網(wǎng)絡化不確定系統(tǒng)集中式融合魯棒穩(wěn)態(tài)估值器

陶貴麗,李 爽,劉文強

(1.浙江傳媒學院媒體工程學院,浙江杭州 310018;2.浙江工商大學信息與電子工程學院(薩塞克斯人工智能學院),浙江杭州 310018)

1 引言

多傳感器信息融合技術(shù)可以利用所有傳感器的信息,克服了單傳感器受時間和空間限制的缺陷,現(xiàn)已被廣泛應用于目標跟蹤、導航制導、信號處理等熱門領(lǐng)域[1].

近年來,網(wǎng)絡化系統(tǒng)的濾波問題受到廣泛關(guān)注[2-4].眾所周知,經(jīng)典Kalman濾波方法要求系統(tǒng)的模型參數(shù)和噪聲方差是精確已知的[5],但在實際應用中,由于建模誤差或未建模動態(tài)以及隨機擾動等原因,導致系統(tǒng)模型是不確定的[6-17].當系統(tǒng)模型中存在不確定性時,Kalman濾波器的性能會嚴重變壞,甚至導致濾波發(fā)散.解決這一問題的方法之一是設(shè)計魯棒Kalman濾波器,即針對由不確定性所描述的一族系統(tǒng)模型來設(shè)計一個濾波器,使得對所有容許的不確定性,濾波器的實際濾波誤差方差確保有一個最小上界[17].

在網(wǎng)絡化系統(tǒng)中,信道中會不可避免地存在不確定性,例如隨機觀測滯后與丟包,估值器的性能會受其影響[18].這類不確定性的存在會導致估值器接收到的數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏差.伯努利隨機變量序列是描述這類不確定性的常用工具[19-21].

隨機參數(shù)不確定性可以用乘性噪聲來描述,對確定性參數(shù)的隨機擾動稱為乘性噪聲,包括狀態(tài)依賴和噪聲依賴乘性噪聲.在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中的白噪聲稱為狀態(tài)依賴乘性噪聲,在噪聲轉(zhuǎn)移矩陣中的白噪聲稱為噪聲依賴乘性噪聲.噪聲方差的不確定性可以通過確定的不確定性來描述,即噪聲方差是未知不確定的,但有已知的保守上界[14-17].近年來,對于帶乘性噪聲、不確定噪聲方差、隨機觀測滯后和丟包的網(wǎng)絡化系統(tǒng),魯棒或最優(yōu)狀態(tài)估計問題已被廣泛研究[15-17,22-28].文獻[22]中,針對系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲并具有多步隨機觀測滯后和丟包的不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng),通過射影理論,提出了最小方差意義下的最優(yōu)線性估值器.文獻[23]中，針對帶乘性噪聲、一步隨機觀測滯后和丟包的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng),其中傳感器到估值器和控制器到執(zhí)行器的通道都受到乘性噪聲影響,利用射影理論推導出了最優(yōu)估值器.但文獻[22-23]的結(jié)果都局限于單傳感器系統(tǒng).

對于在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲,并具有一步隨機傳輸時滯和丟包的混合不確定多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),文獻[24]基于矩陣加權(quán)融合算法提出了一種分布式融合濾波器.對于一類在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中存在乘性噪聲,并具有丟失觀測、隨機觀測滯后和丟包的不確定多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),應用新息分析方法,文獻[25]提出了魯棒集中式融合以及降維觀測融合Kalman濾波器,但文獻[25]沒有考慮系統(tǒng)觀測矩陣中的乘性噪聲.文獻[26]中,針對帶隨機參數(shù)矩陣、一步隨機觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),提出了局部最小二乘線性估值器(濾波器和固定點平滑器),并利用矩陣加權(quán)融合算法得到了分布式融合濾波器和平滑器.然而,文獻[22-26]均沒有考慮噪聲依賴乘性噪聲,且都假定系統(tǒng)噪聲方差是精確已知的.

針對在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶乘性噪聲,并帶丟包和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),文獻[27]提出了加權(quán)狀態(tài)融合魯棒Kalman估值器.但文獻[27]中沒有考慮隨機觀測滯后不確定性.對系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中存在乘性噪聲,并具有一步隨機觀測滯后和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),文獻[28]提出了綜合協(xié)方差交叉融合魯棒Kalman估值器.文獻[15]針對在系統(tǒng)狀態(tài)與觀測矩陣中存在相同乘性噪聲,以及帶一步隨機觀測滯后、丟失觀測、以及不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),利用極大極小魯棒估計準則,提出了魯棒矩陣加權(quán)和集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.文獻[16]中,針對帶乘性噪聲、兩步隨機觀測滯后、丟失觀測和不確定噪聲方差的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),提出了魯棒集中式融合和加權(quán)觀測融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.文獻[15-16]提出的魯棒融合濾波方法可用于解決帶有色觀測噪聲的多傳感器單通道自回歸信號的魯棒融合濾波問題.但文獻[15-16,27-28]中均沒有考慮噪聲依賴乘性噪聲.對于系統(tǒng)狀態(tài)和過程噪聲轉(zhuǎn)移矩陣中帶乘性噪聲,并具有不確定噪聲方差、一步隨機觀測滯后和丟失觀測的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),文獻[29]提出了魯棒局部和5種融合時變Kalman估值器(預報器、濾波器和平滑器).但文獻[29]中沒有考慮系統(tǒng)觀測矩陣中的乘性噪聲,且文獻[15-16,28-29]都沒有考慮丟包.此外,與文獻[15-16]相比,文獻[28-29]中用到的增廣方法會使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有較大維數(shù).對一類系統(tǒng)所有參數(shù)矩陣中帶相同乘性噪聲,并帶一步隨機觀測滯后和不連續(xù)丟包的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),根據(jù)極大極小魯棒估計原理,文獻[17]提出了魯棒矩陣加權(quán)融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.但文獻[17]中沒有考慮丟包補償機制以及集中式融合濾波問題.基于上述分析,對于在系統(tǒng)狀態(tài)和觀測矩陣中帶相同狀態(tài)依賴乘性噪聲,并帶噪聲依賴乘性噪聲、不確定噪聲方差、一步隨機觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),其魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)濾波問題尚未見報道.因此,本文對此進行研究.

本文的主要創(chuàng)新點如下: 1)對于所研究的系統(tǒng)模型,給出了其集中式融合魯棒穩(wěn)態(tài)估值器存在的充分條件,并基于極大極小魯棒估計原理提出了集中式融合魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(預報器、濾波器和平滑器);2)應用增廣方法、非負定矩陣分解方法和李雅普諾夫方程方法,證明了所提出的集中式融合估值器的魯棒性;3)給出了一個應用于多傳感器多通道滑動平均(moving average,MA)信號估計的例子,解決了帶隨機參數(shù)矩陣的多通道MA信號的集中式融合估計問題,得到了相應的魯棒局部和集中式融合穩(wěn)態(tài)信號估值器.

2 問題描述

考慮如下線性離散不確定多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng):

其中:t是離散時間;x(t)∈Rn是被估狀態(tài);zi(t)∈Rmi是傳感器接收到的觀測;yi(t)∈Rmi是估值器接收到的觀測;w(t)∈Rr是過程噪聲;vi(t)∈Rmi是觀測噪聲且線性相關(guān)于w(t);αk(t)∈R1,k=1,···,nα是狀態(tài)依賴乘性噪聲;βk(t)∈R1,k=1,···,nβ是噪聲依賴乘性噪聲;Φ∈Rn×n,Φk∈Rn×n,Γ∈Rn×r,Γk∈Rn×r,Hi∈Rmi×n,Hik∈Rmi×n和Di∈Rmi×r是具有適當維數(shù)的已知常矩陣;Φk,Γk和Hik是擾動方位矩陣;nα,nβ是相應乘性噪聲的數(shù)目;L是傳感器的數(shù)目.

ξi(t)∈R1和ζi(t)∈R1,i=1,···,L是取值為0或1的各自不相關(guān)伯努利白噪聲,具有已知概率Prob(ξi(t)=1)=πi,Prob(ξi(t)=0)=1-πi,Prob(ζi(t)=1)=?i,Prob(ζi(t)=0)=1-?i,其中πi和?i是已知的,且0 ≤πi≤1,0 ≤?i≤1.ξi(t)和ζi(t)也不相關(guān)于其他隨機信號.容易得到以下結(jié)論:

假設(shè)1w(t),ηi(t),αk(t)和βk(t)是具有零均值的互不相關(guān)白噪聲,它們的協(xié)方差為

注2在式(4)中,白噪聲ξi(t)和ζi(t)被用來描述一步隨機觀測滯后和丟包.如果ξi(t)=1,則yi(t)=zi(t)(沒有觀測滯后和丟包);如果ξi(t)=0且ζi(t)=1,則yi(t)=zi(t-1)(一步隨機觀測滯后);如果ξi(t)=0 且ζi(t)=0,則yi(t)=yi(t-1)(丟包),即觀測zi(t)丟失,但估值器在t-1時刻接收到的觀測yi(t-1)被用來作為t時刻的補償,這稱為保持輸入補償機制.這不同于文獻[17]中的零輸入補償機制,即如果當前時刻傳感器觀測丟失,則估值器的觀測將被置為0.

3 模型轉(zhuǎn)換

3.1 增廣集中式融合系統(tǒng)

合并式(2)給出的所有傳感器輸出向量,得到如下增廣觀測輸出方程:

將式(2)代入式(4)中,然后合并所有由式(4)給出的估值器收到的觀測向量可得

應用式(1)(7)-(8)可得如下增廣集中式融合系統(tǒng):

增廣集中式融合系統(tǒng)(9)-(10)可進一步被轉(zhuǎn)化為帶常參數(shù)矩陣和乘性噪聲的系統(tǒng)形式,即

此外,利用式(5)可得

容易證得ξiz(t),ζiz(t)和γiz(t)是互不相關(guān)的白噪聲.

注3相比于文獻[28-29],由式(11)給出的增廣狀態(tài)xa(t)具有較小的維數(shù),如果采用文獻[28-29]中的方法,增廣狀態(tài)的維數(shù)為2n+2m,而式(11)給出的增廣狀態(tài)xa(t)的維數(shù)僅為n+2m.可見,本文方法可減少計算量.

3.2 實際和保守狀態(tài)二次非中心距

由式(12)可得xa(t)的保守二次非中心距為

引理2在假設(shè)3條件下,可得

證完全類似于文獻[15]中引理5的證明,容易證得引理2成立.證畢.

證如果ρ()<1,則類似于文獻[24,31]中的證明過程,通過直接應用文獻[32-33]中的結(jié)果可證明引理3成立.證畢.

3.3 虛擬過程和觀測噪聲

增廣狀態(tài)方程(12)可被改寫為

其中wf(t)是虛擬過程噪聲,

容易證得wf(t)是零均值白噪聲,且它的保守穩(wěn)態(tài)方差為

增廣集中式融合觀測方程(13)可被改寫為

其中vf(t)是零均值虛擬觀測白噪聲,且vf(t)可表示為

虛擬噪聲wf(t)和vf(t)的保守穩(wěn)態(tài)相關(guān)矩陣為

4 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器

4.1 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman預報器

對于由式(20)(23)給出的帶已知保守噪聲統(tǒng)計Qf,Rf和Sf的最壞情形時不變集中式融合系統(tǒng),在假設(shè)1-4條件下,基于極大極小魯棒估計原理[30],應用標準Kalman濾波算法[5],可得保守最優(yōu)集中式融合穩(wěn)態(tài)一步Kalman預報器為

應用式(31)可得保守集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman一步預報誤差方差,也滿足如下李雅普諾夫方程:

引理4[30]令Λ≥0,Λ∈Rr×r,設(shè)Λδ=(Λij)rL×rL,Λij=Λ,i,j=1,···,L,則Λδ≥0.

引理5在假設(shè)3條件下,可得如下矩陣不等式關(guān)系:≤Λf.

證明過程詳見附錄A.

引理6[34]考慮如下李雅普諾夫方程:U=CUCT+V,其中:U,C和V是n×n矩陣,V是對稱矩陣,C是穩(wěn)定矩陣(即它的所有特征值都在單位圓內(nèi)).如果V≥0,則U是對稱并唯一的,且U≥0.

定理1在假設(shè)1-4條件下,由式(27)給出的實際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman預報器具有魯棒性,即對于所有容許的不確定性,實際預報誤差方差滿足如下關(guān)系:

證明過程詳見附錄B.

由式(27)給出的實際融合穩(wěn)態(tài)Kalman預報器為魯棒融合穩(wěn)態(tài)Kalman預報器,由式(34)給出的矩陣不等式關(guān)系稱為它的魯棒性.

4.2 魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器

利用式(38)可得保守穩(wěn)態(tài)估計誤差方差為

定理2在假設(shè)1-4條件下,由式(35)給出的實際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器具有魯棒性,即對于所有容許的不確定性,相應的所有實際估計誤差方差滿足如下關(guān)系:

證明過程詳見附錄C.

由式(35)給出的實際集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器被稱為魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器和平滑器,由式(40)給出的矩陣不等式關(guān)系稱為它們的魯棒性.

且P(c)(N)是(c)(N)的最小上界.

推論2 完全類似于式(9)-(43)的推導,容易得到原始系統(tǒng)(1)-(4)的魯棒局部穩(wěn)態(tài)Kalman 估值器(t|t+N),N=-1,N≥0,i=1,···,L,且它們的實際估計誤差方差(N)有相應的最小上界Pi(N),即

注5利用射影理論可以證得

注6在注5中,被稱為相應魯棒Kalman估值器的實際精度,trP(c)(N)和trPi(N)被稱為魯棒精度(或者全局精度).跡的值越小意味著精度越高.注5表明,估值器的實際精度都高于或等于它的魯棒精度,魯棒精度是最低的實際精度.集中式融合器的魯棒精度高于各局部估值器.

5 帶有色觀測噪聲和混合不確定性的多通道MA信號估計應用實例

自回歸滑動平均(autoregressive MA,ARMA)信號濾波問題經(jīng)常發(fā)生在信號處理、狀態(tài)估計、目標跟蹤、反卷積以及時間序列分析等領(lǐng)域.考慮如下帶有色觀測噪聲和混合不確定性的多傳感器多通道MA信號:

目的是為多傳感器多通道MA信號s(t)設(shè)計魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.

由式(53)-(54)可得

帶隨機參數(shù)矩陣的多通道MA信號模型(49)可被轉(zhuǎn)換為如下等價的狀態(tài)空間模型[5]:

將Bk(t)=Bk+Υk(t)代入Γs(t),并應用式(56)得

有色觀測噪聲r(t)有等價的狀態(tài)空間模型為[5]

將Ak(t)=Ak+Λk(t)代入Φr(t)和Hr(t),并應用式(56)得

這里Φrk,k=1,···,p是m×mp矩陣,它的第(1,k)個塊矩陣為單位矩陣Im,其余位置均為(0)m×m.Hrk,k=1,···,p是m×mp矩陣,它的第(1,k)個塊矩陣為-Im,其余位置均為(0)m×m.

于是可得如下增廣系統(tǒng)模型:

應用式(59)和式(62)可將增廣系統(tǒng)(63)-(65)轉(zhuǎn)換為如下帶常參數(shù)的系統(tǒng):

因此,應用狀態(tài)空間方法和增廣方法,多通道MA信號模型(49)-(54)被轉(zhuǎn)換成帶乘性噪聲、一步隨機觀測時滯、丟包和不確定噪聲方差的狀態(tài)空間模型式(52)(66)-(68).

由式(58)可得s(t)=[Hs(0)m×mp]x(t),于是,魯棒融合信號估計問題可以通過魯棒融合狀態(tài)估計來解決,應用射影理論[5]可得

信號s(t)的實際和保守集中式融合穩(wěn)態(tài)估計誤差方差分別為

這里,上角標“s”表示信號.

注7對系統(tǒng)(52)(66)-(68),當取m=1時,MA信號s(t)是單通道信號,此時系統(tǒng)(52)(66)-(68)可視為系統(tǒng)(1)-(4)的一種特殊情況,其中:

6 仿真實例

由于信號s(t)∈R1,所以估計誤差方差的跡值等于相應的估計誤差方差值.表1給出了實際和保守局部與集中式融合穩(wěn)態(tài)估計誤差方差的比較,這驗證了由式(43)-(46)給出的穩(wěn)態(tài)精度關(guān)系.表1中N=-1表示預報器,N=0表示濾波器,N=1 表示一步平滑器,N=2表示兩步平滑器.

表1 信號s(t)的穩(wěn)態(tài)魯棒和實際精度比較Table 1 Comparison of steady-state robustness and actual accuracy of signal s(t)

圖1 信號s(t)和它的實際局部和集中式融合一步平滑器Fig.1 Signal s(t)and its actual local and centralized fusion one-step smoothers

圖2 信號s(t)和它的集中式融合估值器Fig.2 Signal s(t)and its centralized fusion estimator

圖3 P(c)s(0)隨著λ1和λ2增加時的變化情況Fig.3 Changes of P(c)s(0)with the increase of λ1 and λ2

7 結(jié)論

針對在系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣中帶相同狀態(tài)依賴乘性噪聲,并帶噪聲依賴乘性噪聲、不確定噪聲方差、一步隨機觀測滯后和丟包的多傳感器網(wǎng)絡化系統(tǒng),應用增廣方法、去隨機化方法和虛擬噪聲技術(shù)將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為僅帶不確定噪聲方差的集中式融合系統(tǒng).轉(zhuǎn)換之后系統(tǒng)的過程噪聲和觀測噪聲是相同的,這可避免求解它們的相關(guān)矩陣.根據(jù)極大極小魯棒估計原理,提出了魯棒集中式融合穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(預報器、濾波器和平滑器).應用增廣噪聲方法、非負定矩陣分解方法和李雅普諾夫方程方法,證明了估值器的魯棒性.所提出的方法可用于解決帶隨機參數(shù)矩陣、不確定噪聲方差和網(wǎng)絡化隨機不確定性的多傳感器多通道MA信號的魯棒融合Kalman濾波問題.仿真實驗證明了所提出方法的可應用性與正確性.

附錄A

附錄B

附錄C