據(jù)T，第一步成立。也就是，如果Kφ→φ，那么?x(F x ?Kx) →(Fφ→φ)。根據(jù)演繹定理，F(xiàn)＇(φ) ?F(?x(F x ?Kx) →φ)。2.根據(jù)弱化規(guī)則和假言推理，人們得到第二步。也就是，?x(F x ?Kx) →(F＇φ→φ)。3.通過(guò)把第二步的模式例化到F＇ 的哥德?tīng)栒Z(yǔ)句，人們得到第三步。也就是，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.根據(jù)哥德?tīng)栒Z(yǔ)句的構(gòu)造，第三步等價(jià)于第四步。第四步有兩個(gè)版本。也就是，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。5.根據(jù)絕對(duì)必然性必然規(guī)則，人們從第三步得到第五步。也就是，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據(jù)經(jīng)典邏輯規(guī)則，從第五步得到第六步。第六步有兩個(gè)子步驟。也就是，首先，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)，其次，這同第四步矛盾，由此得到?x(F x ?Kx) →⊥。證畢！審視整個(gè)證明過(guò)程，它會(huì)用到可靠性概念8系統(tǒng)F 是可靠的當(dāng)且僅當(dāng)所有它的定理都是真的。它的元語(yǔ)言版本是Fφ→φ。、真規(guī)則9絕對(duì)可證明的每個(gè)語(yǔ)句都是真的。也就是，Kφ→φ。和必然規(guī)則10如果人類(lèi)心靈能產(chǎn)生定理，那么人類(lèi)心靈能產(chǎn)生絕對(duì)可證明的定理。也就是，φ →Kφ。。不幸的是，這兩條規(guī)則是聯(lián)合不協(xié)調(diào)的。（[1,16,17,24]）這實(shí)際上建議人們需要找到聯(lián)合協(xié)調(diào)的絕對(duì)可證明假設(shè)。人們有時(shí)也把這個(gè)聯(lián)合不協(xié)調(diào)結(jié)果稱(chēng)為內(nèi)涵悖論。

哥德?tīng)栐ㄗh解決內(nèi)涵悖論是確立反機(jī)械主義論題的關(guān)鍵。斯特恩嘗試把內(nèi)涵悖論解決方案應(yīng)用到彭羅斯的新論證，以便為彭羅斯的新論證辯護(hù)，也為哥德?tīng)柕慕ㄗh辯護(hù)。人們對(duì)內(nèi)涵悖論通常有兩種解決方案：首先，把概念的原則或者模式限制到特殊語(yǔ)句集，把好的實(shí)例從壞的實(shí)例中挑選出來(lái)，由此避免悖論；其次，為自用（self-applicable）概念選擇弱的原則或者模式，這些弱原則或者模式是聯(lián)合協(xié)調(diào)的。斯特恩認(rèn)為這兩種方案都不太可行。前者的兩種子方案都不可行11第一個(gè)子方案是把原則或者模式限制到算術(shù)語(yǔ)句，但這會(huì)導(dǎo)致彭羅斯論證的部分步驟無(wú)效。第二個(gè)子方案是把語(yǔ)句分為悖論語(yǔ)句和非悖論語(yǔ)句，但這會(huì)削弱他論證中的歸謬法策略。，后者太弱以致無(wú)法復(fù)活彭羅斯的新論證。既然常規(guī)的解決方案不可行，斯特恩嘗試一種新的解決方法。他的想法是把內(nèi)涵悖論與語(yǔ)義悖論捆綁到一起，使得內(nèi)涵概念的悖論性（paradoxicality）僅僅依賴真概念的悖論性。由此人們可以使用真謂詞表述絕對(duì)可證明性的原則。真原則就變?yōu)閷?duì)所有語(yǔ)句來(lái)說(shuō)，如果某個(gè)語(yǔ)句是絕對(duì)可證明的，那么該語(yǔ)句是真的。12表達(dá)式從Kφ→φ 變?yōu)?x(Kx →T x)。如果修正版絕對(duì)可證明性原則與協(xié)調(diào)真理論相結(jié)合，那么人們能得到協(xié)調(diào)的真與絕對(duì)可證明性理論。（[12,25-27]）

斯特恩正是在此框架下工作，且研究人們能否為第一個(gè)析取支提供連貫（coherent）論證?？茽柤{從必然規(guī)則、絕對(duì)可證明真規(guī)則和真引入規(guī)則13如果φ，那么Tφ。也就是，φ →Tφ。出發(fā)，形式化彭羅斯的新論證。14證明：1.根據(jù)絕對(duì)可證明真規(guī)則，?x(F x ?Kx) →(F x →T x)。2.根據(jù)真引入規(guī)則，?x(F x ?Kx) →(F＇x →T x)。3.根據(jù)G(F＇) 的定義，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.再次根據(jù)G(F＇) 的定義，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)。5.根據(jù)4，再根據(jù)必然規(guī)則，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據(jù)4 和F＇的定義，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。7.根據(jù)5，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。8.根據(jù)6 和7，?x(F x ?Kx) →⊥。由此科爾納得出第一個(gè)析取支是獨(dú)立的結(jié)論。斯特恩認(rèn)為科爾納在新框架下沒(méi)有認(rèn)真檢驗(yàn)彭羅斯的新論證。實(shí)際上，在新框架下彭羅斯的新論證會(huì)有新的問(wèn)題出現(xiàn)：首先，從第一步到第二步的推理會(huì)出現(xiàn)麻煩。其次，人們需要新的假設(shè)才能推出第三步。斯特恩通過(guò)兩步來(lái)修補(bǔ)彭羅斯的新論證：首先，盡管形式系統(tǒng)F在假言推理下是封閉的，但人們不知道真謂詞是否在假言推理下是封閉的。為保證真謂詞在假言推理下是封閉的，人們需要引入新的假設(shè)。我們把這條假設(shè)稱(chēng)為真蘊(yùn)涵規(guī)則。15真蘊(yùn)涵規(guī)則的表達(dá)式是?x(Sent(x →y) →(T(x →y) →(T x →T y)))。有了這條規(guī)則，人們就可以再次從第一步推出第二步。其次，為推出第三步，人們需要假設(shè)沒(méi)有假算術(shù)語(yǔ)句是真的。實(shí)際上這就是塔斯基雙條件規(guī)則。16塔斯基雙條件句是Tφ?φ。有了這條規(guī)則，人們就可以再次推出第三步。17證明：1.根據(jù)絕對(duì)可證明真規(guī)則，?x(F x ?Kx) →(F x →T x)。2.根據(jù)真引入規(guī)則，再根據(jù)真蘊(yùn)涵規(guī)則，?x(F x ?Kx) →(F＇x →T x)。2a.根據(jù)替代規(guī)則，?x(F x ?Kx) →(F＇G(F＇)→TG(F＇))。2b.根據(jù)塔斯基雙條件，?x(F x ?Kx) →(F＇G(F＇)→G(F＇))。3.根據(jù)2b，再根據(jù)G(F＇)的定義，?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4.再次根據(jù)G(F＇)的定義，?x(F x ?Kx) →?F＇G(F＇)。5.根據(jù)4，再根據(jù)必然規(guī)則，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據(jù)4 和F＇的定義，?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。7.根據(jù)5，?x(F x ?Kx) →F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。8.根據(jù)6 和7，?x(F x ?Kx) →⊥。由此斯特恩完成對(duì)科爾納論證的修補(bǔ)。

然而，弗里德曼（H.Friedman）和希爾德（M.Sheard）表明，真引入原則、真蘊(yùn)涵原則和塔斯基雙條件原則是聯(lián)合不協(xié)調(diào)的。（[5]）問(wèn)題出在彭羅斯的原論證似乎依賴素樸真概念。既然不能依賴素樸真概念，人們可以采用類(lèi)型化真原則。斯特恩使用簡(jiǎn)單化類(lèi)型改造絕對(duì)可證明真原則、真引入原則和必然原則。這里再次出現(xiàn)修正版原則聯(lián)合不協(xié)調(diào)的情況。斯特恩表明新絕對(duì)可證明真原則、新真引入原則、真蘊(yùn)涵原則、新必然原則和塔斯基雙條件原則是聯(lián)合不協(xié)調(diào)的。（[28]，第30 頁(yè)）他得出的結(jié)論是彭羅斯的新論證是不連貫的。既然彭羅斯的新論證行不通，人們自然要尋找可替代論證。也就是，人們要找到合理的真與絕對(duì)可證明性理論，以產(chǎn)生支持第一個(gè)析取支的論證。科爾納訴諸費(fèi)弗曼的確定真理論，而斯特恩訴諸彭羅斯的歸謬策略（reductio strategy）。斯特恩需要形式系統(tǒng)F 是經(jīng)典遞歸可公理化理論。這產(chǎn)生兩個(gè)后果：首先，“我是F”變?yōu)?x(PrF(x)?Kx)，PrF是理論F的自然可證明性謂詞；其次，它會(huì)加強(qiáng)機(jī)械主義論題，使得人們只考慮輸出在經(jīng)典邏輯下封閉的圖靈機(jī)。

由此人們似乎會(huì)得到彭羅斯的歸謬策略。絕對(duì)可證明真原則蘊(yùn)涵全局反射原則（Global Reflection Principle）?x(PrF(x)?Tx)。根據(jù)哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ?，沒(méi)有遞歸可公理化理論F能證明全局反射原則成立。由于“我是F”連同絕對(duì)可證明性真理論蘊(yùn)涵全局反射原則，而后者蘊(yùn)涵矛盾。這似乎實(shí)現(xiàn)了彭羅斯的歸謬策略，且表明第一個(gè)析取支成立。斯特恩指出該策略的兩個(gè)問(wèn)題：首先，人們能證明，如果F證明全局反射原則，那么F是不協(xié)調(diào)的，并不意味著人們能證明，F(xiàn)證明全局反射原則蘊(yùn)涵矛盾。其次，在執(zhí)行歸謬策略的過(guò)程中，有人不能假設(shè)他實(shí)際上在F中推理，因?yàn)檫@不僅預(yù)設(shè)“我是F”，而且預(yù)設(shè)我知道我是哪個(gè)系統(tǒng)F。這意味著即使理想化人類(lèi)心靈與形式系統(tǒng)F相符，系統(tǒng)F仍不能把可證明性謂詞當(dāng)作它的可證明性謂詞。由此在歸謬論證中，人們不能假設(shè)洛布可推導(dǎo)性條件（L?b’s derivability conditions，[2]）。否則彭羅斯的新論證可能會(huì)是連貫論證。18證明：1. ?x(F x ?Kx) →(Fφ→φ)。2.?x(F x ?Kx) →(F＇φ→φ)。3. ?x(F x ?Kx) →G(F＇)。4. ?x(F x ?Kx) →?F?x(F x ?Kx) →G(F＇)。5.根據(jù)3 和洛布可推導(dǎo)性條件，K?x(F x ?Kx) →G(F＇)。6.根據(jù)4 和5，?x(F x ?Kx) →⊥。證畢！

然而，斯特恩認(rèn)為利用洛布可推導(dǎo)性條件得到的彭羅斯論證，也不是令人信服的論證。因?yàn)樗鼘?shí)際上確立的是，我是F 且我知道我是F 是不可能的，而非確立哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}的第一個(gè)析取支。問(wèn)題的關(guān)鍵是，在不引入關(guān)于遞歸可公理化理論的任意特殊假設(shè)的情況下，人們能從全局反射原則推出矛盾。斯特恩嘗試在弱假設(shè)下，從真與絕對(duì)可證明性理論出發(fā)，找到執(zhí)行彭羅斯歸謬策略的辦法。他找到的真與絕對(duì)可證明性理論是協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼理論。它有兩個(gè)特點(diǎn)：首先，除了否定，它滿足所有邏輯聯(lián)結(jié)詞的交換律；其次，它有真消除原則19真消除原則是Tφ→φ。。令λ是標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)謊者語(yǔ)句。20說(shuō)謊者語(yǔ)句是?Tλ?λ。斯特恩嘗試在協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼理論下，論證反機(jī)械主義論題成立。21證明：1.根據(jù)絕對(duì)可證明真原則，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →?y(P rσ(y) →T(y))。2.根據(jù)替代原則，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →(P rF(λ∨?λ) →T(λ∨?λ))。3.根據(jù)重言式，F(xiàn) ?P r?(λ∨?λ)。4.根據(jù)2 和3，再根據(jù)假言推理，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →T(λ∨?λ)。5.根據(jù)析取分配律，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →T(λ)∨T(?λ)。6.根據(jù)說(shuō)謊者語(yǔ)句和真消除原則，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →?λ。7.根據(jù)說(shuō)謊者語(yǔ)句，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →Tλ。8.根據(jù)真消除原則，F(xiàn) ??x(K(x) ?P rF(x)) →λ。9.根據(jù)6 和8，F(xiàn) ???x(K(x) ?P rF(x))。

此論證的關(guān)鍵步驟是第三步，它說(shuō)的是，在沒(méi)有任何前提的情況下λ ∨?λ是可證明的。這表明對(duì)任意經(jīng)典遞歸可公理化理論F，PrF(λ∨?λ)，也就是說(shuō)，重言式在F下是可證明的。由此，斯特恩認(rèn)為該論證確保反機(jī)械主義論題成立。人們質(zhì)疑該論證是否是好論證。這實(shí)際上取決于兩個(gè)要素：首先，他是否把協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼理論當(dāng)作適當(dāng)理論；其次，他是否把該論證當(dāng)作直觀可行的論證。斯特恩認(rèn)為答案都是否定的：首先，相對(duì)于每個(gè)遞歸可公理化理論的標(biāo)準(zhǔn)，協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼理論是可證明不可靠的（provably unsound）。而如果有人要討論哥德?tīng)栁鋈∈秸擃}，他需要可靠理論。其次，由于人們選用的理論是病態(tài)理論，這會(huì)削弱論證的可信度。斯特恩的結(jié)論是，人們總是試圖利用哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碜C明反機(jī)械主義論題成立，然而屢屢碰壁。他的建議是，人們可以在完全放棄哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼那闆r下，去探索直接證明反機(jī)械主義論題的可能性。（[28]，第35-36 頁(yè)）

4 我們表明斯特恩第二次論證無(wú)效

我們看到斯特恩先后為反機(jī)械主義論題給出兩個(gè)論證。（[28,29]）我們首先來(lái)看兩個(gè)論證的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。它們采用的理論都是真與絕對(duì)可證明性理論，是真理論與絕對(duì)可證明理論的結(jié)合體。第一論證采用的是克里普克-費(fèi)弗曼真理論，第二論證采用的是協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼真理論。協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼真理論承認(rèn)真謂詞的協(xié)調(diào)性，在克里普克-費(fèi)弗曼理論中等價(jià)于真消除原則。也就是說(shuō)，協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼真理論自身包含真消除原則。兩個(gè)論證都使用真謂詞析取分配律。它們都使用絕對(duì)可證明真原則。它們也都使用說(shuō)謊者語(yǔ)句。

兩個(gè)論證的最大差異體現(xiàn)在對(duì)機(jī)械主義論題的表述上。第一論證把機(jī)械主義論題表述為?x(Prσ(x)?Kx)，σ是某個(gè)理論的遞歸可枚舉公理集的表示。第二論證把機(jī)械主義論題表述為?x(PrF(x)?Kx)，F(xiàn)是經(jīng)典遞歸可公理化理論。前者是通用機(jī)械主義論題，后者是強(qiáng)機(jī)械主義論題，說(shuō)的是在假設(shè)經(jīng)典邏輯的前提下，機(jī)械主義論題成立?？茽柤{認(rèn)為第一論證的問(wèn)題就出在對(duì)理論的規(guī)定上。本來(lái)只有確定語(yǔ)句，后來(lái)卻出現(xiàn)不確定語(yǔ)句。為避免這種情況出現(xiàn)，斯特恩對(duì)原條件進(jìn)行限定，加入經(jīng)典邏輯這一條款，以避免不確定語(yǔ)句的再次出現(xiàn)。斯特恩的努力表面上成功了。但是問(wèn)題還是出現(xiàn)在對(duì)不確定語(yǔ)句的理解上。不確定語(yǔ)句指的是類(lèi)似λ ∨?λ的語(yǔ)句。在經(jīng)典邏輯下，它是重言式，也就是一個(gè)恒真語(yǔ)句。但是在二值邏輯的情況下，它還可以表達(dá)或真或假的情況，而這表達(dá)的是不可判定的情況。當(dāng)然斯特恩也意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題。他把這種情況稱(chēng)為內(nèi)部邏輯與外部邏輯的分離。22內(nèi)部邏輯是真謂詞轄域內(nèi)部的邏輯，外部邏輯是經(jīng)典邏輯。既然面臨重重困難，我們認(rèn)為斯特恩的第二論證即使是形式上可靠的論證，也終究不是一個(gè)好論證。由此我們?cè)俅位氐娇茽柤{的裁定：人們需要繼續(xù)尋找能證明反機(jī)械主義論題的可行免類(lèi)型真與絕對(duì)可證明理論。

5 結(jié)論

反機(jī)械主義論題含有三個(gè)核心概念：理想化人類(lèi)心靈、理想化有限機(jī)器和真。由于圖靈的貢獻(xiàn)，理想化有限機(jī)器概念具備科學(xué)根據(jù)。真概念也得到了充足的發(fā)展。人們不僅有塔斯基的類(lèi)型化真理論，而且有各種各樣的免類(lèi)型真理論。（[8]）在理想化有限機(jī)器概念和真概念具備科學(xué)根據(jù)的前提下，理想化人類(lèi)心靈卻不具備科學(xué)根據(jù)。這里有兩個(gè)原因：首先，意識(shí)科學(xué)尚未真正發(fā)展起來(lái)（[13,18,19]）；其次，人們不僅對(duì)絕對(duì)可證明性概念認(rèn)識(shí)不足，而且尚未有成熟的內(nèi)涵悖論解決方案出現(xiàn)。（[28]）哥德?tīng)柦ㄗh人們從解決內(nèi)涵悖論入手，進(jìn)而證明反機(jī)械主義論題。由于沒(méi)有令人滿意的內(nèi)涵解悖方案出現(xiàn)，人們實(shí)際上訴諸語(yǔ)義悖論解決方案，也就是訴諸真理論。

不管是科爾納還是斯特恩，他們都試圖借助于真理論證明或者否證反機(jī)械主義論題。科爾納借助的是確定真理論，斯特恩第一論證借助的是克里普克-費(fèi)弗曼真理論，斯特恩第二論證借助的是協(xié)調(diào)克里普克-費(fèi)弗曼真理論。科爾納表明，不管使用哪種免類(lèi)型真理論，論證的效果都是一樣的。真正的差別體現(xiàn)在對(duì)機(jī)械主義論題的表達(dá)上?？茽柤{從免類(lèi)型真理論出發(fā)，推斷反機(jī)械主義論題是獨(dú)立的，而斯特恩從免類(lèi)型真理論出發(fā)，推斷反機(jī)械主義論題成立。這實(shí)際上提醒我們，訴諸真理論試圖證明或者否證反機(jī)械主義論題的方案并不可靠。人們還是要回到對(duì)理想化人類(lèi)心靈概念也就是絕對(duì)可證明性概念的深度分析上面。

彭羅斯已經(jīng)想到這一點(diǎn)并作出嘗試，也就是為數(shù)學(xué)心靈提供計(jì)算模型甚至物理模型。（[22]）彭羅斯的想法源自圖靈（A.Turing）的預(yù)言機(jī)，他把自己構(gòu)想的機(jī)器稱(chēng)為謹(jǐn)慎預(yù)言機(jī)（cautious-oracle device），以期容納絕對(duì)可證明概念。彭羅斯認(rèn)為哥德?tīng)柕目紤]并非周全，他認(rèn)為哥德?tīng)柕膯?wèn)題在于并未把物理要素考慮進(jìn)去，僅僅考慮數(shù)學(xué)因素和心靈因素。彭羅斯認(rèn)為這種物理要素要具有非可計(jì)算的性質(zhì)。他認(rèn)為現(xiàn)有的物理學(xué)并不具有這種性質(zhì)。人們需要發(fā)展一種新的物理學(xué)。我們從彭羅斯的視角來(lái)考慮心靈能否被機(jī)械化的問(wèn)題。在薛定諤（E.Schr?dinger）的思想實(shí)驗(yàn)中，一只貓的狀態(tài)可能演變成這只貓既生又死的狀態(tài)。這實(shí)際上說(shuō)的是兩個(gè)可替代實(shí)在事物可以同時(shí)出現(xiàn)，比如量子粒子可以同時(shí)占據(jù)兩個(gè)不同位置。我們?cè)诳紤]機(jī)械主義論題時(shí)也出現(xiàn)了這種情況。這是不完全性現(xiàn)象在不同科學(xué)領(lǐng)域的體現(xiàn)。

既然不完全現(xiàn)象普遍存在，我們不會(huì)考慮斯特恩的建議，因?yàn)樗ㄗh人們繞開(kāi)不完全性現(xiàn)象去證明或者否證反機(jī)械主義論題。這里我們?cè)俅螌徱暸砹_斯的建議，他把各種各樣的柏拉圖主義稱(chēng)為程度柏拉圖主義（degrees of Platonism）。如果有人要解決連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（the continuum hypothesis）這樣的難題，他需要持強(qiáng)柏拉圖主義立場(chǎng)。如果有人要解決反機(jī)械主義論題，他只需要持弱柏拉圖主義立場(chǎng)。我們的看法是即使要解決反機(jī)械主義論題，人們也要持強(qiáng)柏拉圖主義立場(chǎng)。哥德?tīng)栐?jīng)告訴我們，盡管科恩（P.Cohen）已經(jīng)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是不可判定的，但這并沒(méi)有解決數(shù)學(xué)真的問(wèn)題。（[6]）如果要解決數(shù)學(xué)真的問(wèn)題，人們需要持一種強(qiáng)柏拉圖主義立場(chǎng)。這種立場(chǎng)在希爾伯特（D.Hilbert）的世界是數(shù)學(xué)自治（mathematical autonomy，[4]），在科爾納的世界是數(shù)學(xué)牽引（mathematical traction，[23]）。